2019年山东省菏泽市曹县中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2019 年山东省菏泽市曹县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置1（3 分）比3 大 2 的数是（ ）A1 B1 C5 D52（3 分）下列计算中，正确的是（ ）Aa 2a3a 6 Ba 6a3a 2 C（a 2） 3a 6 D3（3 分）如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）A BC D4（3 分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：甲 2 6 7 7

2、8乙 2 3 4 8 8关于以上数据，说法正确的是（ ）A甲、乙的众数相同B甲、乙的中位数相同C甲的平均数小于乙的平均数D甲的方差小于乙的方差5（3 分）如图，点 I 是 RtABC 的内心，C90，AC3，BC4，将ACB 平移使其顶点 C 与 I 重合，两边分别交 AB 于 D、E，则 IDE 的周长为（ ）A3 B4 C5 D76（3 分）如图，经过点 B（2，0）的直线 ykx+b 与直线 y4x+2 相交于点A（1 ，2），4x+2 kx +b0 的解集为（ ）Ax2 B2x1 Cx1 Dx 17（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3，动点 P 满足 SPAB S 矩形

3、 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ）A B C5 D8（3 分）如图，AOB 是直角三角形，AOB90，AOB 的两边分别与函数 y，y 的图象交于 B、A 两点，则 等于（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9（3 分）分解因式：3x 2y12xy+12y 10（3 分）如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为 10cm，高为 12cm 的无底圆锥形玩具（接缝忽略不计），则做这个玩具所需纸板的面积是 cm 2（结果保留）11（3 分）已知方程组 ，那么 xy 的

4、值为 12（3 分）如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC 的余弦值为 13（3 分）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（6，0），C（0，2 ）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1处，则点 B 的对应点 B1 的坐标为 14（3 分）如图，MAN90，点 C 在边 AM 上，AC4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F，连接 AE

5、当AEF 为直角三角形时，AB的长为 三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）15（6 分）计算：16（6 分）解方程： 117（6 分）如图，在ABC 中，AB8，BC 4，CA 6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长18（6 分）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30，60 ，求 CD 的高度（结果保留根号）19（7 分）某商场用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元其中甲种商品每件

6、进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？20（7 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数y 的图象在第一象限的交点为 C，CDx 轴于 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当 x0

7、 时，比较 kx+b 与 的大小21（10 分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A：跑步；B：跳绳；C：做操；D：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）：（1）本次共调查了多少名学生？（2）跳绳 B 对应扇形的圆心角为多少度？（3）学校在每班 A、B、C、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率22（10 分）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OP AD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：CB

8、PADB（2）若 OA2，AB 1，求线段 BP 的长23（10 分）在菱形 ABCD 中，点 P、Q 分别在 BC、CD 上，PAQB（1）如图 1，若 APBC，求证：APAQ ；（2）如图 2，若点 P 为 BC 上一点，APAQ 仍成立吗？请说明理由24（10 分）如图 1，抛物线 yax 2+6x+c 交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C直线yx5 经过点 B、C（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B、C 重合）作直线 AM 的平行线，交直线 BC 于点 Q，若以点 A、M、P、Q 为顶点的四

9、边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；如图 2，连接 AC，当AMB2ACB 时，求点 M 的坐标2019 年山东省菏泽市曹县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置1（3 分）比3 大 2 的数是（ ）A1 B1 C5 D5【分析】有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减【解答】解：3+2（32）1故选：B【点评】本题考查了有理数运算中加法法则，解题关键是理解加法的法则，先确定和的符号，再进行计算2（3

10、 分）下列计算中，正确的是（ ）Aa 2a3a 6 Ba 6a3a 2 C（a 2） 3a 6 D【分析】分别求出每个式子的值，a 2a3a 5，a 6a3a 3，（a 2）3a 6，3a+ a（3+ ）a，再进行判断即可【解答】解：A、a 2a3a 5，故本选项错误；B、a 6a3a 3，故本选项错误；C、（a 2） 3a 6，故本选项正确；D、3a+ a（3+ ）a，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方和积的乘方的应用，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目3（3 分）如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（ ）A BC D【

11、分析】直接利用主视图以及俯视图的观察角度不同分别得出几何体的视图进而得出答案【解答】解：A、三棱锥的主视图是三角形，俯视图也是三角形，故此选项错误；B、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故此选项错误；D、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确把握观察角度是解题关键4（3 分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：甲 2 6 7 7 8乙 2 3 4 8 8关于以上数据，说法正确的是（ ）A甲、乙的众数相同B甲、乙

12、的中位数相同C甲的平均数小于乙的平均数D甲的方差小于乙的方差【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于 n 个数 x1，x 2，x n，则 x （x 1+x2+xn）就叫做这 n 个数的算术平均数；s2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2进行计算即可【解答】解：A、甲的众数为 7，乙的众数为 8，故原题说法错误；B、甲的中位数为 7，乙的中位数为 4，故原题说法错误；C、甲的平均数为 6，

13、乙的平均数为 5，故原题说法错误；D、甲的方差为 4.4，乙的方差为 6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；故选：D【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式5（3 分）如图，点 I 是 RtABC 的内心，C90，AC3，BC4，将ACB 平移使其顶点 C 与 I 重合，两边分别交 AB 于 D、E，则 IDE 的周长为（ ）A3 B4 C5 D7【分析】连接 AI、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以 AI 是CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：ADDI ，同理 BEEI，所以图中阴影部分的周长就是边 AB 的长【解答】

14、解：连接 AI、BI ，C90，AC3，BC4，AB 5点 I 为ABC 的内心，AI 平分CAB，CAIBAI，由平移得：ACDI，CAIAID，BAI AID，ADDI ，同理可得：BEEI ，DIE 的周长DE+ DI+EIDE +AD+BEAB5故选：C【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键6（3 分）如图，经过点 B（2，0）的直线 ykx+b 与直线 y4x+2 相交于点A（1 ，2），4x+2 kx +b0 的解集为（ ）Ax2 B2x1 Cx1 Dx 1【分析】由图象得到直线 ykx+b 与直线 y4x+

15、2 的交点 A 的坐标（1，2）及直线ykx +b 与 x 轴的交点坐标，观察直线 y4x +2 落在直线 ykx+b 的下方且直线ykx +b 落在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值即为所求【解答】解：经过点 B（2，0）的直线 ykx+b 与直线 y4x+2 相交于点A（1，2），直线 ykx+b 与直线 y4x+2 的交点 A 的坐标为（1 ，2），直线 ykx+b 与 x 轴的交点坐标为 B（2，0），又当 x1 时，4x +2kx+b，当 x2 时，kx+b0，不等式 4x+2kx+b0 的解集为2x1故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻

16、求使一次函数 yax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合7（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3，动点 P 满足 SPAB S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ）A B C5 D【分析】首先由 SPAB S 矩形 ABCD，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离然后在直角三角形 ABE 中，由勾

17、股定理求得 BE 的值，即 PA+PB 的最小值【解答】解：设ABP 中 AB 边上的高是 hS PAB S 矩形 ABCD， ABh ABAD，h AD2，动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离在 Rt ABE 中，AB 5，AE2+2 4，BE ，即 PA+PB 的最小值为 故选：D【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点 P 所在的位置是解题的关键8（3 分）如图，AOB 是直角三角形，AOB90，A

18、OB 的两边分别与函数 y，y 的图象交于 B、A 两点，则 等于（ ）A B C D【分析】过点 A，B 作 ACx 轴，BDx 轴，分别于 C，D根据条件得到ACOODB，得到 （ ） 2 ，进而即可求得 【解答】解：AOB90，AOC+BODAOC+CAO90，CAOBOD，ACOBDO， （ ） 2，S AOC 21，S BOD 1 ，（ ） 2 ， ，故选：A【点评】本题考查了反比例函数 y ，系数 k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，能够通过相似三角形的性质找出 OA 和 OB 的关系是解题的关键二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填

19、写在答题卡的相应区域内.）9（3 分）分解因式：3x 2y12xy+12y 3y （x2） 2 【分析】首先提取公因式 3y，再利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：原式3y（x 24x +4）3y（x2） 2故答案为：3y（x 2） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键10（3 分）如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为 10cm，高为 12cm 的无底圆锥形玩具（接缝忽略不计），则做这个玩具所需纸板的面积是 65 cm 2（结果保留）【分析】作 POAB 于 O利用勾股定理求出 PA，求出圆锥的表面积即可解决问题【解答】解：作 POAB 于

20、O在 Rt PAO 中，PA 13由题意，S 表面积 S 侧面积 lr 底面周长母线长 101365 做这个玩具所需纸板的面积是 65cm2故答案为 65【点评】本题考查圆锥的表面积、解题的关键是记住圆锥的侧面积公式、底面积公式11（3 分）已知方程组 ，那么 xy 的值为 3 【分析】方程组两方程相减求出 xy 的值即可【解答】解： ，得：xy3，故答案为：3【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法12（3 分）如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC 的余弦值为 【分析】首

21、先设A 与 x 轴的另一个交点为 D，连接 CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得 CD 是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得OBCODC，继而可求得答案【解答】解：设A 与 x 轴的另一个交点为 D，连接 CD，COD90，CD 是直径，即 CD10，C（0，5），OC5，OD 5 ，OBCODC，cosOBCcosODC 故答案为： 【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用13（3 分）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（6，0），C（0，2 ）将矩形 OABC 绕点 O 顺时

22、针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1处，则点 B 的对应点 B1 的坐标为 （2 ，6） 【分析】连接 OB1，作 B1HOA 于 H，证明AOB HB 1O，得到B1HOA6，OHAB 2 ，得到答案【解答】解：连接 OB1，作 B1HOA 于 H，由题意得，OA6，AB OC2 ，则 tanBOA ，BOA30，OBA60，由旋转的性质可知，B 1OBBOA30，B 1OH60，在AOB 和HB 1O，AOBHB 1O，B 1HOA 6，OHAB 2 ，点 B1 的坐标为（2 ，6），故答案为：（2 ，6）【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三

23、角形的判定和性质定理是解题的关键14（3 分）如图，MAN90，点 C 在边 AM 上，AC4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F，连接 AE当AEF 为直角三角形时，AB的长为 4 或 4 【分析】当AEF 为直角三角形时，存在两种情况：当 AEF90时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：ACAE4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC 2A B8，最后利用勾股定理可得 AB 的长；当 AFE90时，如图 2，证明ABC 是等腰直角三角形，可得 ABAC

24、4【解答】解：当AEF 为直角三角形时，存在两种情况：当 AEF90时，如图 1，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，ACAC 4，ACBA CB，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，D、E 是ABC 的中位线，DEAB，CDEMAN90，CDEAEF，ACAE，ACBAEC，ACBAEC，ACA E4，RtACB 中，E 是斜边 BC 的中点，BC2AE8，由勾股定理得：AB 2BC 2AC 2，AB 4 ；当 AFE90时，如图 2，ADFADFB 90 ，ABF 90，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，ABCCBA45，ABC 是等腰直角三角形，ABAC4；综上所述

25、，AB 的长为 4 或 4；故答案为：4 或 4；【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）15（6 分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式3 4 （96 ）+65 +4 9【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键16（6 分）解方程： 1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母

26、得：x（x2）2x 24，解得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根17（6 分）如图，在ABC 中，AB8，BC 4，CA 6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D CBD，求出 BCCD4，证AEB CED，得出比例式，求出 AE2CE，即可得出答案【解答】解：BD 为ABC 的平分线，ABDCBD，ABCD，DABD，DCBD，BCCD，BC4，CD4，ABCD，ABE CDE， ， ，AE

27、2CE，AC6AE+CE，AE4【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出 AE2CE 和ABECDE 是解此题的关键18（6 分）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30，60 ，求 CD 的高度（结果保留根号）【分析】作 BFCD 于点 F，设 DFx 米，在直角DBF 中利用三角函数用 x 表示出BF 的长，在直角DCE 中表示出 CE 的长，然后根据 BFCEAE 即可列方程求得 x的值，进而求得 CD 的长【解答】解：作 BFCD

28、于点 F，设 DFx 米，在 Rt DBF 中，tan DBF ，则 BF x，在直角DCE 中，DCx+CF 3+x（米），在直角DCE 中，tanDEC ，则 EC （x +3）米BFCEAE，即 x （x+3）18解得：x9 + ，则 CD9 + +39 + （米）答：CD 的高度是（9 + ）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度19（7 分）某商场用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元其中甲种商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元（1）

29、该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？【分析】（1）题中有两个等量关系：购买 A 种商品进价+购买 B 种商品进价36000，出售甲种商品利润+出售乙种商品利润6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题（2）根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润8160，可以列出一元一次不等式解决问题【解答】解：（1）设商场购进甲种商品 x 件，乙种商品 y 件，

30、根据题意得：，解得： 答：该商场购进甲种商品 200 件，乙种商品 120 件（2）设乙种商品每件售价 z 元，根据题意，得120（z100）+2 200（138120）8160，解得：z108答：乙种商品最低售价为每件 108 元【点评】本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价20（7 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数y 的图象在第一象限的交点为 C，CDx 轴于 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当 x0 时，比较 kx+b 与 的大小【分析】（1）求

31、出 A、C 亮点坐标，就可以求一次函数与反比例函数的表达式；（2）数形结合的数学思想课求解【解答】解：（1）S AOB OAOB3，OA2，点 A 的坐标是（0，2），B（3，0） y x2当 x6 时，y 622 ，C （6，2）m2612y （2）由 C（6，2），观察图象可知：当 0x6 时，kx+b ；当 x6 时，kx+b 【点评】本题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，还运用了数形结合的数学思想21（10 分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A：跑步；B：跳绳；C：做操；D：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，

32、并绘制了不完整的两幅统计图（如图）：（1）本次共调查了多少名学生？（2）跳绳 B 对应扇形的圆心角为多少度？（3）学校在每班 A、B、C、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率【分析】（1）用 A 类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，（2）用 B 类人数所占的百分比乘以 360得到扇形统计图中 B 所对应扇形的圆心角度数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）12040%300（人），所以本次共调查了 300 名学生；（2）喜欢

33、B 类的人数为 300120609030（人），所以跳绳 B 对应扇形的圆心角360 36；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数为 2，所以每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图22（10 分）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OP AD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：C

34、BPADB（2）若 OA2，AB 1，求线段 BP 的长【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到 ABD 90，再根据切线的性质得到OBC90，然后利用等量代换进行证明；（2）证明AOPABD ，然后利用相似比求 BP 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图，AD 是 O 的直径，ABD90，A+ADB90，BC 为切线，OBBC，OBC90，OBA+CBP90，而 OAOB ，AOBA ，CBPADB；（2）解：OPAD，POA90，P+A90，PD，AOPABD， ，即 ，BP7【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理

35、图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质23（10 分）在菱形 ABCD 中，点 P、Q 分别在 BC、CD 上，PAQB（1）如图 1，若 APBC，求证：APAQ ；（2）如图 2，若点 P 为 BC 上一点，APAQ 仍成立吗？请说明理由【分析】（1）易证PAQ+C180，从而APC+AQC180，由于 APBC ，所以APB AQD90，最后证明ABPADQ（AAS ）即可得出 APAQ（2）过点 A 作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，由（1）可知：AEAF，PAQ BEAF ，所以EAP FAQ ，最后证明AEPAFQ（ASA）即可得出 APAQ【解答】解

36、：（1）在菱形 ABCD 中，B+ C 180 ，ABAD，BD ，PAQB，PAQ+C180，APC+ AQC180，APBC，APB AQD90，在ABP 与ADQ 中，ABP ADQ（AAS ），APAQ ；（2）过点 A 作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，由（1）可知：AEAF ，PAQBEAF，EAP FAQ，在AEP 与AFQ 中，AEP AFQ（ASA ），APAQ 【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型24（10 分）如图 1，抛物线 yax 2+6x+c 交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C直线yx5 经

37、过点 B、C（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B、C 重合）作直线 AM 的平行线，交直线 BC 于点 Q，若以点 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；如图 2，连接 AC，当AMB2ACB 时，求点 M 的坐标【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C，B 的坐标，由点 B，C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标如图 1，P 作 x 轴的垂线，交 BC 于点 D，则PDQ45，PD PQ4，设 P（m ，

38、m 2+6m5），则点 D（m，m5），分两种情况考虑：（）如图 2，点 P 在 BC 上方时，得到关于 m的方程，可求得 m 的值，（ ）当点 P 在 BC 下方时，同理得到关于 m 的方程，也可求出 m 的值；如图 3，过点 M 作 MFAC 于 F，过点 A 作 ANBC 于 N，证CFMCNA，由比例线段可求得 CM 的长，由等腰直角三角形的性质可得点 M 的坐标【解答】解：（1）当 x0 时，yx 55，点 C 的坐标为（0，5）；当 y0 时，x50，解得：x5，点 B 的坐标为（5，0）将 B（5，0），C（0，5）代入 yax 2+6x+c，得： ，解得，抛物线的解析式为 yx

39、 2+6x5（2） 当 y0 时，x 2+6x50，解得：x 15，x 21，点 A 的坐标为（1，0）AB4，AM2 ，PQAM，PQBC，若以 A、M 、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 PQAM2 ，如图 1，P 作 x轴的垂线，交 BC 于点 D，则PDQ45，PD PQ4，设 P（m，m 2+6m5），则点 D（m，m 5），（）点 P 在 BC 上方时，PDm 2+6m5（m5）m 2+5m4，解得 m11（不合题意，舍去）， m24，（）如图 2，点 P 在 BC 下方时，PDm5（m 2+6m5）m 25m 4，解得 ， ，P 点的横坐标为 4， ， ；如图 3，点 M 作 MFAC 于 F，过点 A 作 ANBC 于 N，AMB 2 ACB，AMB ACB+ CAM ，ACBCAM，AMCM，CF ，AN2 ， ，由CFMCNA 得， ，CM ，点 M 的横坐标为 ，M 点的坐标为（ ）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识