2019年中考数学压轴题专题九:二次函数压轴题(有解析)
《2019年中考数学压轴题专题九:二次函数压轴题(有解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019年中考数学压轴题专题九:二次函数压轴题(有解析)(61页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、专题九:二次函数压轴题【热点探究】类型一:抛物线与三角形的综合问题【例题 1】 (2016云南省昆明市)如图 1,对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B(2,0) 、C(0,4)两点,抛物线与 x 轴的另一交点为 A(1)求抛物线的解析式;(2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 COBP 的面积为 S,求 S 的最大值;(3)如图 2,若 M 是线段 BC 上一动点,在 x 轴是否存在这样的点 Q,使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)由对称轴的对称性得出点 A 的坐标,由待定系数法求出抛
2、物线的解析式;(2)作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形,表示出面积 S,化简后是一个关于 S 的二次函数,求最值即可;(3)画出符合条件的 Q 点,只有一种,利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;在直角OCQ 和直角CQM 利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解:(1)由对称性得:A(1,0) ,设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x2) ,把 C(0,4)代入:4=2a,a=2,y=2(x+1) (x2) ,抛物线的解析式为:y=2x 2+2x+4;(2)如图 1,设点 P(m,2m 2+2m+4) ,过 P 作 PDx 轴,垂足为 D,S=
3、S 梯形 +SPDB = m(2m 2+2m+4+4)+ (2m 2+2m+4) (2m) ,S=2m 2+4m+4=2(m1) 2+6,20,S 有最大值,则 S 大 =6;(3)如图 2,存在这样的点 Q,使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形,理由是:设直线 BC 的解析式为:y=kx+b,把 B(2,0) 、C(0,4)代入得: ,解得: ,直线 BC 的解析式为:y=2x+4,设 M(a,2a+4) ,过 A 作 AEBC,垂足为 E,则 AE 的解析式为:y= x+ ,则直线 BC 与直线 AE 的交点 E(1.4,1.2) ,设 Q(x,0) (x0) ,AEQM,ABEQ
4、BM, ,由勾股定理得:x 2+42=2a2+(2a+44) 2,由得:a 1=4(舍) ,a 2= ,当 a= 时,x= ,Q( ,0) 【同步练】(2016浙江省湖州市)如图,已知二次函数 y=x 2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点 A(3,1) ,点 C(0,4) ,顶点为点 M,过点 A 作 ABx 轴,交 y 轴于点 D,交该二次函数图象于点 B,连结 BC(1)求该二次函数的解析式及点 M 的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移 m(m0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部(不包括ABC 的边界) ,求 m 的取值范围;(3)点 P 是直线 AC
5、上的动点,若点 P,点 C,点 M 所构成的三角形与BCD 相似,请直接写出所有点 P 的坐标(直接写出结果,不必写解答过程) 类型二:抛物线与四边形的综合问题【例题 2】2016青海西宁12 分)如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是以AB 为直径的M 的内接四边形,点 A,B 在 x 轴上,MBC 是边长为 2 的等边三角形,过点M 作直线 l 与 x 轴垂直,交M 于点 E,垂足为点 M,且点 D 平分 (1)求过 A,B,E 三点的抛物线的解析式;(2)求证:四边形 AMCD 是菱形;(3)请问在抛物线上是否存在一点 P,使得ABP 的面积等于定值 5?若存在,请求出所有的点
6、P 的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标,再利用顶点式求出函数解析式;(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD= AMC=60,进而得出 DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出ABP 的面积进而求出 n 的值,再代入函数关系式求出 P 点坐标【解答】 (1)解:由题意可知,MBC 为等边三角形,点 A,B,C,E 均在M 上,则 MA=MB=MC=ME=2,又COMB,MO=BO=1,A(3,0) ,B(1,0) ,E(1,2) ,抛物线顶点 E 的坐标为(1,2) ,设函数解析式为 y=a
7、(x+1) 22(a0)把点 B(1,0)代入 y=a(x+1) 22,解得:a= ,故二次函数解析式为:y= (x+1) 22;(2)证明:连接 DM,MBC 为等边三角形,CMB=60,AMC=120,点 D 平分弧 AC,AMD=CMD= AMC=60,MD=MC=MA,MCD,MDA 是等边三角形,DC=CM=MA=AD,四边形 AMCD 为菱形(四条边都相等的四边形是菱形) ;(3)解:存在理由如下:设点 P 的坐标为(m,n)S ABP = AB|n|,AB=4 4|n|=5,即 2|n|=5,解得:n= ,当 时, ( m+1) 22= ,解此方程得:m 1=2,m 2=4即点
8、P 的坐标为(2, ) , (4, ) ,当 n= 时, (m+1) 22= ,此方程无解,故所求点 P 坐标为(2, ) , (4, ) 【同步练】(2016四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点,且 OA=1,OB=3,OC=4,(1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P,使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标,并直接写出|
9、PMAM|的最大值类型三:抛物线与图形变换的综合问题【例题 3】 (2016陕西)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5 经过点 M(1,3)和 N(3,5)(1)试判断该抛物线与 x 轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点 A(2,0) ,且与 y 轴交于点 B,同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 (1)把 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b 的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与 x 轴的交点情况;(2)利用 A
10、 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把 A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解:(1)由抛物线过 M、N 两点,把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得 ,解得 ,抛物线解析式为 y=x23x+5,令 y=0 可得 x23x+5=0,该方程的判别式为=(3) 2415=920=110,抛物线与 x 轴没有交点;(2)AOB 是等腰直角三角形,A(2,0) ,点 B 在 y 轴上,B 点坐标为(0,2)或(0,2) ,可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n,当抛物线过点 A(2,0) ,
11、B(0,2)时,代入可得 ,解得 ,平移后的抛物线为 y=x2+3x+2,该抛物线的顶点坐标为( , ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,将原抛物线先向左平移 3 个单位,再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线;当抛物线过 A(2,0) ,B(0,2)时,代入可得 ,解得 ,平移后的抛物线为 y=x2+x2,该抛物线的顶点坐标为( , ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,将原抛物线先向左平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】(2016重庆市 A 卷12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A,B 两点
12、(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为点 E(1)判断ABC 的形状,并说明理由;(2)经过 B,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D,点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点,当PCD 的面积最大时,Q 从点 P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处,最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时,求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长;( 3)如图 2,平移抛物线,使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动,点 E 平移后的对应点为点 E,点 A 的对应点为点 A,将
13、AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置,点A,C 的对应点分别为点 A1,C 1,且点 A1恰好落在 AC 上,连接 C1A,C 1E,AC 1E是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点 E的坐标;若不能,请说明理由类型四:抛物线下的动态最值问题【例题 4】 (2016贵州安顺14 分)如图,抛物线经过 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA+PC 的值最小,求点 P 的坐标;(3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求
14、点 N 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0) ,再把 A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点代入求出 a、b、c 的值即可;(2)因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为(5,0) ,连接 BC 交对称轴直线于点P,求出 P 点坐标即可;(3)分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0) ,A(1,0) ,B(5,0) ,C(0, )三点在抛物线上, ,解得 抛物线的解析式为:y= x22x ;(2)抛物线的解析式为:y= x22x ,其对称轴为直线 x=
15、= =2,连接 BC,如图 1 所示,B(5,0) ,C(0, ) ,设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k0) , ,解得 ,直线 BC 的解析式为 y= x ,当 x=2 时,y=1 = ,P(2, ) ;(3)存在如图 2 所示,当点 N 在 x 轴下方时,抛物线的对称轴为直线 x=2,C(0, ) ,N 1(4, ) ;当点 N 在 x 轴上方时,如图,过点 N2作 N2Dx 轴于点 D,在AN 2D 与M 2CO 中,AN 2DM 2CO(ASA) ,N 2D=OC= ,即 N2点的纵坐标为 x22x = ,解得 x=2+ 或 x=2 ,N 2(2+ , ) ,N 3(2 , )
16、 综上所述,符合条件的点 N 的坐标为(4, ) , (2+ , )或(2 , ) 【点评】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论【同步练】(烟台市 2015 中考 -24)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 与M 相交于 A、B、C、D 四点,其中 A、B 两点的坐标分别为(1,0) , (0,2) ,点 D 在 x 轴上且 AD 为M 的直径点 E 是M 与 y 轴的另一个交点,过劣弧 上的点 F 作 FHAD 于点H,且 FH=1.5(1)求点 D 的坐标及该
17、抛物线的表达式;(2)若点 P 是 x 轴上的一个动点,试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使QCM 是等腰三角形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由类型五:抛物线下的动态存在问题【例题 5】 (枣庄市 2015 中考 -25)如图,直线 y=x+2 与抛物线(a0)相交于 A( , )和 B(4,m) ,点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的26yaxb125动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若
18、不存在,请说明理由;(3)求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标思路分析:此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系,对于题(1)已知 B(4,m)在直线y=x+2 上,很容易求得 m 的值,又因为已知抛物线图象上的 A、B 两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值 (2)要弄清 PC 的长,实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标,根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标,进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC 的最大
19、值对于题(3)当PAC 为直角三角形时,根据直角顶点的不同,需要结合图形从三种情况进行分类讨论,分别求解解题过程:解:(1)B(4,m)在直线 y=x+2 上,m=4+2=6,B(4,6) ,A( , ) 、B(4,6)在抛物线 上,12526yaxb ,解得 ,()1ab8b抛物线的解析式为 26yx(2)设动点 P 的坐标为(n,n+2) ,则 C 点的坐标为( , ) ,n286PC=( +2)( ) ,286= ,294n= ,()8PC0,当 n= 时,线段 PC 最大且为 94498(3)PAC 为直角三角形,i)若点 P 为直角顶点,则APC=90由题意易知,PCy 轴,APC=
20、45,因此这种情形不存在;ii)若点 A 为直角顶点,则PAC=90如答图 31,过点 A( , )作 ANx 轴于点 N,则 ON= ,AN= 125125过点 A 作 AM直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,AMN 为等腰直角三角形,MN=AN= ,OM=ON+MN= + =3,52M(3,0) 设直线 AM 的解析式为:y=kx+b,则: ,解得 ,15230kb13kb直线 AM 的解析式为:y=x+3 又抛物线的解析式为:y=2x 28x+6 联立式,解得:x=3 或 x= (与点 A 重合,舍去)1C(3,0) ,即点 C、M 点重合当 x=3 时,y=x+2=5,P 1
21、(3,5) ;iii)若点 C 为直角顶点,则ACP=90y=2x 28x+6=2(x2) 22,抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32,作点 A( , )关于对称轴 x=2 的对称点 C,125则点 C 在抛物线上,且 C( , ) 7当 x= 时,y=x+2= 7212P 2( , ) 点 P1(3,5) 、P 2( , )均在线段 AB 上,71综上所述,PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或( , ) 721规律总结:熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键【同步练】(2016内蒙
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019 年中 数学 压轴 专题 二次 函数 解析
链接地址:https://www.77wenku.com/p-64174.html