【天津卷】2019年普通高校招生全国统一考试数学(理科)试卷(含答案解析)
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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题。参考公式:如果事件 、 互斥,那么 .AB()()PABP如果事件 、 相互独立,那么 .圆柱的体积公式 ,其中 表示圆柱的底面面积, 表示圆柱的高.VShh棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面面积, 表示棱锥的高.13一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ,则 ( )1,25,2,4|13ABCxR()ACBA. B. C. D. 23,21,23
2、4【答案】D【解析】【分析】先求 ,再求 。AB()CB【详解】因为 ,1,2所以 .()34故选 D。【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算2.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( ),xy20,1,xy4zxyA. 2 B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】画出可行域,用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距,4yxzy故目标函数在点 处取得最大值。A由 ,得 ,20,1xy(1,)所以 。max4)5z故选
3、 C。【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围即:一画,二移,三求3.设 ,则 “ ”是“ ”的( )xR250x|1|xA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集,根据两解集的包含关系确定.【详解】 ,即 ,250x5x等价于 ,故 推不出 ;11x由 能推出 。x05x故“ ”是“ ”的必要不充分条件。25|1|故选 B。【
4、点睛】充要条件的三种判断方法:(1)定义法:根据 pq, qp 进行判断;(2)集合法:根据由 p, q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出 的值为( )SA. 5 B. 8 C. 24 D. 29【答案】B【解析】【分析】根据程序框图,逐步写出运算结果。【详解】详解: ,1,2Si1,25,3jSi8,4Si结束循环,故输出 。8故选 B。【点睛】解决此类型问题时要注意:要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,根
5、据各自的特点执行循环体;要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化;要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体5.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,若 与双曲线 的两条渐近线分别交24yxFl21(0,)xyabab于点 和点 ,且 ( 为原点) ,则双曲线的离心率为( )AB|OA. B. C. D. 2325【答案】D【解析】【分析】只需把 用 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。4ABOF,abc【详解】 的方程为 ,双曲线的渐近线方程为 ,l1xbyxa故得 ,(1,)(,)bABa所以 , , ,242ba所以 。25cae
6、故选 D。【点睛】双曲线 的离心率 。21(0,)xyab21cbea6.已知 , , ,则 的大小关系为( )5log2a0.5l20.2c,bcA. B. cb aC. D. a cb【答案】A【解析】【分析】利用利用 等中间值区分各个数值的大小。10,2【详解】 ,551logl2a,0.50.5l2lb,故 ,11c所以 。acb故选 A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。17.已知函数 是奇函数,将 的图像上所有点的横坐标伸()sin()0,|)fxxAyfx长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ,且gx2
7、,则 ( )4g38fA. B. C. D. 2222【答案】A【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出 值即可。,A【详解】 为奇函数,可知 ,()fx(0)sin0f由 可得 ;0把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍,得 ,21()sin2gxAx由 的最小正周期为 可得 ,()gx2由 ,可得 ,4A所以 , 。()2sinfx3()2sin84f故选 C。【点睛】在 处有定义的奇函数必有 。0x(0)f8.已知 ,设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立,则 的aR2,1()ln,xaxfx()0fxRa取值范围为( )A. B. C. D. 0,10,20,e1,e【答案】C【解析】
8、【分析】先判断 时, 在 上恒成立;若 在 上恒成立,转化为0a20xa(,1ln0xa(1,)在 上恒成立。ln(1,)【详解】首先 ,即 ,f0a当 时, ,0a2222()()()0xxaaa当 时, ,1f故当 时, 在 上恒成立;0a20xa(,1若 在 上恒成立,即 在 上恒成立,ln(1,)lnxa(,)令 ,则 ,()lxg2ln1()xg易知 为函数 在 唯一的极小值点、也是最小值点,e),故 ,所以 。max()(gae综上可知, 的取值范围是 。0,故选 C。【点睛】 在 上恒成立,等价于 ; 在 上恒成立,等价于()afxDmin(),afxD()afx。ma,f第卷二
9、.填空题:本大题共 6 小题.9. 是虚数单位,则 的值为_.i51i【答案】 3【解析】【分析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一: 。5()12311iii解法二: 。26ii【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a bi(a, bR)的形式,再根据题意求解10. 是展开式中的常数项为_.8312x【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项,根据方程思想得出 的值,再求出其常数项。r【详解】 ,884131(2)(2rrrrrrTCxCx由 ,得 ,840=故所求的常数项为 .28()【点睛】二项式中含有负号时,
10、要把负号与其后面的字母看作一个整体,计算中要特别注意符号。11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧25棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_.【答案】4【解析】【分析】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为 ,512故圆柱 的 高为 ,圆柱的底面半径为 ,故其体积为 。214【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。12.设 ,直线 和圆 ( 为参数)相切,则 的值为_.aR20axy2cos,1inxya【答案】34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆
11、的半径和圆心坐标,再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程,解之解得。a【详解】圆心坐标为 ,圆的半径为 ,(2,1)2所以 ,2a即 ,2414解得 。3a【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法,但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。13.设 ,则 的最小值为_.0,25xyxy(1)2xy【答案】 43【解析】【分析】把分子展开化为 ,再利用基本不等式求最值。26xy【详解】 ,26(1)2143xyxyx等号当且仅当 ,即 时成立。3xy,故所求的最小值为 。4【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。14.在四边形 中, ,点 在线段 的延长线上,A
12、BCD,23,5,30BADA ECB且 ,则 _.EE【答案】 1【解析】【分析】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】解法一:如图,过点 作 的平行线交 于 ,BAEDF因为 ,故四边形 为菱形。AEBF因为 , ,所以 ,即 .30D2325A因为 ,5AEFBABD所以 .222773()() 51205ABAD解法二:建立如图所示的直角坐标系,则 , 。(23,0)B5(,)2D因为 , ,所以 ,ADBC30ACE因为 ,所以 ,EE所以直线 的斜率为 ,其方程为 ,33(2)yx直线 的斜率为 ,其方程为 。AE3由 得 , ,3(2),yx3x1
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