广东省揭阳市2019高中毕业班考前回归理科数学试卷（含答案解析）

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1、2019 年广东省揭阳市高考数学考前回归试卷（理科） （5 月份）一、选择题1 （3 分）复数 z（1+ i） 2（2i ）的虚部为（ ）A4 B2 C4 D4i2 （3 分）设集合 ， ，则 AB（ ）A （，1） B （，2 C0 ，1） D （1，23 （3 分）在等差数列a n中，已知 a12，a 2+a313，则其前 10 项和为（ ）A126 B155 C170 D3104 （3 分）若双曲线 C 的两个焦点恰为椭圆 E： 的两个顶点，而双曲线 C 的两个顶点恰为椭圆 E 的两个焦点，则双曲线 C 的方程为（ ）A BC D5 （3 分） （a+2b3c） 4 的展开式中 abc2

2、 的系数为（ ）A208 B216 C217 D2186 （3 分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约 12021261）在他的著作数书九章中提出了多项式求值的秦九韶算法如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例若输入的 n5，v 1，x2，则程序框图计算的是（ ）A2 5+24+23+22+2+1 B2 5+24+23+22+2+5C2 6+25+24+23+22+2+1 D2 4+23+22+2+17 （3 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 2xy 的最小值为（ ）A1 B1 C2 D28 （3 分）函数 f（x ）在0 ，+）单调递减，且为偶函数若 f（2）1，则满足f（x

3、3） 1 的 x 的取值范围是（ ）A1，5 B1，3 C3 ，5 D 2，29 （3 分）在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 x2y 0）的点的个数的估计值为（ ）A5000 B6667 C7500 D785410 （3 分）一棱锥的示意图的三视图如图所示，若 a+b6，则该棱锥体积的最大值为（ ）A2 B4 C6 D911 （3 分）已知直线 和 是曲线 f（x ）2sin（x+） （）的两条对称轴，且函数 f（x）在 上单调递减，则 的值是（ ）A B0 C D12 （3 分）已知数列a n，b n满足 an3n+2，b n5n+3（nN

4、*） ，则在集合M1， 2，3， ，2019的元素中，属于数列 an，b n的公共项的个数为（ ）A133 B134 C135 D136二、填空题13 （3 分）已知向量 ，若 则向量与 的夹角为 14 （3 分）在曲线 f（x ）sinxcosx，x（0，）的所有切线中，斜率最大的切线方程为 15 （3 分）已知 F1、F 2 分别为椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一点，且满足F 1PF290，若PF 1F2 的面积为 2，则 b 的值为 16 （3 分）在三棱锥 PABC 中，三条棱 PA、PB、PC 两两垂直，且PA 1，PB2，PC2，若点 Q 为三棱锥 PABC 外接球的球面上任一点，

5、则 Q 到ABC 距离的最大值为 三、解答题数列题：17已知数列 是首项为 的等比数列，且 a4a 139（1）求数列a n的通项公式；（2）设函数 ，f（x ）是函数 f（x）的导函数，若Snf（1） ，求 Sn18已知函数 ，数列x n满足 x12，x n+1 f（x n） （n N*） ，记（1）求 y1 的值；（2）求数列y n的通项公式及前 n 项和 Sn19已知数列a n满足：（n+1）a n1 na n（nN *，n2） ，且 a32（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 ，的前 n 项和 Sn20设 f（x） （a0） ，令 a11，a n+1f （a n） ，又 bna

6、nan+1，nN *（1）判断数列 是等差数列还是等比数列并证明；（2）求数列a n的通项公式；（3）求数列b n的前 n 项和21数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数（1）若 a1，a 2，a 4 成等比数列，求 P 的值：（2）是否存在 p，使得数列a n为等差数列？并说明理由22在ABC 中， ， ，点 D 在 BC 上， （1）求 AD 的长；（2）若ABD 的面积为 ，求 AB 的长；23在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c（）若 c2， ，且ABC 的面积 ，求 a，b 的值；（）若 sinC+sin（BA）sin2 A，试判断

7、ABC 的形状24已知函数 ，（1）求函数 f（x ）的最小正周期；（2）在ABC 中，已知 A 为锐角，f（A）1， ，求 AC 边的长25 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且2asinBcosAb sinA0，（1）求 A；（2）当函数 取得最大值时，试判断ABC 的形状26 （12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB DE ，ABBE，点 C 在 AB 上，且AB CD，ACBCCD 2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE与平面 PBC 所成的角为 45（1）求证：平面 PBC平面 DEBC；（2）求二面角 DP

8、EB 的余弦值27如图甲的平面五边形 PABCD 中，PDPA，ACCD BD ，AB1，AD2，PD PA，现将图甲中的三角形 PAD沿 AD 边折起，使平面 PAD平面 ABCD 得图乙的四棱锥 PABCD在图乙中（1）求证：PD平面 PAB；（2）求二面角 APB C 的大小；（3）在棱 PA 上是否存在点 M 使得 BM 与平面 PCB 所成的角的正弦值为 ？并说明理由28 （12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试；方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训

9、，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 1、 2，求 1、 2 的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率29 （12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50 元/公斤，估计

10、明年单价不变的可能性为 10%，变为 3.60 元/公斤的可能性为60%，变为 3.70 元/公斤的可能性为 30%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如；统计近 10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为（x i，y i） （i 1，2，10） ，并得到散点图如图，参考数据见下（1）估计明年常规稻 A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率；（3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位

11、：元/ 公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60， 2.82， （x i ） ）y i ）0.52， （x i ）20.65，附：线性回归方程 ，b 30 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值 m 25m35 15m25 或35m450m15 或15m65等级 一等品 二等品 三等品某企业从生产的这种产品中抽取 100 件产品作为样本

12、，检测其质量指标值，得到下图的频率分布直方图 （同一组数据用该区间的中点值作代表）：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 82%”的规定？（2）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值 X 近似满足 XN （31，144） ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降低多少？（3）若企业每件一等品售价 180 元，每件二等品售价 150 元，每件三等品售价 120 元，根据频率分布直方图的数据，用该样本中一等品、二等品、三等品各自在样本中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率

13、，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X（单位：元） ，求 X 的数学期望31已知椭圆 C： 的上顶点为 A，以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与 y 轴的交点分别为 、 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设不经过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，且 ，试探究直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由32已知：向量 （ ，0） ，O 为坐标原点，动点 M 满足：| + |+| |4（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线 l1，l 2 都过点 B（0，1） ，且 l1l 2，l 1，l 2 与轨迹 C 分别交于点 D，E

14、 ，试探究是否存在这样的直线使得BDE 是等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程） ；若不存在，请说明理由33 （12 分）已知点 在椭圆 C： 上，椭圆 C 的焦距为2（1）求椭圆 C 的方程；（2）斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且满足 |OA|2+|OB|2 的值为常数，（其中 O 为坐标原点）（i）求 k 的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，且满足| OA|2+|OB|2 的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？34 （12 分）已知抛物线 C： x24y

15、的焦点为 F，过点 P（2，2）的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点（1）当点 P 为 A、B 的中点时，求直线 AB 的方程；（2）求|AF| BF|的最小值35 （12 分）已知函数 （kR，k0） （1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 x1 时， ，求 k 的取值范围36 （12 分）设函数 （a、b R） ，（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点 x1、x 2，求证：x 1+x2+22ax 1x237 （12 分）已知函数 f（x ）e xm（x+1）+1（m R） （1）若函数 f（x ）的极小值为 1，求实数 m 的值；（2）当 x0 时

16、，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围选做题：选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）38以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为2cos2a 2（ aR，a 为常数） ，过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的参数方程满足 ， （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| PA|PB|2，求 a和|PA | |PB|的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）39已知函数 f（x ）|x +1| x1|，（1）求函数 f（x ）

17、的值域；（2）若 x 2，1时，f（x）3x+a，求实数 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）40在直角坐标系 xOy 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求 C1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C3 的极坐标方程为 ，设 C1 与 C2 的交点为 O，A，圆 C2与 C3 的交点为 O，B，求OAB 的面积选修 4-5：不等式选讲 （10 分）41已知正实数 x，y 满足 x+y1（1）解关于 x 的不等式 ；（2）证明： 2019 年广东省揭阳市高考数学考前回归试卷（理科）（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题1 【解答】解

18、：z（1+ i） 2（2i ）2i（2i ）2+4i ，z（1+i） 2（2i）的虚部为 4故选：C2 【解答】解：集合 x|x2，y|y1，ABx|1 x2（1，2故选：D3 【解答】解：根据题意，设等差数列a n的公差为 d，若 a12，则 a2+a3a 1+d+a1+2d2a 1+3d13，解可得 d3，则 a10a 1+9d29，则数列a n的前 10 项和 S10 155；故选：B4 【解答】解：双曲线 C 的两个焦点恰为椭圆 E： 的两个顶点（4，0） ，而双曲线 C 的两个顶点恰为椭圆 E 的两个焦点（ ，0 ） ，所以双曲线的 a ，c4，则 b3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，

19、所以所求双曲线方程为： 故选：A5 【解答】解：（a+2b3c） 4 表示 4 个因式（a+2b3c）的乘积，故其中一个因式取 a，一个因式取 2b，余下的 2 个因式都取3c，可得展开式中 abc2 的系数，故展开式中 abc2 的系数为 2 （3） 2216，故选：B6 【解答】解：模拟程序的运行，可得n5，v1，x2，i4满足条件 i0，执行循环体， v3，i3满足条件 i0，执行循环体， v7，i2满足条件 i0，执行循环体， v15，i1满足条件 i0，执行循环体， v31，i0满足条件 i0，执行循环体， v63，i1不满足条件 i0，退出循环，输出 v 的值为 63由于 25+2

20、4+23+22+2+163故选：A7 【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组 的可行域，如图：设 z2xy，可得目标函数经过可行域的 A（0，2）时，2xy ，取得最小值： 2故选：C8 【解答】解：法一：因函数 f（x ）在0 ，+）单调递减，且为偶函数，则函数 f（x）在（ ，0）单调递增，由 f（2）f （2）1，则2x321x5法二：由 f（x 3）1 得 f（x3）f （2） ，即 f（| x3|）f （2） ，即2x32，得 1x 5即 x 的取值范围是1 ，5，故选：A9 【解答】解：由题意，阴影部分的面积 S ，正方形的面积为 1，正方形中随机投掷 10000 个点，落入阴

21、影部分（曲线 C 的方程为 x2y0）的点的个数的估计值为10000 6667，故选：B10 【解答】解：依题意知该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的四棱锥，如图，其体积 ，当且仅当 ab3 时取等号故选：D11 【解答】解：由 f（x ）在 上单调递减，可知 是最小值，由两条对称轴直线 和 ，可知 x0 也是对称轴且 f（0）1，为最小 值，故 sin1又 ，解得 ，故选：A12 【解答】解：法，设数列 an的第 n 项与数列 bn的第 m 项相同，即 3n+25m+3，要使 nN*，5m+13k （kN *） ，则 m 的取值为：1，4，7，10 ，403，对应的 n 值为 2，7，12

22、，17，672m 的取值共有 134+1135 个法设数列 an，b n公共项为c n，则c n是以 8 为首项，以 15 为公差的等差数列，所以 cn8+（n1）1515n7，令 15n72019 得，n135，所以数列a n，b n的公共项有 135 项故选：C二、填空题13 【解答】解： ； ； ；3； ； ， ； ；又 ； 与 的夹角为 故答案为： 14 【解答】解：f（x ）sinxcosx，x（0，） ，f（x）cosx +sinx sin（x + ） ，x （0， ）x 时，f（x）取得最大值 ，切线最大斜率为 ，此时，f（ ）0切线方程为 y0 （x ） 即 故答案为： 15

23、【解答】解：设 PF1m， PF2n，则由椭圆的性质可得 m+n2a，故 m2+n2+2mn 4a2，由勾股定理可得 m2+n24c 2，故 2mn4a 24c 24b 2，即 mn2b 2，又 S mn2，故 mn4，于是 2b24，解得 b 故答案为： 16 【解答】解：三棱锥 PABC 中，三条棱 PA、PB、PC 两两垂直，且PA 1，PB2，PC2，把三棱锥补成长方体如图所示，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，且外接球的直径为 2R 3；又ABC 的三边分别为 ABAC ，BC 2 ，设其外接圆的半径为 r，则 2r ，r ；d ；点 Q 到平面 ABC 距离的最大值为 d+R

24、+ 故答案为： 三、解答题数列题：17 【解答】解：（1）依题意得 ，a 11，设数列 的公比为 q，则 ，即 ，又 a4a 139 得 ，解得 q3， ，即 ；（2）由 ，得 Snf（1）a n+2an1 +na1 ，令 T3 n+23n1 +n3 则 ，得 ，得 ，故 18 【解答】解：（1）函数 ，数列x n满足 x12，xn+1f（x n）得 ， （2） ， ， ，即 （n2，nN *） ，所以数列y n是首项 y12，公比为 2 的等比数列， 19 【解答】解：（1）由（n+1）a n1 na n（n N*，n2） ，得 ，n2则 ， ， ；当 n2 时，由 ，得 ， （nN *，n

25、2）显然当 n1 时也适合该式， ， （nN *）（2） ， ， 20 【解答】解：（1）由 an+1f（a n）可得： 将其变形可得 anan+1a（a na n+1） ，即 ，所以数列 是首项为 1，公差为 的等差数列（2）由（1）可得 ，所以 ，即 所以数列a n的通项公式为 （3）设 Sn 是数列b n的前 n 项和由（1）可得 bna nan+1a（a na n+1） ，所以 所以数列b n的前 n 项和为 21 【解答】解：（1）数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数a 1+a2p+1，a 2+a32p+1，a 3+a43p+1，a 2p，a 3p+1，

26、a 42p，a 1，a 2，a 4 成等比数列， ，p 22p，p0，p2（2）当 n2 时，a n+an+1pn +1，a n1 +anpnp+1，相减，得：a n+1a n1 p，a 2n1 是首项为 1，公差为 p 的等差数列，a 2n是首项为 p，公差为 p 的等差数列，a 2n1 p+（n1）ppn+1p ，a2np+（n1）pnp ，要使得数列a n为等差数列，则 1 0，解得 p2，存在 p2，使得数列a n为等差数列22 【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） ，且 0ADC， ，（2 分）正弦定理有 ，得 ；（5 分）（2） ，（6 分） ， ，得 BD2， （8 分）

27、又 ，（9 分）由余弦定理得 ，AB3（12 分）23 【解答】解：（）由余弦定理 及已知条件得，a 2+b2ab4， （3 分）又因为ABC 的面积等于 ，所以 ，得 ab4 （5 分）联立方程组 解得 a2，b2 （7 分）（）由题意得：sinC+sin（BA）sin2 A得到 sin（A+B）+sin （BA ）sin2A2sin AcoA即：sinAcosB +cosAsinB+sinBcosAcos BsinA2sinAcoA所以有：sinBcosAsinAcos A， （10 分）当 cosA0 时， ，ABC 为直角三角形（12 分）当 cosA0 时，得 sinBsinA，由正

28、弦定理得 ab，所以，ABC 为等腰三角形 （14 分）24 【解答】解：（1）由 得到：f（x）cos 2x+sinxcosx + （ cos2x+ sin2x）+ ，T ；（2）f（A）cos 2A+sinAcosA1移项得：sinAcosA1cos 2Asin 2A，因为 A 为锐角，所以 sinA0sinAcosA ，则根据正弦定理得： 即 ，所以 AC 25 【解答】解：（1）由正弦定理 得 asinBbsin A0，又 2asinBcosAbsinA0，2cosA1，即 ，0A ；（2）解法一： ，从而 ， ， ，当 时，函数 f（x ）取得最大值，这时 ，即ABC 是直角三角形；

29、解法二： ， 2sinC ， ，当 时，函数 f（x ）取得最大值，ABC 是直角三角形26 【解答】证明：（1）ABCD，ABBE，CDEB，ACCD，PCCD，EBPC，且 PCBC C ，EB平面 PBC，又EB 平面 DEBC，平面 PBC平面 DEBC解：（2）由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE 与平面 PBC 所成的角为 45得EPB45，PBE 为等腰直角三角形，PBEB，ABDE ，结合 CDEB 得 BECD2，PB2，故PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O，连结 PO，POBC，PO平面 EBCD，以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x

30、 轴，CB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图，则 B（0，1，0） ，E（2，1，0） ，D （2，1，0） ， ，从而 ， ， ，设平面 PDE 的一个法向量为 ，平面 PEB 的一个法向量为 ，则由 得 ，令 z2 得 ，由 得 ，令 c1 得 ，设二面角 DPEB 的大小为 ，则 ，即二面角 DPEB 的余弦值为 27 【解答】证明：（1）AB1，AD2，BD AB 2+AD2BD 2，AB AD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 PAD，又PD平面 PAD，ABPD ，又PDPA，PAABAPD平面 PAB解：（

31、2）取 AD 的中点 O，连结 OP，OC，由平面 PAD平面 ABCD 知 PO平面 ABCD，由 ACCD 知 OCOA，以 O 为坐标原点，OC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系如图示，则易得 C（2，0，0） ，P（0， 0，1） ，D（0，1，0） ，A（0，1，0） ，B（1，1，0） ， ， ，设平面 PBC 的法向量为 ，由 ，得 ，令 a1 得 b1，c2，设二面角 APB C 大小为 ，则 ，0， 二面角 APBC 的大小 （3）假设点 M 存在，其坐标为（ x，y，z） ，BM 与平面 PBC 所成的角为 ，则存在 （0，1） ，有 ，即

32、（x，y1，z）（0，1，1） ，M（0，1 ，） ，则 ，从而 ，化简得 2+210，解得 或 ， ， ，在棱 PA 上满足题意的点 M 存在28 【解答】解：（1）甲组 60 人中有 45 人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为p （3 分）（2） （i） 1 的分布列为1 5 10 15 20P，（6 分）2 的分布列为1 4 8 12 26P，E（ 1）E （ 2） ，公司应选培训方式一（9 分）（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为 p ，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为p （12 分）29 【解答】解：（1）设明年常规稻 A 的单价为 ，则 的分布列为： 3.5

33、0 3.60 3.70P 0.1 0.6 0.3E（）3.50.1+3.60.6+3.70.33.62，估计明年常规稻 A 的单价平均值为 3.62（元/ 公斤） ；（3 分）（2）杂交稻 B 的亩产平均值为：（730+790+800）0.005+ （740+780 ）0.01+（750+770）0.02+7600.02510116+152+304+190762（5 分）依题意知杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率为：p0.2+0.1+0.520.4，则将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率为：（7 分）（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断

34、杂交稻 B 的单价 y 与种植亩数 x 线性相关，（8 分）由题中提供的数据得： ，由，所以线性回归方程为 ，（10 分）估计明年杂交稻 B 的单价 元/ 公斤；估计明年杂交稻 B 的每亩平均收入为 7622.501905 元/亩，估计明年常规稻 A 的每亩平均收入为 500E（）5003.621810 元/亩，因 19051875，所以明年选择种植杂交稻 B 收入更高（12 分）30 【解答】解：（1）一等品和二等品所占比例为 80%，因此不能认为这种产品符合规定2 分（2）由频率分布直方图知，活动前样本的均值为0.0210+0.1820+0.5030+0.1240+0.1650+0.026

35、032.8，活动后的均值为 31，所以均值降低了1.8；5 分（3）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 ，二等品的概率为 ，三等品的概率为 ，随机变量 X 的所有可能取值为240，270，300，330，3608 分，10 分所以 X 的数学期望 12 分31 【解答】解：（1）依题意知点 A 的坐标为（0，b） ，则以点 A 圆心，以 a 为半径的圆的方程为：x 2+（yb） 2a 2，令 x0 得 yba，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、可得 ，解得 ，故所求椭圆 C 的方程为 （2）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，设直线 lPA：ykx+1

36、 则，将代入椭圆方程并整理得（1+3 k2）x 2+6kx0，可得 ，则 ，类似地可得 ，由直线方程的两点式可得：直线 l 的方程为 ，即直线 l 过定点，该定点的坐标为 ，解法 2：若直线 l 垂直于 x 轴，则 AP 不垂直于 AQ，不合题意，可知 l 的斜率存在，又 l 不过点（0，1） ，设 l 的方程为 ykx +m（m1） ，又设点 P（x 1， y1） 、Q（x 2， y2） ，则 ，由 得 x1x2+y1y2（y 1+y2）+10，由 ，消去 y 得（3k 2+1）x 2+6kmx+3m230，12（3k 2m 2+1） ，当 0 即 3k2m 2+10 时， ，又 ，y 1+

37、y2k （x 1+x2）+2m ，于是有 ，将代入得整理得： ，满足0，这时直线 l 的方程为 ，直线 l 过定点32 【解答】解：（1）由：| + |+| |4， （ ，0） ，知动点 M 的轨迹是以点（ ，0）为焦点、4 为长轴长的椭圆，c ，a2，b1，所求的方程为 1（2）设 BD：ykx+1 ，代入上式得（1+4 k2）x 2+8kx0，x 10，x 2 x D，l 1l 2，以 代 k，得 xEBDE 是等腰直角三角形，|BD |BE|， ，|k |（k 2+4）1+4k 2，k0 时变为 k34k 2+4k10，k 1 或 ；k0 时变为 k3+4k2+4k10，k1 或 使得B

38、DE 是等腰直角三角形的直线共有 3 组33 【解答】解：（1）由点 P 在椭圆上得 ，2c2，3b 2+2a22a 2b2，c1，又 a2b 2+c2，3b 2+2（b 2+1）2（b 2+1） b2，2b 43b 220，得 b22，得 a23，椭圆 C 的方程为 ；（2） （i）设直线 l 的方程为 ykx+t，联立 ，得（3k 2+2）x2+6ktx+3t260，x 1+x2 ，x 1x2又 ，y 222（1 ） ， ，要使|OA| 2+|OB|2 为常数，只需 18k2120，得 ，|OA |2+|OB|2 ， ，这个常数为 5；（ii） ，这个常数为 a2+b234 【解答】 （1

39、）解法 1：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，（1 分）显然 x1x 2，两式相减得 ，k1（4 分）所以直线 AB 的方程为 y2（x +2） 即x+y0（5 分）解法 2：设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，显然直线 l 有斜率，设 l 的方程为 yk（x+2）+2（1 分）联立方程 ，消去 x 整理得 y24（k 2+k+1）y+4（k+1） 20由 解得 k1（k0 明显不成立）（4 分）所以直线 AB 的方程为 y2（x +2） 即x+y0（5 分） 】解法 3：设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，显然直线 l 有斜率，设 l 的方程

40、为 yk（x+2）+2（1 分）联立方程 ，得 x24kx8（k+1）0，所以 x1+x24k，又 ，解得k1，（4 分）所以直线 AB 的方程为 y2（x +2） ，即x+y0（5 分） 】（2）解法 1：显然直线 l 有斜率，设 l 的方程为 yk（x+2）+2（5 分）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由抛物线定义可知|AF|y 1+1，|BF| y 2+1，（6 分）所以|AF| BF|（ y1+1） （y 2+1）y 1y2+（y 1+y2）+1（7 分）联立方程 ，消去 x 整理得 y24（k 2+k+1）y+4（k+1） 20， （9 分）所以所以当 时，|AF| BF|取得最小值，且最小值为 （12 分）解法 2：由抛物线定义可知|AF|y 1+1，|BF| y 2+1，（6 分）所以|AF| BF|（ y1+1） （y 2+1）y 1y2+（y 1+y2）+1，（7 分），由（1）知 x1x28（k +1） ，得 ，y1+y2k（x 1+x2+4）+44k （ k+1）+4，（9 分）所以所以当 时，|AF| BF|取得最小值，