2019年安徽省亳州市涡阳县中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2019 年安徽省亳州市涡阳县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1（4 分）5 的倒数是（ ）A5 B5 C D2（4 分）下列算式中，结果等于 a5 的是（ ）Aa 2+a3 Ba 2a3 Ca 5a D（a 2） 33（4 分）2018 年，“双 11 网购促销活动创造了一天交易 2135 亿元的佳绩，数据 2135亿用科学记数法表示为（ ）A2.13510 3 B2.13510 11C0.213510 12 D2.135 10124（4 分）由两个长方体组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（ ）A BC D5（4 分）方程 的解是（ ）Ax

2、 Bx Cx Dx 6（4 分）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得（ ）ABCD7（4 分）如图，ABC 内接于O，若OAB 35，则C 的度数是（ ）A35 B45 C65 D558（4 分）有编号为，的 3 个信封现将编号为，的两封信，随

3、机地放入其中两个信封里，则信封与信编号都相同的概率为（ ）A B C D9（4 分）如图，矩形 ABCD 的长 AD9cm ，宽 AB3cm，将它折叠，使点 D 与点 B 重合，求折叠后 DE 的长和 EF 的长分别是（ ）A5cm，3cm B5cm， cm C6cm， cm D5cm ，4cm10（4 分）如图，一次函数 y1x 与二次函数 y2ax 2+bx+c 的图象相交于 P，Q 两点，则函数 yax 2+（b+1 ）x+c 的图象可能为（ ）A BC D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）不等式 52x3 的解集是 12（5 分）因式分解：a

4、 2（a4）+（4a） 13（5 分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积 （弦 矢+矢 2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB，“矢”指弓形高在如图所示的弧田中，半径为 5，“矢”为 2，则弧田面积为 14（5 分）在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，点 P 为边 AB 的中点，点 Q 为边 AC 上的任意一点（不与点 A，C 重合），若点 A 关于直线 PQ 的对称点 A 恰好落在等边三角形ABC 的边上，则 AQ 的长为 cm三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15

5、（8 分）计算：（ ） 2+ （ ） 0+|12|16（8 分）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降 20%，转型成功后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长 15.2%，求三、四月份的平均增长率四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）如图在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，已知点A，B ，C ，D 均为网格线的交点（1）在网格中将ABC 绕点 D 顺时针旋转 90画出旋转后的图形A 1B1C1；（2）在网格中将ABC 放大 2 倍得到DEF，使 A 与 D 为对应点18（8 分）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔

6、排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为 1 米，则 A1 的坐标为（2，2）、A2 的坐标为（ 5，2）（1）A 3 的坐标为 ，A n 的坐标（用 n 的代数式表示）为 （2）2020 米长的护栏，需要两种正方形各多少个？五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，MN 是一条东西走向的海岸线，上午 9：00 点一艘船从海岸线上港口A 处沿北偏东 30方向航行，上午 11：00 点抵达 B 点，然后向南偏东 75方向航行，一段时间后，抵达位于港口 A 的北偏东 60方向上的 C 处，船在航行中的速度均为 30海里/时，求此时船距

7、海岸线的距离20（10 分）如图，ABC 内接于O，AB AC，P 为O 上一动点（P，A 分别在直线BC 的两侧），连接 PC（1）求证：P2ABC；（2）若O 的半径为 2，BC3，求四边形 ABPC 面积的最大值六、（本题满分 12 分）21（12 分）随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区 1200 户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了 80 户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）组号 分组 频数 频率1 04 4 0.0502 59 12 0.1503 1014 a 0.4504 1519 1

8、8 0.2255 2024 b m6 2529 4 0.050合计 80 1.000根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中 a ，b ，m ；补全频数分布直方图；（2）这 80 户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？七、（本题满分 12 分）22（12 分）已知关于 x 的二次函数 yx 2+（k1）x+ k（1）试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点 M 的坐标（用 k 的代数式表示）；（3）当3k3 时，求顶点 M 的纵坐标的取值范围八、（本题满分 14 分）23（14 分）如图 1，在ABC

9、 中，ABAC ，ADBC 于 D，分别延长 AC 至 E，BC 至F，且 CEEF ，延长 FE 交 AD 的延长线于 G（1）求证：AEEG ；（2）如图 2，分别连接 BG， BE，若 BGBF ，求证：BEEG；（3）如图 3，取 GF 的中点 M，若 AB5，求 EM 的长2019 年安徽省亳州市涡阳县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1（4 分）5 的倒数是（ ）A5 B5 C D【分析】根据倒数的定义可直接解答【解答】解：5 的倒数是 ；故选：D【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是 1，我们就

10、称这两个数互为倒数2（4 分）下列算式中，结果等于 a5 的是（ ）Aa 2+a3 Ba 2a3 Ca 5a D（a 2） 3【分析】根据合并同类项对 A 进行判断；根据同底数幂的乘法对 B 进行判断；根据同底数幂的除法对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行判断【解答】解：A、a 2 与 a3 不能合并，所以 A 选项错误；B、原式a 5，所以 B 选项正确；C、原式a 4，所以 C 选项错误；D、原式a 6，所以 D 选项错误故选：B【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方3（4 分）2018 年，“双 11 网购促销活动创造了一天交易 213

11、5 亿元的佳绩，数据 2135亿用科学记数法表示为（ ）A2.13510 3 B2.13510 11C0.213510 12 D2.135 1012【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据 2135 亿用科学记数法表示为 2.1351011，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确

12、定 a 的值以及 n 的值4（4 分）由两个长方体组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（ ）A BC D【分析】俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形，能观察到的棱需要画成实线【解答】解：这个几何体的俯视图为：故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键5（4 分）方程 的解是（ ）Ax Bx Cx Dx 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x 2+2x2x 23x+1，解得：x ，经检验 x 是分式方程的解，故选：B【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注

13、意要检验6（4 分）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得（ ）ABCD【分析】根据题意可得等量关系：9 枚黄金的重量11 枚白银的重量；（10 枚白银的重量+1 枚黄金的重量）（1 枚白银的重量+8 枚黄金的重量）13 两，根据等量关系列出方程

14、组即可【解答】解：设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：，故选：D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系7（4 分）如图，ABC 内接于O，若OAB 35，则C 的度数是（ ）A35 B45 C65 D55【分析】连接 OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出AOB110，然后根据圆周角的定理求C 的度数【解答】解：连接 OB，如图，OAOB ，OABOBA35，AOB1803535110，C AOB55故选：D【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的

15、外心也考查了圆周角定理8（4 分）有编号为，的 3 个信封现将编号为，的两封信，随机地放入其中两个信封里，则信封与信编号都相同的概率为（ ）A B C D【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：将，的 3 个信封记为 ， ，的两封信记为 ，画树状图如下：由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中信封与信编号都相同的只有 1 种结果，信封与信编号都相同的概率为 故选：C【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还

16、是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9（4 分）如图，矩形 ABCD 的长 AD9cm ，宽 AB3cm，将它折叠，使点 D 与点 B 重合，求折叠后 DE 的长和 EF 的长分别是（ ）A5cm，3cm B5cm， cm C6cm， cm D5cm ，4cm【分析】设 DExcm，则 AEADDE （9x ）cm ，由折叠得 BEDE x，在 RtABE 中， AB2+AE2BE 2，即 32+（9x） 2x 2，解得 x5cm ；连结 BD 交 EF 于 G，过点 F 作 FHAD 于 H，由折叠知 EF 所在的直线是 BD 的中垂线，得到BGDG ，BGFDGE 90

17、，由于 ADBC ，得到 FBGEDG ，通过BFGDEG，得到 BFDE5，解得 EHAHAEBFEH541，在 RtEFH 中，根据勾股定理即可解出结果【解答】解：设 DExcm，则 AEADDE （9x ）cm，由折叠得 BEDE x，在 Rt ABE 中，AB 2+AE2BE 2，即 32+（9x ） 2x 2，解得 x5cm；连结 BD 交 EF 于 G，过点 F 作 FHAD 于 H，由折叠知 EF 所在的直线是 BD 的中垂线，BGDG ， BGFDGE90，ADBC，FBGEDG，在BFG 与DEG 中， ，BFGDEG，BFDE 5，EHAH AEBFEH541，在 Rt E

18、FH 中，EF ，故选：B【点评】本题考查了图形的变换折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键10（4 分）如图，一次函数 y1x 与二次函数 y2ax 2+bx+c 的图象相交于 P，Q 两点，则函数 yax 2+（b+1 ）x+c 的图象可能为（ ）A BC D【分析】由一次函数 y1x 与二次函数 y2ax 2+bx+c 图象相交于 P、Q 两点，得出方程 ax2+（b+1）x+c0 有两个不相等的根，进而得出函数 yax 2+（b+1）x+c 与 x 轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数 yax 2+（b+1）x+c 的对称轴x 0，即可进行判断【解答

19、】解：一次函数 y1x 与二次函数 y2ax 2+bx+c 图象相交于 P、Q 两点，方程 ax2+（b+1）x+c0 有两个不相等的根，函数 yax 2+（b+1 ）x +c 与 x 轴有两个交点， 0，a0 0函数 yax 2+（b+1 ）x +c 的对称轴 x 0，a0，开口向上，与 y 轴交点在正半轴故选：B【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）不等式 52x3 的解集是 x4 【分析】根据解一元一次不等式基本步

20、骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得【解答】解：2x35，2x8，x4，故答案为：x4【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变12（5 分）因式分解：a 2（a4）+（4a） （a4）（a+1）（a1） 【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式a 2（a4）（a4）（a4）（a 21）（a4）（a+1）（a1），故答案为：（a4）（a+1）（a1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13（5 分

21、）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积 （弦 矢+矢 2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB，“矢”指弓形高在如图所示的弧田中，半径为 5，“矢”为 2，则弧田面积为 10 【分析】由题意得出 OC3，由勾股定理得出 ACBC 4，得出AB8，代入公式弧田面积 （弦矢+矢 2）进行计算即可【解答】解：如图所示：OAOC5，CD2，OC3，OCAB ，ACBC 4，AB8，弧田面积 （弦矢+ 矢 2） （82+2 2）10；故答案为：10【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、弧田面积 （弦矢+矢 2

22、），由勾股定理求出 AC 是解题的关键14（5 分）在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，点 P 为边 AB 的中点，点 Q 为边 AC 上的任意一点（不与点 A，C 重合），若点 A 关于直线 PQ 的对称点 A 恰好落在等边三角形ABC 的边上，则 AQ 的长为 1 或 2 cm【分析】 如图 1，当点 A 关于直线 PQ 的对称点 A刚好落在边 AC 上，作 PQAC，连接 PA，AQ AP1；如图 2，当点 A 关于直线 PQ 的对称点 A刚好落在边 BC上，PQ AB2【解答】解：点 P 为边 AB 的中点，AP AB2如图 1，当点 A 关于直线 PQ 的对称点 A刚好落在边 A

23、C 上，作 PQAC，连接 PA，AQA Q，A60APA 为等边三角形，APQ30，AQ AP1；如图 2，当点 A 关于直线 PQ 的对称点 A刚好落在边 BC 上，连接 PA，QA ，PQ，则 PQAA，PAPA，四边形 APAQ 为菱形，PQPA AB2，故答案为 1 或 2【点评】本题考查了对称轴的性质，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15（8 分）计算：（ ） 2+ （ ） 0+|12|【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式 +2 1+12 + 【点评】此题主要考查

24、了实数运算，正确化简各数是解题关键16（8 分）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降 20%，转型成功后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长 15.2%，求三、四月份的平均增长率【分析】此题可以设三、四月份的平均增长率是 x，一月份产值为 a根据题意得到二月份的产值是（120%）a，在此基础上连续增长 x，则四月份的产量是（ 120% ）a（1+x） 2，则根据四月份比一月份增长 15.2%列方程求解【解答】解：设三、四月份的平均增长率是 x，一月份产值为 a根据题意得（120%）a（1+x ） 2（1+15.2% ）a，解得 x1 0.220% ，x 2 2.2 （不合题意，舍去）答

25、：三、四月份的平均增长率为 20%【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）如图在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，已知点A，B ，C ，D 均为网格线的交点（1）在网格中将ABC 绕点 D 顺时针旋转 90画出旋转后的图形A 1B1C1；（2）在网格中将ABC 放大 2 倍得到DEF，使 A 与 D 为对应点【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得；（2）根据位似变换的定义和性质求解可得【解答】解：（1）如图所示，A 1B1C1 即为所求；（2）如图所示

26、，DEF 即为所求【点评】本题主要考查作图位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质18（8 分）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为 1 米，则 A1 的坐标为（2，2）、A2 的坐标为（ 5，2）（1）A 3 的坐标为 （8，2） ，A n 的坐标（用 n 的代数式表示）为 （3n1，2） （2）2020 米长的护栏，需要两种正方形各多少个？【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为 2，由此可得规律：A1，A 2，A 3， ，A n 各点的纵坐标均为 2，横坐标依次大 3

27、，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算 2020 米包含多少这样的长度，进而便可求出结果【解答】解：（1）A 1 的坐标为（2，2）、A 2 的坐标为（5，2），A 1，A 2，A 3， ，A n 各点的纵坐标均为 2，小正方形的边长为 1，A 1，A 2，A 3， ，A n 各点的横坐标依次大 3，A 3（5+3，2），A n（ ，2），即 A3（8，2），A n（3n1，2），故答案为（8，2）；（3n1，2）；（2）202036731，需要小正方形 674 个，大正方形 673 个【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，

28、是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，MN 是一条东西走向的海岸线，上午 9：00 点一艘船从海岸线上港口A 处沿北偏东 30方向航行，上午 11：00 点抵达 B 点，然后向南偏东 75方向航行，一段时间后，抵达位于港口 A 的北偏东 60方向上的 C 处，船在航行中的速度均为 30海里/时，求此时船距海岸线的距离【分析】过 B 作 BEAC 于 E，解 RtABE，求出 BE AB30 海里，AE BE30 海里再解 RtCBE

29、，由EBC 75（6030）45，得出 CEBE 30 海里，那么 ACAE+CE （30 +30）海里过 C 作 CFMN 于F，得出 CF AC（15 +15）海里【解答】解：如图，过 B 作 BEAC 于 E，GAB30，GAC60，BAE 30在 Rt ABE 中，AEB90，AB30260（海里）， BAE30，BE AB30 海里，AE BE30 海里在 Rt CBE 中，CEB 90，EBC 75（6030）45，CEBE30 海里，ACAE+CE（30 +30）海里过 C 作 CFMN 于 F，CAF90GAC30，CF AC（15 +15）海里答：此时船距海岸线的距离为（15

30、 +15）海里【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想20（10 分）如图，ABC 内接于O，AB AC，P 为O 上一动点（P，A 分别在直线BC 的两侧），连接 PC（1）求证：P2ABC；（2）若O 的半径为 2，BC3，求四边形 ABPC 面积的最大值【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到A+2ABC180，根据圆内接四边形的性质得A+P180，从而得到结论；（2）由于 SABC 的面积不变，则当 SPBC 的面积最大时，四边形 ABPC 面积的最大，而 P 点到 BC 的

31、距离最大时，S PBC 的面积最大，此时 P 点为优弧 BC 的中点，利用点A 为 的中点可判断此时 AP 为O 的直径，APBC，然后利用四边形的面积等于对角线乘积的一半计算四边形 ABPC 面积的最大值【解答】（1）证明：ABAC，ABCACB，A+2ABC180，A+P180，P2ABC；（2）解：四边形 ABPC 的面积S ABC +SPBC ，S ABC 的面积不变，当 SPBC 的面积最大时，四边形 ABPC 面积的最大，而 BC 不变，P 点到 BC 的距离最大时，S PBC 的面积最大，此时 P 点为优弧 BC 的中点，而点 A 为 的中点，此时 AP 为O 的直径，APBC

32、，四边形 ABPC 面积的最大值 436【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理六、（本题满分 12 分）21（12 分）随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区 1200 户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了 80 户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）组号 分组 频数 频率1 04 4 0.0502 59 12 0.1503 1014 a 0.4504 1519 18 0.2255 2024 b m6 2529 4 0

33、.050合计 80 1.000根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中 a 36 ，b 6 ，m 0.075 ；补全频数分布直方图；（2）这 80 户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？【分析】（1）总数乘以第 3 组频率可得 a，总数减去其它分组人数可得 b，依据频率频数总数可得 m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得【解答】解：（1）a800.4536，b80（4+12+36+18+4）6，m6800.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第 40、

34、41 个数据的平均数，而这两个数据均落在第 3 组，所以这 80 户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第 3 组；（3）1200 1200 16050（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是 16050 件【点评】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力正确解答本题的关键在于准确读图表七、（本题满分 12 分）22（12 分）已知关于 x 的二次函数 yx 2+（k1）x+ k（1）试判断该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点 M 的坐标（用 k 的代数式表示）；（3）当3k3 时，求顶点 M 的纵坐标的取值范围【分析】（1）计算判别式的值得到

35、（k+1） 20，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与 x 轴的交点的个数；（2）利用配方法，把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点 M 的坐标；（3）设顶点 M 的纵坐标为 t，利用（2）的结论得到 t （k+1） 2，则 t 为 k 的二次函数，然后利用二次函数的性质求解【解答】解：（1）（k1） 24（1）kk2+2k+1（k+1） 20，该函数的图象与 x 轴的交点的个数为 1 个或 2 个；（2）yx 2+（k 1）x+kx 2（k1）x +（ ） 2（ ） 2+k（x ） 2+该函数的图象顶点 M 的坐标为（ ， ）；（3）设顶点 M 的纵坐标为 t，则 t （k+1） 2，

36、当 k1 时，t 有最小值 0；当3k1，t 随 k 的增大而减小，则 0t1；当1k3 时，t 随 k 的增大而减小，则 0t4，t 的范围为 0t4，即当3k3 时，顶点 M 的纵坐标 t 的取值范围为 0t4【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数（b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点）也考查了二次函数的性质八、（本题

37、满分 14 分）23（14 分）如图 1，在ABC 中，ABAC ，ADBC 于 D，分别延长 AC 至 E，BC 至F，且 CEEF ，延长 FE 交 AD 的延长线于 G（1）求证：AEEG ；（2）如图 2，分别连接 BG， BE，若 BGBF ，求证：BEEG；（3）如图 3，取 GF 的中点 M，若 AB5，求 EM 的长【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得 AEEG ；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图 3，作辅助线，构建平行线，证明四边形 DMEN 是平行四边形，得EMDN AC，计算可得结论【解答】证明：（1

38、）如图 1，过 E 作 EHCF 于 H，ADBC，EHAD ，CEHCAD，HEFG ，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG ；（2）如图 2，连接 GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG 是 BC 的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE ，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F ，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+ GCE，GCEF，在BEF 和GCE 中， ，BEF GEC（SAS），BEEG ；（3）如图 3，连接 DM，取 AC 的中点 N，连接 DN，由（1）得 AEEG ，GAEAGE，在 Rt ACD 中， N 为 AC 的中点，DN ACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在 Rt GDF 中，M 是 FG 的中点，DM FGGM，GDMAGE，GDM DAN，DM AE，四边形 DMEN 是平行四边形，EMDN AC，ACAB5，EM 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键