2019重庆中考数学专题复习:几何图形的相关证明及计算(10道)含答案
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1、几何图形的相关证明及计算1.已知,在 RtABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,连接 AD.(1)如图,若点 E 在 AB 中点处,连接 DE,若 AD=1,求点 D 到 AC的距离;(2)如图,点 E 在 AB 上,点 F 在 AC 上,连接 DE、 DF,若DEDF,连接 EF,求证:BE 2+CF2=EF2.第 1 题图(1)解:在 RtABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,ADBC,B=45,ABD 为等腰直角三角形,AD=BD =1,AB= = ,2DAE 为 AB 的中点,DEAB, DE= AB= ,21AD 为BAC 的角平分线,点 D 到 AC 的距离等于点
2、D 到 AB 的距离,即 DE 的长为 ;2(2)证明:如解图,延长 ED 至点 M,使 DM=DE,连接 FM、CM.第 1 题解图A=90, AB=AC,B=ACB=45.点 D 是 BC 的中点,BD=DC.在BDE 和CDM 中,,DCBMEBDECDM,MC = BE, B =MCD =ACB =45,FCM=90,FM 2=CM 2+CF 2=BE 2+CF 2.DE DF , DE=DM,EF=FM, BE2+CF2=EF2.2.已知,在 ABCD 中,连接对角线 AC,CAD 的平分线 AF 交 CD 于点F, ACD 的平分线 CG 交 AD 于点 G,AF、CG 交于点 O
3、,点 E 为 BC 上一点,且BAEGCD.(1)如图 ,若 ACD 是等边三角形,OC2,求 ABCD 的面积;(2)如图 ,若 ACD 是等腰直角三角形,CAD90,求证:EC = AG.第 2 题图(1)解: ACD 为等边三角形,CADACD60.AF、CG 分别平分CAD、ACD,CAF CAD 6030,2121ACGDCG 6030,且 AFCD,CD2CF ,CAOACO30,AO CO2.在 RtOCF 中,DCG30,OF OC 21,21CF ,OFC23AFAOOF2 13,CD 2 2 ,3S ABCD CDAF2 36 ;(2)证明: 如解图,延长 OF 到点 H,
4、使 FHOF ,连接 HD,OHOFFH 2OF.第 2 题解图ACD 为等腰直角三角形,AF 平分CAD,CFDF,AF CD,又CFODFH,CFO DFH ,OCFHDF, CG HD ,AOGH,AGOADH . 在 RtOCF 中,OCFCOF90,在 RtACG 中,ACGAGC90,CG 平分ACD,ACGFCG,COFAGC,AOGAGC,AO AG,H ADH,AH AD,AH AOADAG,即 OHGD,2OF GD .四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,AD BC,BACACD.BAEDCG,BACBAE ACDDCG,即EACACG,AECG,四边形 AECG 为
5、平行四边形,ECAG.3.如图在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,AD AO,点 E为 OA 中点(1)若 DECD,CD6,AD2 ,求 DE 的长; 5(2)证明:CD2DE第 3 题图(1)解:四边形 ABCD 是平行四边形,OA OC,点 E 为 OA 中点,AD AO ,AD2 ,5OE ,OC2 ,55CEOE+OC 3 ,DE CD,CD6,DE 3;2CDE(2)证明:如解图,取 AD 的中点 F,连接 OF,第 3 题解图AD AO,点 E 为 OA 中点,AEAF,在ADE 和 AOF 中,AFEODADE AOF,DE OF,OA OC,AF DF
6、 ,CD 2OF,CD2DE.4.如图,在菱形 ABCD 中,E 为 BC 延长线上一点,连接 AE,EB,过点 D 作 DHAE 于点 H(1)若 AB13,DH5,求 HE 的长;(2)求证:AHCE+EH第 4 题图(1)解:四边形 ABCD 是菱形,AD AB13,E B ,AEAB13,DHAE,AH = =12,2DHA2513EH AE-AH 13-121;(2)证明:如解图,过点 D 作 DFBC 的延长线于点 F,连接 DE,第 4 题解图四边形 ABCD 是菱形,ABCD,AD BC, ADCD,1B,23,B 2,13,DHAE,DFCF,4F,在ADH 和CDF 中,C
7、DA,413ADHCDF,AH CF,DHDF,在 RtDEH 和 RtDEF 中,,DEFHRtDEHRtDEF,EH EF,CFCE+ EF,AH CE+EH5.如图,在等腰 RtABC 中,ACB =90,AC =BC,点 F 是 AC 边的中点,过点 C 作 BF 的垂线,垂足为点 H,交 AB 于点 D,CE 平分ACB,交 BF于点 E.(1)若 AC =8,求 CH 的长度;(2)求证:BE =2EF.第 5 题图(1)解:AC =8 ,F 是 AC 的中点,AC =BC ,CF = AC =4,BC =8,2ACB =90,BF = = =4 ,2BCF2845由三角形面积公式
8、得,S BCF = BFCH= CFBC,12BFCH =CFBC,CH = = = ;BFCH548(2)证明:如解图,延长 CE 交 AB 于点 M,连接 MF,过点F 作 FNCD,与 AB 交于点 N,第 5 题解图ACB =90,AC =BC,CE 平分ACB ,CM AB,CM =AM =BM,点 F 是 AC 的中点, FNCD,AM =CM,FN 是ACD 的中位线,CD =2FN,CHE =BME =90, CEH =BEM,ECH =EBM,ACM =ABC =45,ACD =CBE,在ACD 和 CBE 中,45BCEADACD CBE,CD =BE,点 F 是 AC 的
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