北京市海淀区2019届高三第三次模拟考试数学文科试题（含答案解析）

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1、1. 若集合 ，则实数 a 的值为（  ）|2 22=|12() 0A. B. 2 C. D. 112 322. 已知数据 x1，x 2，x 3， ，x n是某市 n（n3，nN *）个普通职工的年收入，设这 n 个数据的中位数为x，平均数为 y，标准差为 z，如果再加上世界首富的年收入 xn+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（  ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变3.

2、若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（  ）A. B. C. D. 12 32 34 644. 已知函数 f（x ）= ，则不等式 f（x ）1 的解集为（  ）2， 111， 1A. B. ， C. D. (,2 (,0(12 0,2 (,01,25. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（  ）A. 323B. 313C. 83163D. 83836. 在数列a n中，已知 a1=1，且对于任意的 m，n N*，都有 am+n=am+an+mn，则数列a n的通项公式为（ &nbs

3、p;）A. B. C. D. = =+1 =(1)2 =(+1)27. 若椭圆 和双曲线 的共同焦点为 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|的值225+216=1 2425=1为（  ）A. B. 84 C. 3 D. 212128. 如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面设移完 n 片金片总共需要的次数为 an，可推得 a1=1，a n+1=2an+1如图是求移动次数在 1000 次以上的最小片数的程序框图模型，则输

4、出的结果是（  ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 已知向量 ，若 ，则 x=_=(1， 2)， =(， 1)， =(1， 3) (+)10. 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为ABC 的面积，sin（A+C ）= ，且222A，B ，C 成等差数列，则 C 的大小为_11. 设 为第二象限角，若 tan（+ ）= ，则 sin+cos=_4 1212. 已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设 =3 +2 ， =3 ，则 在 方向上的投影为_1 2 23 1 2 2 13. 中国诗词大会（第三

5、季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面，沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则六场的排法有_种（用数字作答）14. 若直线 y=x+1 是曲线 f（x）=x+ （a R）的切线，则 a 的值是_1三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）第 2 页，共 9 页15. 在ABC 中，3sinA=2sinB， =35（1）求 cos2C；（2）若 AC-BC=1，求ABC 的周长16. 已知正项数列a

6、 n的前 n 项和为 ， 4=2+41， 1=1（1）求数列a n的通项公式；（2）设a n是递增数列， ，T n为数列b n的前 n 项和，若 恒成立，求实数 m 的取值=1+1 6范围17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，A=45，AB= ，BC=2，BEAD 于点 E，将 ABE 沿 BE 折起，使2AED=90，连接 AC、AD，得到如图所示的几何体（1）求证：平面 ACD平面 ABC；（2）若点 P 在线段 AB 上，直线 PD 与平面 BCD 所成角的正切值为 ，求三棱锥 P-BCD 的体积1518. 手机厂商推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女

7、性，300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100女性用户频数 20 40 80 50 10分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90，100男性用户频数 45 75 90 60 30（）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）把评分不低于 70 分的用户称为“评分良好用户”，能否有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（ K2k0） 0.10 0.05

8、0 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828参考公式：K 2= ，其中 n=a+b+c+d()2(+)(+)(+)(+)第 3 页，共 9 页19. 已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且：22+22=1( 0) 32与长轴垂直的弦长为 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 M 为椭圆上位于第一象限内一动点， A，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点 C，直线 MA 与轴交于点 D，求证：四边形 ABCD 的面积为定值20. 已知函数 f（x ）=x 2+（2-a）x-aln x（aR）（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 x1

9、 时， f（x）0，求 a 的最大整数值第 4 页，共 9 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：由 2x2 ，解得 x ；由 （x-a）0 的解集为x|xa+1 ，令 a+1= ，解得 a= 故选：A根据指数函数与对数函数的性质，列方程求出 a 的 值本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题2.【答案】B【解析】解：数据 x1，x2，x3，xn 是某市 n（n3，nN*）个普通职工的年收入， 设这 n 个数据的中位数为 x，平均数为 y，标准差为 z， 再加上世界首富的年收入 xn+1，则这（n+1）个数据中， 年收入平均数会大大增大，中位数可能不变， 标准差会变大， &nbs

10、p;故 A，C，D 都错误， B 正确 故选：B 年收入平均数会大大增大，中位数可能不变， 标准差会变大本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标 准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】A【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，2c=ae= =故选：A根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到 2c=a，然后根据离心率e= ，即可得到答案此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题4.【答案】D【解析】解：当 x1时，f（x）1 即为：log 2x1解得 1x2当 x1 时，f （x）1，即 为 ：解得

11、 x0综上可得，原不等式的解集为（- ，01，2故选：D对 x 讨论，当 x0 时，当 x0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题5.【答案】D【解析】解：根据三视图可知，该几何体是 球替，挖去一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为 V= 23- 422= - 故选：D根据三视图可知该几何体是 球，挖去一个三棱 锥 ，把数据代入体 积公式即可求解第 5 页，共 9 页本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键6

12、.【答案】D【解析】解：数列a n中，已知 a1=1，且 对于任意的 m，nN*，都有 am+n=am+an+mn，当 n=2 时，a 2=a1+a1+11=3=1+2，当 n=3 时，a 3=a1+a2+12=6=1+2+3，所以：a n=1+2+3+n= 故选：D直接利用赋值法和数列的通项公式的转换的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，赋值法的应用，属于基础题型7.【答案】D【解析】解：由椭圆和双曲线定义 不妨设|PF 1|PF 2| 则|PF 1|+|PF2|=10 |PF1|-|PF2|=4 所以|PF 1|=7 |PF2|=3

13、 |pF1|pF2|=21 故选：D设|PF 1|PF 2|，根据椭圆和双曲 线的定义可分别表示出|PF 1|+|PF2|和|PF 1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF 2|，根据焦点相同 进而可求得|pF 1|pF2|的表达式本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质8.【答案】C【解析】解：i=1 ，S1000 否， i=2，S=2+1=3， i=2，S 1000 否， i=3，S=6+1=7， i=3，S 1000 否， i=4，S=14+1=15， i=4，S 1000 否， i=5，S=30+1=31， i=5，S 1000 否， i

14、=6，S=62+1=63， i=6，S 1000 否， i=7，S=126+1=127， i=7，S 1000 否， i=8，S=254+1=255， i=8，S 1000 否， i=9，S=510+1=511， i=9，S 1000 否， i=10，S=1022+1=1023， i=10，S1000 是， 输出 i=10， 故选：C 根据程序框图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键9.【答案】-10【解析】解： ； ； ；x=-10故答案为：-10可以求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积

15、的坐标运算10.【答案】6【解析】解：ABC 中，A ，B，C 成等差数列，可得 2B=A+C=-B，即 B= ，sin（A+C）= ，即为 sinB= ，即有 b2=c2+ac，由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，第 6 页，共 9 页即有 a=2c，b= c，cosC= = = ，由 C 为 三角形的内角，可得 C= 故答案为： 由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得 B，再由余弦定理和面积公式，可得 a=2c，b=c，再由余弦定理求得 cosC，可得角 C本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中

16、档题11.【答案】-105【解析】解：tan（+ ）= = ，tan=- ，而 cos2= = ，为 第二象限角，cos=- =- ，sin= = ，则 sin+cos= - =- 故答案为：-已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出 tan 的值，再根据 为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 与 cos 的值，即可求出sin+cos 的值此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键12.【答案】12【解析】解：根据题意得， =9 +6 2=9 +611=- +6= ；又|b|=3， 在 方向上的投影为

17、 = = ；故答案为 运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题本题考查向量的夹角，投影的概念13.【答案】144【解析】解：沁园春 长沙、蜀道难、 敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐 六盘山，分别记为 A，B，C，D，E，F，由已知有 B 排在 D 的前面，A 与 F 不相邻且不排在最后第一步：在 B，C，D，E 中选 一个排在最后，共 =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按 A 与 F 不相邻排序，共 =72（种）排法，第三步：在前两步中 B 排在 D 的前面与后面机会相等，则 B 排在 D 的前面，只需除以 =2 即可，即六场的排法有 4722=144（种）故答案为：144由特殊位置优先处理

18、，先排最后一个节目，共 =4（种），相 邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按 A 与 F 不相邻排序，共 =72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可 B 排在 D 的前面，只需除以 即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档 题14.【答案】-1【解析】第 7 页，共 9 页解：设切点的横坐标为 x0，f（x）=1- - = =1x0=- -a= ，则有：f（x 0）=x0+ -alnx0=x0+1lnx0-x0+1=0，令 h（x）=lnx-x+1h（x）= -1=0x=1，则 h（x）在（0，1）上单调递增，在（ 1，+）上单调递减，又因为 h（1）=0，所以 x0=1a=-1；故答

19、案为：-1 设切点的横坐标为 x0，求出导函数，利用直 线 y=x+1 与曲线 y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及 a 的值 即可本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力15.【答案】解：（1） ，=35cos2C= = ，11+2136cos2C=2cos2C-1=2 -1=- 136 1718（2）3sin A=2sinB，由正弦定理可得：3a=2 b，又 AC-BC=1，即：b- a=1，解得：a=2，b=3，由（ 1）可得：cosC= ，16由余弦定理可得：c= = = ，2+224+922316 11ABC 的周长 a+b+c=5+ 11【解析】（

20、1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos2C= 的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解（2）由正弦定理可得：3a=2b， 结合 b-a=1，即可解得 a，b 的值，由（1）可得 cosC= ，利用余弦定理可求 c 的值 ，即可得解ABC 的周长本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.【答案】解：（1）n2 时，4a n=4Sn-4Sn-1= +4n-1- +4（n-1）-1 ，化为：2 21= ，a n0(2)221an-an-1=2，或 an+an-1=2，an-an-1=2

21、时，数列a n是等差数列，a n=1+2（n-1）=2n-1 an+an-1=2，a 1=1，可得 an=1（2）a n是递增数列，a n=2n-1= = ，=1+1 1(21)(2+1)12( 121 12+1)数列b n的前 n 项和 Tn= = ，12(113+1315+ 121 12+1)12(1 12+1) 12 恒成立， ，解得 m36 126实数 m 的取值范围是 3，+）【解析】（1）n2时，4a n=4Sn-4Sn-1，化为： = ，an0化 简进而得出（2）an是递增数列，取 an=2n-1可得 = = ，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出本题考查了数列递推关系、等差数

22、列的通项公式、裂项求和方法、数列的 单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】（1）证明：方法 1：BEAE，DEAE， BEDE=E，AE平面 BCDE，以 E 为坐标原点，以 ED，EB，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则 A（0，0，1），B（0，1，0），C （2，1，0），D（1，0，0），设 AC 的中点为 M，则 M（1 ， ， ），12 12 =（0， ， ）， =（0，1，-1）， =（2，0，0）， 12 12 =0， =0， DMAB，DMBC，又 ABBC=B，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，DM平面 ABC，又 DM平面 ACD，

23、第 8 页，共 9 页平面 ACD平面 ABC方法 2：取 AC 的中点 M，BC 的中点 N，连接 DM，DN，MN在平行四边形中，由 AB= ，BAE=45，BEAD 可得2AE=BE=1，又 AD=BC=2， DE=1，BN=BE=DE，又 BNDE，BE DE，四边形 BEDN 是正方形，DNBE，BN BE，又 MN 是ABC 的中位线，MNAB，又 BEAB=B，DN MN=N，平面 DMN平面 ABE，BEAE，DE AE，BE DE=E，AE平面 BCDE，又 BC平面 BCDE，AEBC，又 BCBE，BEAE=E，BC平面 EAB，BC平面 DMN，BCDMAD= = ，C

24、D= AB= ，2+2 2 2AD=CD，DMAC，又 ACBC=C，DM平面 ABC，又 DM平面 ACD， 平面 ABC平面 ACD（2）过 P 作 PNBE，垂足为 N，连接 DN，则 PNAE， PN平面 BCDE，PDN 为直线 PD 与平面 BCD 所成的角设 PN=x，则 BN=x，故 EN=1-x，DN = ，1+(1)2tanPDN= = = ，解得 x= ，即 PN= 1+(1)215 14 14BD= = ，CD=AB= ，BC =2，2+2 2 2BD2+CD2=BC2， BDCDSBCD= =1，12三棱锥 P-BCD 的体积 V= SBCDPN= = 13 1311

25、4112【解析】（1）取 AC 中点 M，建系，利用向量证明 DMAB，DMBC 即可得出 DM平面 ABC，故而平面 ACD平面 ABC； （2）做出直线 PD 与平面 BCD 所成角，求出 P 到平面 BCDE 的距离，代入体积公式即可本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题18.【答案】解：（）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大   （4 分）（）22 列联表如下图：女性用户 男性用户 合计“认可”手机 140 180 320“不认可”手机 60 120 180合计 200 300 500K2= 5.2082

26、.706，500(14012018060)2200300320180所以有 95%的把握认为性别和对手机的 “认可”有关【解析】（）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比 较女性用户和男性用户评分的波动大小； （）求出 K2，与临界值比 较，即可得出结论本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.【答案】解：（1）椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为：22+22=1( 0) 321， ，解得 a=2，b=1，=3222=12=2+2椭圆 C 的方程为 24+2=1证明：（2）椭圆 C 的方程为 =1，A（

27、-2，0），B（0，-1），24+2设 M（m，n），（m0，n0），则 =1，即 m2+4n2=4，24+2第 9 页，共 9 页则直线 BM 的方程为 y= ，+11令 y=0，得 ，=+1同理，直线 AM 的方程为 y= ，令 x=0，得 ，+2(+2) =2+2 | +2| |=12|=12 +1 2+2+1 12(+2+2)2(+2)(+1)= = =2，122+42+4+4+4+8+2+2 124+4+8+8+2+2四边形 ABCD 的面积为定值 2【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（2）设

28、M（m，n），（m0，n0）， 则 m2+4n2=4，从而直线 BM 的方程为 y= ，进而，同理，得 ，进而 | +2| ，由此能证明四边形 ABCD 的面积为定值 2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解 题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用20.【答案】解：（1）函数 f（x ）的定义域为（0，+）f（x）=2x+2-a- = = ，22+(2) 2(+1)(2)当 a0 时，f（x）0， f（x）在（0，+）上单调递增，当 a0 时，令 f（x ）0，得 x ，令 f（x）0，解得：0x ，2 2f（x）在 上单调递减

29、，在 上单调递增(0，2) (2， +)（2）由（1）知，当 a0 时，f （x）在（0，+）上单调递增，又 f（1）=3-a0，所以当 x1 时，f（x）f （1）0，满足题意由（1）知，当 a0 时，f（ x）在 上单调递减，在 上单调递增(0，2) (2， +)若 1，即 0a2，f（x ）在1 ，+）上单调递增，02所以当 x1 时， f（x）f（1）=3- a0，满足题意若 1，即 a2，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增2 1， 2) (2， +)f（x） min=f = +（2-a） -aln =a- -aln ，(2)24 2 2 24 2f（x）0，f（x） min0，即

30、 a- -aln 0，1- -ln 0 ，22 2 4 2令 g（a）=1- -ln =- -lna+1+ln2（a0），4 2 4g （ a）=- - 0，141g（ a）在（ 2，+ ）上单调递减，又 g（2）= 0，g（3）= -ln 0，12 14 32g（ a）在（ 2，3）上存在唯一零点 x0，2 a x0，（2x 03）综上所述，a 的取值范围为（-，x 0），故 a 的最大整数值为 2【解析】（1）函数 f（x）的定义域为（0，+），f（x）= ，对 a 分类讨论即可得出单调性（2）利用（1）的单调性，对 a 分类讨论， 进而得出结论本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题