2019年中考数学临考冲刺专题练测:相似三角形存在性(含解析)
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1、 1 探究相似三角形存在性问题1如图,已知抛物线 yax 2bx 4 与 x 轴交于点 A(1,0)、B(8,0) ,与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 是线段 BC 上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N,过点 M 作MHBC 于点 H,求PMH 周长的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在点 P,使得以点 P、C、M 为顶点的三角形与OBC 相似?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由第 1 题图解:(1)将点 A(1,0),B(8 ,0) 分别代入 yax 2bx4 中,得 ,a b 4 064a 8b 4 0)解得
2、 ,a 12b 72)抛物线的解析式为 y x2 x4;12 72(2)对于 y x2 x4,12 72令 x0,则 y4,点 C 的坐标为(0,4),设直线 BC 的解析式为 ykx t,将点 B(8,0) , C(0,4)分别代入得,解得 ,8k t 0t 4 ) k 12t 4)直线 BC 的解析式为 y x4,12设点 P 的坐标为(m, m4) ,则点 M 的坐标为(m, m2 m4),12 12 72PM m2 m4( m4) m24m (m4) 28,12 72 12 12 12 0,12当 m4 时,PM 有最大值 ,其最大值为 8, 2 MH BC,MNAB ,MHPPNB9
3、0 ,MPHBPN,HMPABC,MHPBOC90 ,MPHBCO,OC4,OB8,BC 4 ,42 82 5OBC 的周长为 484 124 ,5 5设PMH 的周长为 L,则 ,解得 L 8,L12 45 845 2455PMH 周长的最大值为 8;2455(3)存在,当MCP90时,易得MPC BCO,第 1 题解图如解图,过点 M 作 MGOC 于点 G,GCMBCOOBC BCO90,GCMOBC,CGMBOC90,CMGBCO, ,MGCG OCOB 12MG CG,12由(2)知,点 P 的坐标为(m, m4),点 M 的坐标为( m, m2 m4),12 12 72m CG (
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