2019年中考数学临考冲刺专题练测:圆的综合题(含解析)
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1、 圆的综合题1.如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,点 P 为边 AD 或 CD 上的一个动点,以3BP 为直径作半圆 ,圆心为点 O,过点 O 作 OFAD,交 CD 于点 F,交半圆 O 于点E(1)如图 ,当点 P 与点 D 重合时,求 EF 的长;(2)当半圆 O 与 CD 相切时.求 AP 的长;求半圆 O 与正方形重叠部分的面积.第 1 题图解:(1)在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=3,BD= 321当 P 和 D 重合时,BD 就是直径OB=OD,OFADBC,OF= BC= 12OE= BD= ,12EF=OEOF= ;32(2)如解图,当 E 点和 F
2、 点重合时,半圆 O 与 CD 相切设 AP=a,则 PD=3a点 O 是 PB 的中点,OEBCAD ,在四边形 PDCB,OE= 322PDBCa在 RtABP 中,根据勾股定理得到 P= ,21Aa =3 ,21a解得 a=2;当点 P、C 重合时,半圆 O 与 CD 相切于点 C,点 C、P 重合,AP=BD = .21因此,当半圆 O 和 CD 相切时,AP=2 或 ;21当半圆 O 与 CD 相切于点 C 时,重叠面积为 0;当半圆 O 与 CD 相切于点 E 时,如解图,BC 与 交于点 Q,连接 OQ.ABP此时 AP=2,在矩形 ABCD 中,AB=2 ,A=90,3tanA
3、BP= ,2APBABP=30,OB=OQ=OP=AP=2,CBP=90ABP=60,OB=OQ,OBQ 是等边三角形,BOQ=60,POQ=120,半圆 O 与正方形重叠部分的面积= sOBQS 扇形 POQ= =234OP2106.43第 1 题解图2.如图,将 RtABC 的顶点 A 放在半圆 O 上,现从 AC 与半圆 O 相切于点 A(如图)的位置开始,将ABC 绕着点 A 顺时针旋转,设旋转角为 ,旋转后 AC、AB 分别与半圆 O 交于点 E、F,连接 EF(如图)已知BAC=60,C=90,AC=6,半圆O 的直径为 8(1)求 的长 ;A(2)当 =30时,求证:BC 与 O
4、 相切;(3)求点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围.第 2 题图解:(1)如解图,连接 OE、OFBAC=60,EOF=120, 的长= ;AEF120(8)3(2)证明 :如解图,BAC =60,=30,RtABC 的斜边 AB 经过圆心 O,作 OGBC 于点 GBAC=60,C=90,AC=6,AB=12,O 的直径为 8,AO=4,BO=8,OGBC,C=90,OGAC, ,即 ,OGBAC8612解得 OD=4,即 OD 是O 的半径,BC 与O 相切;(3)C=90,当点 C 在直径 AD 上时,点 O 到 BC 的距离最小为 x=64=2;当点 C 在 DA 的延长线上时,
5、点 O 到 BC 的距离最大为 x=64=10,点 O 到 BC 的距离 x 的取值范围为 2x10.第 2 题解图3.如图,四边形 ABCD 是正方形,且 AB=8,点 O 与 B 重合,以 O 为圆心,作半径为 5的半圆 O,交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,交 AB 延长线于点 G,连接 EF、AC ,M 是半圆 O 上任一点.发现:AM 的最大值为 ,AC 与 EF 的位置关系是 ,S 阴影 = .将半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 .思考:(1)若点 C 落在半圆 O 的直径 GF 上,求圆心 O 到 AB 的距离;(2)若 =90,求半圆 O 落在正方形内部的弧长 ;
6、探究:在旋转过程中,若半圆 O 与正方形的边长相切,求点 A 到切点的距离.(注:sin37= ,sin53= ,tan37= )3543第 3 题图解:发现 :13;平行;64;【解法提示】当点 M 与点 G 重合时,AM 取得最大值,为 AG=ABBG=13,在正方形 ABCD 中,BAC=45,ABC=90, 在半圆 O 中,BF=BE,BFE=BEF= 90=45=BAC,ACEF,12在半圆 O 中,扇形 BEF、扇形 BFG 均为 圆,面积相等,14S 阴影 =S 正方形 ABCD=AB2=64.思考:(1)如解图 ,过点 O 作 OQAB 于点 Q.四边形 ABCD 是正方形,A
7、BC=90,OQBC, ,FCQBCF= , ,OQ= ,285989O4089圆心 O 到 AB 的距离为 ;40(2)如解图 ,设半圆 O 交 AD 于点 N,过点 O 作 OHAD 于点 H.四边形 ABCD 是正方形,DAB=90.半圆 O 绕点 F 逆时针旋转,旋转角为 90,OFA=90,四边形 HAFO 是矩形,AH=OF=5,OH=AF=ABBF=3,AHOF ,sinHNO= ,HNO=37,35OHNNOF=HNO=37,半圆 O 落在正方形内部的弧长: ;A3751806NF探究: 如解图 ,由思考 (2)得当半圆 O 与 AB 相切时,切点为 F,A 到切点的距离为 A
8、F=3;如解图 当半圆 O 与 CD 相切时,设切点为 R,连接 OR,并延长 RO 交 AB 于点T,连接 AR,则 ORC=90.DCAB,OTB=90,四边形 RCBT 是矩形 ,RT=CB=8,OT=8 5=3,FT= ,AT=AB BT=AB (BF FT)=7,2534AR= .26913RTA第 3 题解图当半圆 O 与 AD 相切时,设切点为 P,如解图,连接 OP,过点 F 作 FSPO 于点S,则四边形 PAFS 是矩形,PS=AF=3,AP=SF,SF= ,AP= .2512综上所述,点 A 到切点的距离为 3 或 或 .4.如图,已知扇形 BOG 的圆心为 O,半径为
9、2,圆心角为 270,AB 为直径,CD 为弦AB 与 CD 交于点 M,将 沿着 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,延长 OA 至 P,使ACDAP=OA,连接 PC(1)求 CD 的长;(2)求证 :PC 是扇形 BOG 的切线;(3)在 PC 延长线上有一点 Q,连接 QG 交 AB 于点 E,交 于点 F(F 与 B、C 不重AB合)求 GEGF 的值.第 4 题图(1)解:如解图,连接 OC, 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,ACDOM= OA= 2=1,CDOA,12OC=2,CD=2CM=2 ;2213OCM(2) 证明: PA=OA=2,AM=OM=1,CM=
10、 CD= ,CMP=OMC=90,PC= ,22(3)CMPOC=2,PO=22=4,PC 2OC 2=(2 )22 2=16=PO2,PCO=90,PC 是O 的切线;(3)解:如解图,延长 GO 交O 于点 H,连接 FH.扇形 BOG 的圆心为 O,圆心角为 270,GOE=90,HFG=90,且 OGE=FGH,OGEFGH, ,GEFHGEGF=OGGH=24=8.第 4 题解图5.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使 PCPB,D 是 AC 的中点,连接 PD、PO (1)求证:CDPPOB;(2)填空:若 AB4
11、,则四边形 AOPD 的最大面积为 ;连接 OD,当PBA 的度数为 时,四边形 BPDO 是菱形第 5 题图(1)证明: PCPB,D 是 AC 的中点,DPAB,DP AB,CPDPBO,2BO AB,1DPBO,在CDP 与 POB 中,DPBOCCDPPOB(SAS);(2)解:4;【解法提示】当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积,(42) (42)224.60【解法提示】如解图,DPAB,DPBO ,四边形 BPDO 是平行四边形,四边形 BPDO 是菱形,PB BO,POBO,PB BOPO,PBO 是等边三角形,PBA 的度数为 60第 5 题解图6.如图,
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