2019年中考数学临考冲刺专题练测：线段最值问题（含解析）

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1、线段最值问题1. (1)如图 ，已知 O 及O 外一点 C，请在O 上找一点 P，使其到点 C 的距离最近；(2)如图 ，已知正方形 ABCD 的边长为 4.点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 方向向终点 C 和 D 运动连接 AM 和 BN，交于点 P.请在图中画出点 P 的运动路径，并求出点 P 到点 C 的最短距离；(3)如图 ，AC 为边长为 4 的菱形 ABCD 的对角线，ABC60.点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CA 方向向终点 C 和 A 运动，连接AM 和 BN，交于点 P，求点 P 到直线 CD 的最短距

2、离第 1 题图解：(1) 如解图 ，连接 OC 交O 于点 P，点 P 即为所求；第 1 题解图 (2)由题知 BMCN ，在ABM 和BCN 中，CNBMAABMBCN(SAS)，AMBBNC ，又PBM CBN，PBMCBN，BPMBCN 90，APB90，如解图 ，连接 AC、BD 交于点 O，取 AB 中点 E，则以点 E 为圆心，BE 为半径的 即为点 P 的运动路径，连接 EC 交BO BO 于点 F，则点 P 与点 F 重合时，点 P 到点 C 距离最近第 1 题解图 在 RtBCE 中，CE ，BC2 BE2BE AB2，BC4，12CE2 ，5EF BE AB2，12CFCE

3、EF2 2，5点 P 到点 C 的最短距离为 2 2；5(3)由题知 BMCN .四边形 ABCD 为菱形，且 ABC60，ACB BCD60 ，12ABC ACB.在ABM 和BCN 中， ，CNBMAABMBCN，AMBBNC ，BPMBCN，BPMBCN 60，APB180BPM120.如解图 ，分别作线段 AB、BP 的垂直平分线，两线交于一点 E，则以点 E 为圆心，EB 为半径的 为点 P 的运动路径BA 连接 EC，交 于点 F，当点 P 与点 F 点重合时，点 P 到 CD 的距离最近 BA ABC ACB60，且 ABBC，ABC 是等边三角形，CE 为 AB 的垂直平分线，

4、BCE30， ，BF FA BEC2 BAP60 ， 第 1 题解图EBC90，在 RtEBC 中，CE ，BCsin60 432 833BE ，BCtan60 43 433又EF BE，CFCEEF .433点 P 到直线 CD 的最短距离为 .4332. 问题探究(1)请在图 的ABC 的边 BC 上作一点 P，使 AP 最短；(2)如图 ，点 P 为ABC 内部一点，且满足APBBPCAPC.求证：点 P 到点 A、B 、C 的距离之和最短，即 PAPBPC 最短；问题解决(3)如图 ，某高校有一块边长为 400 米的正方形草坪 ABCD，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在 P 点处，

5、使点 P 到 B、C 、D 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点 P？若存在，请作出点 P 的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由第 2 题图(1)解：如解图 所示，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 P，点 P 即为所求；第 2 题解图(2)证明 ：如解图 ，将 AB 绕点 B 逆时针旋转 60，得到 A1B，将 PB 绕点 B 逆时针旋转 60，得到 P1B，连接 P1A1，P 1P，A 1A，A 1B，根据作图可知AA 1B 和PP1B 均为等边三角形，则 PP1PB，AA1B、PP 1B 为等边三角形，A1B AB，BP 1BP ， A1BAP 1BP60，A1BP1

6、 P1BAPBA P1BA，A1BP1 PBA，A1BP1ABP，P 1A1PA ，P1A1PP 1PCPAPB PC，连接 A1C，根据两点之间线段最短可知，当 P1A1PP 1PC A 1C 时，PAPBPC 最短，APBBPC APC 360120，13A1P1B APBBPC120，又BP 1P 为等边三角形，A 1P1BBP 1P BPP1BPC 180，A1、P 1、P、C 四点共线，P1A1PP 1PCA 1C，当APB BPCAPC 时，PAPB PC 最短；(3)解：存在符合条件的点 P.如解图 ，以 CD 为边作等边 CDE，再作 CDE 的外接圆O ，连接 BE，交O 于

7、点 P，此时 PBPCPD 最小在 PE 上截取 PQPC.在等边 CDE 中，DCECDE60，CPE CDE60(同弧所对的圆周角相等 )，第 2 题解图 CPQ 为等边三角形，CQCP，PCQ60，PCDDCQ DCQECQ60，PCDECQ，又CDCE，PCQC，PCDQCE(SAS)，PDQE，PB PCPDPBPQQE BE 最小，理由如下：设点 M 为正方形 ABCD 内任意一点，连接 BM，CM、DM，将 CMD 绕点 C 顺时针旋转 60得到 CGE，BEGEGMMB MDMCMB ，BE 为 PBPCPD 的最短距离在 RtCEF 中，ECF30，CE 400 米，EF CE200(米)，CFCEcos30200 (米)，12 3BF BCCF400200 (米)，3在 RtBEF 中，BE 200( )773BF2 EF2 （400 2003）2 2002 6 2米点 P 到 B、C 、D 三点的距离之和最小值为 200( )米(或约为 773 米)6 2