2019年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（4 分）在 这四个实数中，最大的数是（ ）A B C3 D42（4 分）下列算式中，计算结果为 a5 的是（ ）Aa 2a3 B（a 2） 3 Ca 2+a3 Da 4a3（4 分）某课题小组针对 200 吨垃圾再利用的情况进行了调查并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，则条形统计图中 a 的值为（ ）A100 吨 B70 吨 C28 吨 D2 吨4（4 分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去 2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）A向左平移 2 个单

2、位 B向右平移 2 个单位C向上平移 2 个单位 D向下平移 2 个单位5（4 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是（ ）A4 B5 C6 D76（4 分）已知反比例函数 在其各个分支上 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm0 Dm 07（4 分）下列说法中，正确的是（ ）A一个游戏中奖的概率是 ，则做 10 次这样的游戏一定会中奖B为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C一组数据 8，8，7，10， 6，8，9 的众数是 8D若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小8（4 分）若一次函数 y

3、kx+b 的图象位置如图所示，则 k，b 的取值范围是（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk 0，b09（4 分）已知ABC 中，A30，则下列结论正确的是（ ）A0B60B90B150C0B60或 90 B 150D以上都不对10（4 分）如图，在矩形 ABCD 中放入 6 个全等的小矩形，所标尺寸如图所示，设小矩形的长为 a，宽为 b，则可得方程组（ ）A BC D11（4 分）在玩俄罗斯方块游戏时，底部己有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）A B C D12（4 分）如图，点 C 的坐标为（ 3，4），CA y 轴

4、于点 A，D 是线段 AO 上一点，且OD3AD ，点 B 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向运动，CB 与直线 y x 交于点 E，则CDE 的面积（ ）A逐渐变大 B先变大后变小C逐渐变小 D始终不变二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 14（4 分）若 ，则 a+b 15（4 分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 16（4 分）如图，已知 EF 是ABC 的中位线，DE BC 交 AB 于点 D，CD 与 EF 交于点G，若 CDAC，EF9，E

5、G4，则 AC 的长为 17（4 分）已知自变量为 x 的二次函数 y（ax +b）（ x+ ）经过（m ，3）、（m+4，3）两点，若方程（ax +b）（x + ）0 的一个根为 x5，则其另一个根为 18（4 分）已知点 C 为函数 y （x0）上一点，过点 C 平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，交函数 y 于点 A，作 ABCO 于 E，交 y 轴于 B，若BCA 45，OBC的面积为 14，则 m 三、解答题（第 19 题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23、24 题每题 10 分，第 25题 12 分，第 26 题 14 分，共 78 分）19（6 分）化简

6、： 20（8 分）如图，ABC 中，ABAC 13，BDAC 于点 D，sinA（1）求 BD 的长；（2）求 tanC 的值21（8 分）在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是 ；（2）小明把 A、B 两把尺的各任意一个角拼在一起（无重叠无缝隙）得到一个更大的角，请画树状图或列表说明这个角是钝角的概率是多少22（10 分）某写字楼门口安装了一个如图所示的旋转门，旋转门每转一圈按正常负载可以出去 6 人，每分钟转 4 圈（1）问：按正常负载半小时此旋转门可出去多少人？（2）

7、紧急情况时，旋转门每圈负载出去人数可增加 50%，但因此每分钟门的转速降低25%直接写出紧急情况时旋转门每分钟可以出去 人；该写字楼有 9 层，每层 10 间办公室，平均每个办公室 6 人，为了符合消防安全要求，要在一楼再安装几近普通侧门，每近侧门每分钟能通过 45 人，在紧急情况下，要使整写字楼的人能在 5 分钟内全部安全离（下楼时间忽略不计），至少要安装几道普通侧门23（10 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 是O 的切线，过点 D 作 BDOC 交O 于点 D（1）求证：CD 是 O 的切线（2）若O 的径为 6，B60，求图中阴影部分的面积24（10 分）在坐标平面内，以 x 轴上

8、的 1 个单位长为底边按一定规律向上画矩形条现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表 单位底 3 2 10 01 12 23 34 位置 2 1矩形条高 1 3.5 15 若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标 （2）求这个函数解析式；（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积25（12 分）若矩形的内接平行四边形的一组邻边分别与矩形的两条对角线平行，这样的平行四边形叫做这个矩形的台球四边形（1）如图 1，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形， AC、BD 交于点 O

9、求证：12；（2）小明尝试借用作图对台球四边形的性质进行探究：在图 2，图 3 的正方形网格中，请你仅用直尺作出矩形 ABCD 的台球四边形（其中格点 E 为台球四边形的一个顶点）；借助图形，小明进一步探究台球四边形的性质，得到了如下两个猜想，请你判断（对的打，错的打）a一个矩形的台球四边形的周长等于这个矩形两条对角线的和（ ）；b一个矩形的台球四边形的面积不超过这个矩形面积的一半（ ）；（3）如图 4，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形，若AD4，AB8，EGHG，求 AE 的长26（14 分）如图 1已知M 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，A、B

10、两点的横坐标分别为1 和 7，弦 AB 的弦心距 MN 为 3，（1）求M 的半径；（2）如图 2，P 在弦 CD 上，且 CP2，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQCQD 时，判断线段 PQ 与直径 CF 的位置关系，并说明理由；求 CQ 的长；（3）如图 3若 P 点是弦 CD 上一动点，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQ 与CQD 互余时，求PEM 面积的最大值2019 年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1（4 分）在

11、这四个实数中，最大的数是（ ）A B C3 D4【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可【解答】解：3 4，在 这四个实数中，最大的数是 故选：B【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2（4 分）下列算式中，计算结果为 a5 的是（ ）Aa 2a3 B（a 2） 3 Ca 2+a3 Da 4a【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可【解答】解：A、a 2a3a 5，故本选项符

12、合题意；B、（a 2） 3a 6，故本选项不符合题意；C、a 2 和 a3 不能合并，故本选项不符合题意；D、a 4aa 3，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键3（4 分）某课题小组针对 200 吨垃圾再利用的情况进行了调查并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，则条形统计图中 a 的值为（ ）A100 吨 B70 吨 C28 吨 D2 吨【分析】根据题意列式计算即可得到结论【解答】解：20035%70 吨，答：条形统计图中 a 的值为 70 吨，故选：B【点评】此题

13、考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键4（4 分）将某个图形的各个顶点的横坐标都减去 2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位C向上平移 2 个单位 D向下平移 2 个单位【分析】纵坐标不变则函数图象不会上下移动，横坐标减 2，则说明函数图象向左移动2 个单位【解答】解：由于图象各顶点的横坐标都减去 2，故图象只向左移动 2 个单位，故选：A【点评】本题考查了坐标与图形的变化平移，要知道，上下移动，横坐标不变，左右移动，纵坐标不变5（4 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是（ ）A4 B5 C6

14、D7【分析】根据内角和定理 180（n2）即可求得【解答】解：多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180720，解得 n6，这个多边形的边数是 6故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180（n2），难度适中6（4 分）已知反比例函数 在其各个分支上 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm0 Dm 0【分析】根据“反比例函数 y 在其各个分支上 y 随 x 的增大而减小”，结合反比例函数的性质，得到关于 m 的一元一次不等式，解之即可【解答】解：反比例函数 y 在其各个分支上 y 随 x 的增大而减小，m10，解得：m1，故选：A【点评】

15、本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键7（4 分）下列说法中，正确的是（ ）A一个游戏中奖的概率是 ，则做 10 次这样的游戏一定会中奖B为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C一组数据 8，8，7，10， 6，8，9 的众数是 8D若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小【分析】根据概率的意义可判断出 A 的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出 B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出 C 的正误；根据方差的意义可判断出 D 的正误【解答】解：A、一个游戏中奖的概率是 ，做 10 次

16、这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据 8，8，7，10， 6，8，9 的众数和中位数都是 8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动大；故选：C【点评】此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数8（4 分）若一次函数 ykx+b 的图象位置如图所示，则 k，b 的取值范围是（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk 0，b0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进

17、行解答即可【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象经过一、二、四象限，k0，b0故选：D【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 ykx +b（k 0）中，当 k0，b0 时图象在一、二、四象限9（4 分）已知ABC 中，A30，则下列结论正确的是（ ）A0B60B90B150C0B60或 90 B 150D以上都不对【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可【解答】解：A+B+C180，A30，B+C 150 ，0B150，故选：D【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，是一个基础题，熟记三角形的内角和定理是解题的关键三角形的三个内角和等于 18010（4 分）如图，在矩

18、形 ABCD 中放入 6 个全等的小矩形，所标尺寸如图所示，设小矩形的长为 a，宽为 b，则可得方程组（ ）A BC D【分析】设小矩形的长为 a，宽为 b，根据矩形的性质列出方程组即可【解答】解：设小矩形的长为 a，宽为 b，则可得方程组 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键11（4 分）在玩俄罗斯方块游戏时，底部己有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）A B C D【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案【解答】解：如图所示：只有选项 D 可以

19、与已知图形组成中心对称图形故选：D【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键12（4 分）如图，点 C 的坐标为（ 3，4），CA y 轴于点 A，D 是线段 AO 上一点，且OD3AD ，点 B 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向运动，CB 与直线 y x 交于点 E，则CDE 的面积（ ）A逐渐变大 B先变大后变小C逐渐变小 D始终不变【分析】根据已知条件得到 AO4，AC3，求得 AD1，OD 3，设点 E（m， m），求得直线 BC 的解析式为 y x ，得到 B（ ，0），根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：点 C 的坐标为（ 3，4）

20、，CA y 轴于点 A，AO4，AC3，OD3AD ，AD1，OD3，CB 与直线 y x 交于点 E，设点 E（m， m），设直线 BC 的解析式为：y kx+ b， ，解得： ，直线 BC 的解析式为：y x ，B（ ，0），S CDE S 四边形 AOBCS ACD S DOE S OBE （3+ ）4 313m m ，故CDE 的面积始终不变，故选：D【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，梯形和三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2

21、019 【分析】直接利用二次根式的性质得出答案【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义，x20190，解得：x2019故答案为：x2019【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键14（4 分）若 ，则 a+b 3 【分析】 ，+ ，利用等式的性质，等式两边同时除以 4，即可得到答案【解答】解： ，+得：4a+4b12，等式两边同时除以 4 得：a+b3，故答案为：3【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法和等式的性质是解题的关键15（4 分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是

22、 2 【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥又已知底面半径可求出母线长以及侧面积【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为 1，母线长为 2，因此侧面面积为：12 2故答案为：2【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长16（4 分）如图，已知 EF 是ABC 的中位线，DE BC 交 AB 于点 D，CD 与 EF 交于点G，若 CDAC，EF9，EG4，则 AC 的长为 6 【分析】由三角形中位线定理得出 AB2EF18，EF AB，AFCF，CEB

23、E，证出GE 是BCD 的中位线，得出 BD2EG8，AD AB BD10，由线段垂直平分线的性质得出 CDBD8，再由勾股定理即可求出 AC 的长【解答】解：EF 是ABC 的中位线，AB2EF18，EFAB ，AFCF，CEBE，G 是 CD 的中点，GE 是BCD 的中位线，BD2EG 8，ADABBD10，DEBC，CEBE ，CDBD8，CDAC，ACD90，AC 6；故答案为：6【点评】本题考查了三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，求出 CDBD 是解题的关键17（4 分）已知自变量为 x 的二次函数 y（ax +b）（ x+ ）经过（

24、m ，3）、（m+4，3）两点，若方程（ax +b）（x + ）0 的一个根为 x5，则其另一个根为 1 或9 【分析】根据题意得到抛物线过定点（0，3），即可求得（m，3）、（m +4，3）两点的坐标，求得对称轴，然后根据解析式和方程的关系即可求得另一个根【解答】解：二次函数 y（ax+b）（x + ），当 x0 时，y 3，二次函数 y（ax +b）（x + ）必经过定点（0，3），二次函数 y（ax +b）（x + ）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（4，3）（0，3）两点，对称轴为：x 2 或 x 2方程（ax+b）（x + ）0 的一个根为 x5，另一个根为1 或9故答案为1 或

25、9【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式18（4 分）已知点 C 为函数 y （x0）上一点，过点 C 平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，交函数 y 于点 A，作 ABCO 于 E，交 y 轴于 B，若BCA 45，OBC的面积为 14，则 m 21 【分析】设 A（a， ），则 C（ ， ），则ADa，OD ，CD ，证得ABDOCD（AAS），证得 ADOD ，即可求得 A（3，3），进而求得 BDCD ，OB BDOD 3，根据OBC的面积为： OBCD14，即可求得 m 的值【解答】解：设 A（a， ），则 C（ ， ），ADa，OD ，CD ，

26、ACx 轴， BCA45，BDCD ，CEAB，AECODC90，ACEOCD，AODC，在ABD 和OCD 中，ABDOCD（AAS），ADOD ，a ，a3，OD3，C（ ，3），BDCD ，OBBD OD 3，OBC 的面积为： OBCD14， （ 3） 14，解得 7 或4（舍去），m21，故答案为 21【点评】本题考查了反比例系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，证得ABDOCD 是解题的关键三、解答题（第 19 题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23、24 题每题 10 分，第 25题 12 分，第 26 题 14 分，共

27、78 分）19（6 分）化简： 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型20（8 分）如图，ABC 中，ABAC 13，BDAC 于点 D，sinA（1）求 BD 的长；（2）求 tanC 的值【分析】（1）根据三角函数得出 BD12 即可；（2）利用勾股定理得出 AD 5，进而得出 DC8，利用三角函数解答即可【解答】解：（1）ABC 中，ABAC 13，BDAC 于点 D，sinA ，即 ，解得：BD12；（2）ACAB13，BD 12，BDAC，AD5，DC8，tanC 【点评】此题考查解直角三

28、角形问题，关键是根据三角函数得出 BD 的值21（8 分）在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是 ；（2）小明把 A、B 两把尺的各任意一个角拼在一起（无重叠无缝隙）得到一个更大的角，请画树状图或列表说明这个角是钝角的概率是多少【分析】（1）找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形即可；（2）根据概率公式计算即可解答【解答】解：（1）结果是轴对称图形的概率是 ，故答案为： ；（2）设角为 90，60，45，30分别为 A1，A 2，B，C 1，C 2，D；画树状

29、图如图所示，一共有 18 种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有 12 种，这个角是钝角的概率是 【点评】此题为轴对称图形与概率的综合应用，考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22（10 分）某写字楼门口安装了一个如图所示的旋转门，旋转门每转一圈按正常负载可以出去 6 人，每分钟转 4 圈（1）问：按正常负载半小时此旋转门可出去多少人？（2）紧急情况时，旋转门每圈负载出去人数可增加 50%，但因此每分钟门的转速降低

30、25%直接写出紧急情况时旋转门每分钟可以出去 27 人；该写字楼有 9 层，每层 10 间办公室，平均每个办公室 6 人，为了符合消防安全要求，要在一楼再安装几近普通侧门，每近侧门每分钟能通过 45 人，在紧急情况下，要使整写字楼的人能在 5 分钟内全部安全离（下楼时间忽略不计），至少要安装几道普通侧门【分析】（1）根据题意直接计算即可（2） 分别计算出每分钟增加的人数及门的转速即可求解先计算出 5 分钟旋转门能通过多少人，再计算在 5 分钟内普通侧门能通过多少人即可【解答】解：（1）正常负载下，半小时可出去：3046720 人（2） 紧急情况下，出去人数可增加 50%，则每圈出去人数为：6（

31、1+50%）9 人，每分钟门转速降低 25%，即每分钟转的圈数为 4（125%）3 圏则每分钟可以出去：3927 人故答案填 27写字楼的总人数为：9106540 人急情况下，要使整写字楼的人能在 5 分钟，旋转门出去的人数为：527135 人则剩下的人数为 540135405 人，要从普通侧门通过则有 405（455）1.8，即至少安装 2 道普通侧门【点评】此题主要考查了应用题，解题的关键是读懂题意，也可以通过列方程进行解题，但直接解题相对简单23（10 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 是O 的切线，过点 D 作 BDOC 交O 于点 D（1）求证：CD 是 O 的切线（2）若O 的

32、径为 6，B60，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OD，根据 CD 与圆 O 相切，利用切线的性质得到 OD 垂直于 CD，再由 OC 与 BD 平行，得到同位角相等与内错角相等，根据 OBOD ，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由 OAOD，OCOC，利用 SAS 得到三角形 AOC 与三角形 DOC 全等，利用全等三角形对应角相等得到OACODC90，即可得证；（2）由 ODOBDB 得到三角形 ODB 为等边三角形，求出AOD 120，由平行线的性质得出AOCB60，解直角三角形求得 AC6 ，根据图中阴影部分的面积2AOC 的面积扇形 DOB 的面积解答即

33、可【解答】（1）证明：连接 OD，AC 是O 的切线，OACA，CAO90，BDOC，AOCOBD，CODODB，OBOD ，OBD ODB，AOCCOD，在AOC 和DOC 中，AOCEOC（SAS），CAOCDO90，则 AC 与圆 O 相切；（2）解：B60，BOD 为等边三角形，AOD 120 ，OCBD，AOCB60，AC OA6 ，图中阴影部分的面积2AOC 的面积扇形 AOD 的面积 2 ACOA36 12【点评】此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键24（10 分）在坐标平面内，以 x 轴上的 1

34、个单位长为底边按一定规律向上画矩形条现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表 单位底位置 322110 01 12 23 34 矩形条高 1 3.5 15 若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标 （3，1），（0，3.5），（3，15） （2）求这个函数解析式；（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积【分析】（1）根据题意，表格中给定矩形左边长对应的数为在函数图象上的点的横坐标，高即为点的纵坐标，因此得到对应的三个坐标（2）我们已学的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，需逐个

35、计算排除由于函数图象经过 y 轴上的点（0，3.5），故排除反比例函数；取其中两个点求一次函数解析式，把第三个点的横坐标代入解析式，发现得到的纵坐标与实际不符，说明这三点没有在一条直线上，故排除一次函数；所以只能是二次函数，设一般式用待定系数法即求出函数解析式（3）所有矩形的底边长即宽相等，为 1，只有求出最矮的矩形的高即求出最小矩形条的面积把二次函数解析式配方得顶点式，可得 x 时，y 有最小值 y 但由于矩形底边左右端点对应的都是整数，即函数图象只取 x 为整数的点，故需考虑 x 在32 之间，得到其高为 1【解答】解：（1）矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上，且32高为 1，0

36、1 高为 3.5，34 高为 15对应点坐标为（3，1），（0，3.5），（3，15）故答案为：（3，1），（0，3.5），（3，15）（2）函数图象过点（0，3.5）此函数不可能为反比例函数假设是一次函数 ykx+d，把点（3，1）和（0，3.5）代入， 解得：当 x3 时，y x+ 615故这三点构成的函数不是一次函数设此函数为二次函数 yax 2+bx+c 解得：这个函数解析式为 y x2+ x+（3）二次函数 y x2+ x+ 当 x 时，y 有最小值 y矩形顶点对应的横坐标为整数，x 在32 之间其对应的矩形条高最矮，为 1最小矩形条的面积为 1【点评】本题考查了待定系数法求函数解析

37、式，求二次函数的最值问题，二次函数的应用解题关键是（1）读懂题意，找准点的横坐标；（2）逐步排除反比例函数和一次函数可能性；（3）求二次函数顶点后发现实际取不到最值对应的横坐标，要找最值所在矩形的位置25（12 分）若矩形的内接平行四边形的一组邻边分别与矩形的两条对角线平行，这样的平行四边形叫做这个矩形的台球四边形（1）如图 1，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形， AC、BD 交于点 O求证：12；（2）小明尝试借用作图对台球四边形的性质进行探究：在图 2，图 3 的正方形网格中，请你仅用直尺作出矩形 ABCD 的台球四边形（其中格点 E 为台球四边形的一个顶点）；借助图形，小

38、明进一步探究台球四边形的性质，得到了如下两个猜想，请你判断（对的打，错的打）a一个矩形的台球四边形的周长等于这个矩形两条对角线的和（ ）；b一个矩形的台球四边形的面积不超过这个矩形面积的一半（ ）；（3）如图 4，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形，若AD4，AB8，EGHG，求 AE 的长【分析】（1）由矩形性质可得对角线相等且互相平分，即 OAOB ，故有34；又由台球四边形定义得 AC EF，BD HE，故有内错角32，41，等量代换即得证（2） 由 ACEF ，BDHE 且根据平行线分线段定理，可知图 2 中 F、G 、H 为边的中点，图 3 中 F、G、H 为边的三等分

39、点，即画出图形； 由图 2、图 3 分别求平行四边形 EFGH 周长与矩形 ABCD 对角线和 AC+BD 关系，平行四边形 EFGH 面积与矩形ABCD 面积关系，即能判断两个结论都是对的（3）由 EGHG 可知EGH 为直角三角形，三边满足勾股定理；过 G 作 GMAB 于点 M 构造 RtEGM ，则三边满足勾股定理由台球四边形定义可证 DGBE 且AE、AH 的比等于 AB 与 AD 的比，故可设 AHx，用 x 表示 RtEGH 和 RtEGM 的所有边，以 GM 作为等量关系列方程，即求出 x 进而求得 AE 的长【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形ACBD，OA AC

40、，OB BDOAOB34四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形ACEF，BDHE32，4112（2） 如图 2、图 3 所示，EFGH 为所求作的图形a：图 2 中， E、F 、G 分别为 AB、BC、CD 的中点，故 EF AC，FG BDC EFGH2（EF +FG）2（AC+ BD）AC+ BDSEFGHS 矩形 ABCD4S AEH ABAD4 AEAHABAD2 AB AD ABAD S 矩形 ABCD图 3 中，E、F、G 分别为 AB、BC、CD 的三等分点，故 EF AC，FG BD矩形 ABCD 中，ACBDC EFGH2（EF +FG）2（ AC+ BD）2ACA

41、C+ BDSEFGHS 矩形 ABCD2S AEH 2S BEFABADAEAH BEBFABAD AB AD AB BCABAD ABAD ABBC ABAD S 矩形 ABCDC EFGHAC+BD，S EFGH S 矩形 ABCD 成立故答案为：；（3）如图 4，过点 G 作 GMAB 于点 M，连接 BDGMAGME 90矩形 ABCD 中，AD4，AB8AABCADC90，四边形 AMGD 是矩形AMDG，GMAD4四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的台球四边形EHBD ，HGEF由（1）得12，同理可得341+34+ 5901525在DGH 与BEF 中DGHBEF（AAS）DG

42、BEEHBD设 AHx，则 AE2x ，DH4x， AMDGBE82xRtDGH 中，HG 2DH 2+DG2（4x ） 2+（82x ） 25（4x） 2RtAEH 中，HE 2AE 2+AH2（2x） 2+x25x 2EGHGHGE 90GE 2HE 2HG 25x 25（4x ） 2MEABAM BE 82（82x）4x84（x 2）RtMEG 中，GE 2ME 2+GM24（x2） 24 25x 25（4x ） 24（x 2） 24 2解得：x 14（舍去），x 2AE5【点评】本题考查了新定义的理解和性质运用，矩形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元一

43、次方程第（3）题在矩形中给出直角三角形条件，利用勾股定理找等量关系列方程进而求线段长度，是较常规的解题方法26（14 分）如图 1已知M 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，A、B 两点的横坐标分别为1 和 7，弦 AB 的弦心距 MN 为 3，（1）求M 的半径；（2）如图 2，P 在弦 CD 上，且 CP2，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQCQD 时，判断线段 PQ 与直径 CF 的位置关系，并说明理由；求 CQ 的长；（3）如图 3若 P 点是弦 CD 上一动点，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQ 与C

44、QD 互余时，求PEM 面积的最大值【分析】（1）连接 MB，由题意得出 AB8，由垂径定理得出 BN4，由勾股定理得出BM 5 即可；（2） 连接 DF，由圆周角定理得出CDF90，CQDF，证出CEP90，即可得出结论；作 MNAB 于 N，MG CD 于 G，延长 QP 交M 于 H，则AN4，MN3，MGON1N AO 3，得出 MNMG，证出 CDAB8，由勾股定理得出 DF 6，证明CPE CFD，得出 ，即 ，解得：CE ，PE ，得出 EFCFCE ，由相交线定理即可得出 EQ2 ，在 RtCPE 中，由勾股定理求出 CQ 的长即可；（3）证出DCFCPQ，得出 CEPE ，作 EKCP 于 K，PTCM 于 T，则CKPK， ，设 EK3x，则 CK4x，CE PE 5x，PC8x，同（2）得：CPTCFD，得出 ，求出 PT x， CT x，由三角形面积公式得出PEM 的面积 S12x 2+12x12（x ） 2+3，由二次函数的性质即可得出结果【解答】解：（1）连接 MB，如图 1 所示：A、B 两点的横坐标分别为1 和 7，AB8，MNAB，BN4，在 Rt BMN 中，由勾股定理得： BM 5，即 M 的半径为 5；（2） PQCF ；理由如下：连接 DF，如图 2 所示：CF 是M 的直径，CDF90，F+DCF90，CQDF，