天津市南开区育红中学2019年中考数学三轮冲刺：压轴题（含答案）

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1、第 1 页 共 25 页2019 年中考数学三轮冲刺 压轴题 冲刺练习考点一：与动点有关的综合题：1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为 x= ，且经过点 A（2，1） ，点 P 是抛物线上的动点，其横坐标为 m（0m2） ，过点 P 作 PBx 轴，垂足为 B，交 OA 于点C点 O 关于直线 PB 的对称点为 D，连接 CD、AD，过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E（1）求抛物线的解析式；（2）当 m 为何值时，ACD 的周长最小；（3）若ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标2.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边 BC 在 x 轴上，

2、顶点 A 在 y 轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）设点 M 是 x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点 N，使得以点A，B，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若抛物线对称轴交 x 轴于点 P，在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使PAQ 是以 PA 为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点 Q 的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由第 2 页 共 25 页3.如图，以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数）经过

3、A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为 C（1）求该抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；（2）若点 M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内设ABM 的面积为 S，试求 S 的最大值；若 S 为整数，则这样的 M 点有 个4.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（2，4） ，直线 x=2 与 x 轴相交于点 B，连接OA，抛物线 y=x2从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 x=2 交于点 P，顶点 M 到 A 点时停止移动（1）求线段 OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点 M 的横坐标为 m，用 m 的代数式表示点 P 的坐标；当 m 为何值时，线段 PB 最短；（3）

4、当线段 PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点 Q，使QMA 的面积与PMA 的面积相等？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 页 共 25 页5.在平面直角坐标系中，有三点 A（1，0），B（0， ），C（3，0）（1）求过点 A、B、C 的抛物线的解析式；（2）如图 1，在线段 AC 上有一动点 P，过 P 点作直线 PDAB 交 BC 于点 D，求出PBD 面积的最大值；（3）如图 2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点 Q，使QBD 的面积与PBD 面积相等？如存在，直接写出 Q 点坐标；如不存在，请说明理由6.如图，已知二次函数 y= 的图象与 y 轴交于点

5、 A（0，4），与 x 轴交于点 B，C，点 C 的坐标为（8，0），连接 AB、AC（1）请直接写出二次函数 y= 的表达式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的坐标；（4）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合），过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标第 4 页 共 25 页7.如图，抛物线的顶点坐标为 C（0，8） ，并且经过 A（8，0） ，点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点（含端点） ，过点 P 作直线 y

6、=8 的垂线，垂足为点 F，点 D，E 的坐标分别为（0，6） ，（4，0） ，连接 PD，PE，DE（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：当PDE 的周长最小时的点 P 坐标；使PDE 的面积为整数的点 P 的个数考点二：与四边形有关的综合题：1.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点 A(1，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线x=m(m2)与 x 轴交于点 D.(1)求二次函数的解析式；(2)在直线 x=m(m2)上有一点 E(点 E 在第四象限)，使得

7、E、D、B 为顶点的三角形与以A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由.第 5 页 共 25 页2.如图 1，在直角坐标系 xOy 中，正方形 OCBA 的顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴上，点 B 坐标为(6，6)，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 两点，且 3ab=1.(1)请求出二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；(2)如果动点 E、F 同时分别从点 A、点 B 出发，分别沿 AB、BC 运动，

8、速度都是每秒 1 个单位长度，当点 E 到达终点 B 时，点 E、F 随之停止运动.设运动时间为 t 秒，EBF 的面积为 S.试求出 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 E、B、R、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点 R 的坐标；如果不存在，请说明理由.3.已知，在菱形 OABC 中，OAB=60，OC=2若以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第四象限内将菱形 OABC 沿直线 OA 折叠后，点 C 落在点E 处，点 B 落在点 D 出（1）求点 D 和 E

9、 的坐标；（2）若抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 C、D、E 点，求抛物线的解析式；（3）如备用图所示，已知在平面内存在点 P 到直线 AC，CE，EA 的距离相等，试求点 P 的坐标第 6 页 共 25 页4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，其中B（6，0） ，与 y 轴交于点 C（0，8） ，点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点（不与点 C 重合） （1）求抛物线的表达式；（2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，点 E 关于直线 PC 的对称点为 E，若点E落在 y 轴上（不与点 C 重合）

10、 ，请判断以 P，C，E，E为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点 P 的坐标5.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+3 分別交 x 轴、y 轴于 A、C 两点，抛物线y=ax2+bx+c（a0） ，经过 A，C 两点，与 x 轴交于点 B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 为直线 AC 上一点，点 E 为拋物线上一点，且 D，E 两点的横坐标都为 2，点 F 为 x 轴上的点，若四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出点 F 的坐标；（3）若点 P 是线段 AC 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交拋物线于点 Q，连接 AQ，CQ，求AC

11、Q 的面积的最大值第 7 页 共 25 页6.如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线 y=x 2+bx+c（c0）的顶点为D，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 CAx 轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使BC= AC，连接 OA，OB，BD 和 AD（1）若点 A 的坐标是（4，4）求 b，c 的值；试判断四边形 AOBD 的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点 A，使得四边形 AOBD 是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+3x 与 x 轴交于 O、A 两点，与

12、直线 y=x 交于O、B 两点，点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （2，2） 点 P 在抛物线上，且不与点 O、B 重合，过点 P 作 y 轴的平行线交射线 OB 于点 Q，以 PQ 为边作矩形 PQMN，MN 与点 B 始终在 PQ 同侧，且 PN=1设点 P 的横坐标为 m（m0） ，矩形 PQMN 的周长为 C（1）用含 m 的代数式表示点 P 的坐标（2）求 C 与 m 之间的函数关系式（3）当矩形 PQMN 是正方形时，求 m 的值（4）直接写出矩形 PQMN 的边与抛物线有两个交点时 m 的取值范围第 8 页 共 25 页考点三：与圆有关的综合题：1.如图，抛物线 y=ax2

13、+bx 经过点 A（1，0）和点 B（5，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的A，请判断A 与 y 轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB、PC，请问：PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，抛物线 y=ax2 x2（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的

14、抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标第 9 页 共 25 页3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，3），连接 AB（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的

15、最大面积4.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在第一象限，点 B 在 x 轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tanAOB=2，点 C 是线段 OA 的中点（1）求点 C 的坐标；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，使得APO=CBO，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A、点 P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点 M 是抛物线图象上的一个动点，以 M 为圆心的圆与直线 OA 相切，切点为点 N，点 A 关于直线 MN 的对称点为点 D请你探索：是否存在这样的点 M，使得MADAOB？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 10 页 共

16、 25 页参考答案考点一：1.解：（1）依题意，得 ，解得 y=x 2 x（2）m=1（3）依题意，得 B（m，0）在 RTOBC 中，OC 2=OB2+BC2=m2+（ m） 2= m2，OC= m又O，D 关于直线 PC 对称，CD=OC= m在 RTAOE 中，OA= = =AC=OAOC= m在 RTADE 中，AD 2=AE2+DE2=12+（22m） 2=4m28m+5分三种情况讨论：若 AC=CD，即 m= m，解得 m=1，P（1， ） ；若 AC=AD，则有 AC2=AD2，即 55m+ m2=4m28m+5 解得 m1=0，m 2= 0m2，m= ，P（ ， ） ；若 DA

17、=DC，则有 DA2=DC2，即 4m28m+5= m2，解得 m1= ，m 2=20m2，m= ，P（ ， ）综上所述，当ACD 为等腰三角形是，点 P 的坐标分别为 P1（1， ） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） 2.解：（1）由题意可知；A（0，2）、B（1，0）、C（4，0）设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c则 ，解得： 所以抛物线的解析式为 y= x2+ x+2（2）如图 1 所示：四边形 ABNM 为菱形，OA=ON点 N 的坐标为（0，2）第 11 页 共 25 页如图 2 所示：由勾股定理可知：AB= = 四边形 ABMN 为菱形，NABM，

18、AN=AB，点 N 的坐标为（ ，2）如图 3 所示；四边形 ABMN 为菱形，NABM，AN=AB点 N 的坐标为（ ，2）如图 4 所示：四边形 ABMN 为菱形，NABM，AN=NB设点 N 的坐标为（x，2）由两点间的距离公式可知：（x+1） 2+22=x2解得：x=2.5点 N 的坐标为（2.5，2）点 N 的坐标为（0，2），（ ，2），（ ，2），（2.5，2）（3）如图 5 所示：使PAQ 是以 PA 为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点 Q 的坐标为 Q1（ ， ），Q 2（ ， ），Q 3（2， ），Q 4（2， ）说明 Q1：过点 Q1作 Q1Mx 轴，垂足为 Mx=

19、= ，P（ ，0）OP= 由题意得；APQ 1=90，PA=PQ 1OPA+CPQ 1=90APO+OAP=90，OAP=MPQ 1在AOP 和PMQ 1中， ，AOPPMQ 1Q 1M=0P= ，PM=OA=2OM=OP+PM= +2= 点 Q1的坐标为（ ， ）3.解：（1）抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的一个交点为 A（4，0），抛物线与 x 轴的另一个交点为（2，0），设抛物线的解析式为 y=a（x+2）（x4），把 B（0，4）代入得 a2（4）=4，解得 a= ，第 12 页 共 25 页抛物线的解析式为 y= （x+2）（x4），即 y= x2+x+4；y= （x

20、1） 2+ ，抛物线的顶点 C 的坐标为（1， ）；（2）过 M 点作 MNy 轴交 AB 于 N 点，如图，设 AB 的解析式为 y=mx+n，把 B（0，4）、A（4，0）代入得，解得 ，直线 AB 的解析式为 y=x+4，设 M（t， t2+t+4），则 N（t，t+4），MN= t2+t+4（t+4）= t2+2t，S=S BMN +SAMN = 4MN= 4（ t2+2t）=t 2+4t=（t2） 2+4，当 t=2 时，S 有最大值，最大值为 4；0t4，当 t=1、2、3 时，S 为整数，即这样的 M 点有 3 个故答案为 34.解：（1）设 OA 所在直线的函数解析式为 y=k

21、x，A（2，4） ，2k=4，k=2，OA 所在直线的函数解析式为 y=2x（2）顶点 M 的横坐标为 m，且在线段 OA 上移动，y=2m（0m2） 顶点 M 的坐标为（m，2m） 抛物线函数解析式为 y=（xm） 2+2m当 x=2 时，y=（2m） 2+2m=m22m+4（0m2） 点 P 的坐标是（2，m 22m+4） PB=m 22m+4=（m1） 2+3，又0m2，当 m=1 时，PB 最短（3）当线段 PB 最短时，此时抛物线的解析式为 y=（x1） 2+2即 y=x22x+3假设在抛物线上存在点 Q，使 SQMA =SPMA 设点 Q 的坐标为（x，x 22x+3） 点 Q 落

22、在直线 OA 的下方时，过 P 作直线 PCAO，交 y 轴于点 C，PB=3，AB=4，AP=1，OC=1，C 点的坐标是（0，1） 点 P 的坐标是（2，3） ，直线 PC 的函数解析式为 y=2x1S QMA =SPMA ，点 Q 落在直线 y=2x1 上第 13 页 共 25 页x 22x+3=2x1解得 x1=2，x 2=2，即点 Q（2，3） 点 Q 与点 P 重合此时抛物线上不存在点 Q（2，3） ，使QMA 与APM 的面积相等当点 Q 落在直线 OA 的上方时，作点 P 关于点 A 的对称称点 D，过 D 作直线 DEAO，交 y 轴于点 E，AP=1，EO=DA=1，E、D

23、 的坐标分别是（0，1） ， （2，5） ，直线 DE 函数解析式为 y=2x+1S QMA =SPMA ，点 Q 落在直线 y=2x+1 上x 22x+3=2x+1解得：x 1=2+ ，x 2=2 代入 y=2x+1 得：y 1=5+2 ，y 2=52 此时抛物线上存在点 Q1（2+ ，5+2 ） ，Q 2（2 ，52 ）使QMA 与PMA 的面积相等综上所述，抛物线上存在点，Q 1（2+ ，5+2 ） ，Q 2（2 ，52 ）使QMA 与PMA 的面积相等5.解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x3），把 B（0， ）代入得 a1（3）= ，解得 a= ，所以抛物线解析式为 y=

24、 （x+1）（x3），即 y= x2+ x+ ；（2）如图 1，OA=1，OB= ，OC=3，tanOAB= ，tanOCB= ，BC=2OB=2 ，OAB=60，OCB=30，ABC=90，PDAB，PDBC，设 P（m，0），则 PC=3m，在 RtPCD 中，PD= PC= （3m），CD= PD= （3m），BD=BCCD=2 （3m），S PBD = PDBD= （3m）2 （3m）= （m1） 2+ ，当 m=1 时，PBD 面积的最大值为 ；（3）如图 2，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，第 14 页 共 25 页把 B（0， ），C（3，0）代入得 ，解得 ，直线 BC

25、 的解析式为 y= x+ ，过 P 点作 BC 的平行线交抛物线于 Q，则QBD 的面积与PBD 面积相等，此时直线解析式为 y= x+ ，解方程组 ，解得 或 ，此时 Q 点坐标为（ ， ）或（ ， ），把直线 y= x+ 向上平移 个单位得到直线 y= x+ ，则直线 y= x+ 交抛物线于 Q，则QBD 的面积与PBD 面积相等，解方程组 ，解得 或 ，此时 Q 点坐标为（1， ）或（2， ），综上所述，Q 点的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（1， ）或（2， ）6.解：（1）将点 A（0，4）、C（8，0）代入 y= 中，得： ，解得： ，该二次函数的解析式为 y= + x+4第 15

26、 页 共 25 页（2）令 y= + x+4 中 y=0，则 + x+4=0，解得：x=2，或 x=8，点 B 的坐标为（2，0），又点 A（0，4），点 C（8，0），AB=2 ，AC=4 ，BC=10AB 2+AC2=20+80=100=BC2，ABC 为直角三角形（3）设点 N 的坐标为（m，0），则 AC=4 ，AN= ，CN=|8m|以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：当 AC=AN 时，即 4 = ，解得：m=8，或 m=8（舍去），此时点 N 的坐标为（8，0）；当 AC=CN 时，即 4 =|8m|，解得：m=84 ，或 m=8+4 ，此时点 N 的坐标为（

27、84 ，0）或（8+4 ，0）；当 AN=CN 时，即 =|8m|，解得：m=3，此时点 N 的坐标为（3，0）综上可知：以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标为（8，0）、（84 ，0）、（8+4 ，0）或（3，0）（4）设点 N 的坐标为（n，0）（2n8），则 BN=n（2）=n+2MNAC，BMNBAC， = S BAC = ABAC=20，BN=n+2，BC=10，S BMN =SBAC = SAMN =SABN S BMN = AOBN = （n3） 2+5，当 n=3，即点 N 的坐标为（3，0）时，AMN 面积最大，最大值为 57.解：（1）设抛物线的解

28、析式为 y=ax2+8经过点 A（8，0） ，64a+8=0，解得 a= 抛物线的解析式为：y= x2+8（2）PD 与 PF 的差是定值理由如下：设 P（a， a2+8） ，则 F（a，8） ，D（0，6） ，PD= = = a2+2，PF=8（ ）= PDPF=2（3）当点 P 运动时，DE 大小不变，则 PE 与 PD 的和最小时，PDE 的周长最小，PDPF=2，PD=PF+2，PE+PD=PE+PF+2，当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小，此时点 P，E 的横坐标都为 4，第 16 页 共 25 页将 x=4 代入 y= x2+8，得 y=6，P（4，6） ，此时PDE 的

29、周长最小如图 1 所示：过点 P 做 PHx 轴，垂足为 H设 P（a， a2+8）PH= a2+8，EH=a4，OH=aSDPE =S 梯形 PHODS PHE S DOE = a（ a2+8+6） （ +8） （a4） 46= a2+3a+4= （a6） 2+13点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点（含端点） ，0a8，当 a=6 时，S DPE 取最大值为 13当 a=0 时，S DPE 取最小值为 4即 4S DPE 13，其中，当 SDPE =12 时，有两个点 P共有 11 个令 SDPE 为整数的点考点二：1.解：(1)将点 A(1，0)，B(2，0)，C(0，2)代入二次

30、函数 y=ax2+bx+c 中，得 解得 a=1，b=3，c=2.y=x 2+3x2.(2)AO=1，CO=2，BD=m2，当EDBAOC 时，得 = ，即 = ，解得 ED= ，点 E 在第四象限，E 1(m， )，当BDEAOC 时， = 时，即 = ，解得 ED=2m4，点 E 在第四象限，E 2(m，42m)；(3)假设抛物线上存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则EF=AB=1，点 F 的横坐标为 m1，当点 E1的坐标为(m， )时，点 F1的坐标为(m1， )，点 F1在抛物线的图象上， =(m1) 2+3(m1)2，2m 211m+14=0，(2m7)(m2)=0

31、，第 17 页 共 25 页m=3.5，m=2(舍去)，F 1( ， )，当点 E2的坐标为(m，42m)时，点 F2的坐标为(m1，42m)，点 F2在抛物线的图象上，42m=(m1) 2+3(m1)2，m 27m+10=0，(m2)(m5)=0，m=2(舍去)，m=5，F 2(4，6).2.解：(1)已知点 A(0，6)，B(6，6)在抛物线上，且 3ab=1， ，解得： ，二次函数的解析式为 y= x2+ x+6.(2)运动开始 t 秒时，EB=6t，BF=t，S= BEBF= (6t)t= t2+3t= (t3) 2+ .当 t=3 时，S 有最大值 .假设存在，当 S 取得最大值时，

32、由知 t=3，点 E(3，6)，点 F(6，3).以 E、B、R、F 为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图)：(i)以 BE 为对角线时，点 B(6，6)，点 E(3，6)，点 F(6，3)，点 R(6+36，6+63)，即(3，9)；(ii)以 BF 为对角线时，点 B(6，6)，点 E(3，6)，点 F(6，3)，点 R(6+63，6+36)，即(9，3)；(iii)以 EF 为对角线时，点 B(6，6)，点 E(3，6)，点 F(6，3)，点 R(6+36，6+36)，即(3，3).点 R 在抛物线 y= x2+ x+6 上，点 R 的坐标为(9，3).故抛物线上存在点 R(9，3

33、)，使得四边形 EBRF 为平行四边形.3.解：（1）如图 1 中，连接 OB，作 EMOD 于 M四边形 ABCD 是菱形，OA=AB=OC=BC=2，OAB=60，OAB，OBC 是等边三角形，AOB=BOC=AOD=60，四边形 AOED 是由四边形 OABC 沿 OA 翻折得到，点 D 在 x 轴上，OD=DE=EO=2，在 RTEOM 中，EMO=90，MEO=30，EO=2，MO=1，EM= ，点 D 坐标（2，0），点 E 坐标（1， ）（2）C（2，0），D（2，0），C 与 D 关于 y 轴对称，抛物线的对称轴为 y 轴，即 b=0，把 C（或 D）与 E 的坐标代入 y=a

34、x2+c 得解得 ， ，抛物线的解析式为 （3）如图 2 中，P 1（0，0）是ACE 的内心，P 1，P 2，P 3是ACE 的外角平分线的交点第 18 页 共 25 页则 P1、P 2、P 3、P 4到ACE 三边距离相等由（1）可知，ACE 是等边三角形，P 3EC=P 3CE=60，P 3EC 是等边三角形，同理P 2AE，P 4AC 都是等边三角形且边长都是 2 ，P 3P4OC，P 3（2， ），P 4（2， ），OP 2=4，P 1（0，0），P 2（4，0）综上所述满足条件的点 P 的坐标 P1（0，0），P 2（4，0），P 3（2， ），P4（2， ）4.解：（1）把点 C

35、（0，8） ，B（6，0）代入在抛物线 y= x2+bx+c得 ，解得 ，所以抛物线的表达式为 y= x2+ x+8；（2）以 P，C，E，E为顶点的四边形为菱形理由如下：E 点和 E点关于直线 PC 对称，ECP=ECP，EC=CE，EP=EP，又PDx 轴，PEEC，EPC=ECP，EPC=ECP，EP=EC，EC=EP=PE=EC，四边形 EPEC 为菱形，（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，把 B（6，0） ，C（0，8）代入得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x+8；设 P（x， x2+ x+8） ，则 E（x， x+8） ，PE= x2+ x+8（ x+8）= x

36、2+4x，过点 E 作 EFy 轴于点 F，如图，第 19 页 共 25 页在 RtOBC 中，BC= =10，EFOB，CFECOB， = ，即 = ，CE= x，EC=EP， x2+4x= x，整理得 2x27x=0，解得 x1=0（舍去） ，x 2= ，点 P 的坐标为（ ， ） 5.解：（1）当 y=0 时，x+3=0，解得 x=3，则 A（3，0） ，当 y=0 时，y=x+3=3，则 C（0，3） ，设抛物线解析式为 y=a（x+3） （x+1） ，把 C（0，3）代入得 a3（1）=3，解得 a=1，所以抛物线解析式为 y=（x+3） （x1） ，即 y=x 22x+3；（2）连

37、结 DE 交 x 轴于 H，如图 1，D，E 两点的横坐标都为 2，DEx 轴，且 DE 被 x 轴平分，H（2，0）四边形 ADFE 为平行四边形，AH=FH=2（3）=5，OF=OH+HF=7，F 点的坐标为（7，0） ；（3）如图 2，设 P（t，t+3） （3t0） ，则 Q（t，t 22t+3） ，则 PQ=t 22t+3（t+3）=t 23t，S ACQ =SAQP +SCQP ，S ACQ = 3PQ= t2 t= （t+ ） 2+ ，当 t= 时，ACQ 的面积有最大值，最大值为 6.解：（1）ACx 轴，A 点坐标为（4，4）点 C 的坐标是（0，4）把 A、C 两点的坐标代

38、入 y=x 2+bx+c 得，解得 ；第 20 页 共 25 页四边形 AOBD 是平行四边形；理由如下：由得抛物线的解析式为 y=x 24x+4，顶点 D 的坐标为（2，8），过 D 点作 DEAB 于点 E，则 DE=OC=4，AE=2，AC=4，BC= AC=2，AE=BCACx 轴，AED=BCO=90，AEDBCO，AD=BODAE=OBC，ADBO，四边形 AOBD 是平行四边形（2）存在，点 A 的坐标可以是（2 ，2）或（2 ，2）要使四边形 AOBD 是矩形；则需AOB=BCO=90，ABO=OBC，ABOOBC， = ，又AB=AC+BC=3BC，OB= BC，在 RtOB

39、C 中，根据勾股定理可得：OC= BC，AC= OC，C 点是抛物线与 y 轴交点，OC=c，A 点坐标为（ c，c），顶点横坐标 = c，b= c，顶点 D 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍，为 2c，顶点 D 的坐标为（ c，2c）将 D 点代入可得 2c=（ c） 2+ c c+c，解得：c=2 或者 0，当 c 为 0 时四边形 AOBD 不是矩形，舍去，故 c=2；A 点坐标可以为（2 ，2）或者（2 ，2）7.解：（1）P 在抛物线 y=x 2+3x 上，且点 P 的横坐标为 m（m0） ，点 P 的坐标为：（m，m 2+3m）（2）PQy 轴，Q（m，m） 当 0m2 时，如图

40、1 中，PQ=m 2+3mm=m 22m，C=2（m 2+2m）+2=2m 2+4m+2当 m2 时，如图 2 中，PQ=m（m 2+3m）=m 22m，C=2（m 22m）+2=2m 24m+2（3）矩形 PQMN 是正方形，PQ=PN=1，当 0m2 时，如图 3 中，m 2+2m=1，解得 m1=m2=1当 m2 时，如图 4 中，m 22m=1，第 21 页 共 25 页解得 m1=1+ ，m 2=1 （不合题意舍弃） ；（4）由图 3 可知当 m=1 时矩形 PQMN 的边与抛物线有两个交点；抛物线 y=x 2+3x=（x ） 2+ 顶点的坐标为（ ， ） ，当 M 点在抛物线上时，

41、Q（m，m） M（m+1，m+1） ，m+1=（m+1） 2+3（m+1） ，解得 m=2，当 m2 时矩形 PQMN 的边与抛物线有两个交点；当 Q 的纵坐标为 时，Q 的横坐标为 ，此时 P 的横坐标为 ，当 m 时矩形 PQMN 的边与抛物线有两个交点；综上，当 m=1 或 m2 或 m 时矩形 PQMN 的边与抛物线有两个交点考点三：1.解：（1）抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（1，0）和点 B（5，0），把 A、B 两点坐标代入可得 ，解得： ，抛物线解析式为 y= x2+2x ；（2）相交，理由：过 A 作 ADBC 于点 D，如图 1，A 与 BC 相切，AD 为A 的半径

42、，由（1）可知 C（0， ），且 A（1，0），B（5，0），OB=5，AB=OBOA=4，OC= ，在 RtOBC 中，由勾股定理可得 BC= = = ，ADB=BOC=90，ABD=CBO，ABDCBO， = ，即 = ，解得 AD= ，即A 的半径为 ， 1，A 与 y 轴相交；第 22 页 共 25 页（3）C（0， ），可设直线 BC 解析式为 y=kx ，把 B 点坐标代入可求得 k= ，直线 BC 的解析式为 y= x ，过 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，如图 2，设 P（x， x2+2x ），则 Q（x， x ），PQ=（ x2+2x ）（ x

43、 ）= x2+ x= （x ） 2+ ，S PBC =SPCQ +SPBQ = PQOE+ PQBE= PQ（OE+BE）= PQOB= PQ= （x ） 2+ ，当 x= 时，S PBC 有最大值 ，此时 P 点坐标为（ ， ），当 P 点坐标为（ ， ）时，PBC 的面积有最大值2.解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a 42，即：a= ；抛物线的解析式为：y= x2 x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC 2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OB

44、C+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（ ，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC 的解析式为：y= x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y= x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b= x2 x2，即： x22x2b=0，且=0；44 （2b）=0，即 b=4；直线 l：y= x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：第 23 页 共 25 页，解得： 即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S

45、 OCB = 2（2+3）+ 23 24=43.解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 21把 A（0，3）代入得：3=4a1 解得：a=1，故 y=（x2） 21=x 24x+3；（2）抛物线的对称轴与C 相离,理由如下：如图 1，过点 C 作 CEBD 于 E令 y=0，则 x24x+3=0 解得：x 1=1，x 2=3则 B（1，0），C（3，0），A（0，3），故 AB= ，1+2=90，1+3=90，2=3，AOBBEC = ， = ，CE= ，BF=CE=1 ，抛物线的对称轴与C 相离；（3）设 P（m，m 24m+3），如图 2，过点 P 作作 PQy 轴交 AC 于点 Q

46、，设 AC 的解析式为：y=kx+b，故 ，解得： ，故 AC 的解析式为：y=x+3，则 Q（m，m+3），则 PQ=m+3（m 24m+3）=m 2+3m，SPAC =SAQP +SCQP = 3（m 2+3m）= m2+ m，则 m= = 3= ，把 m= 代入得： + = ，故 p（ ， ），则 SPAC 的最大值= 第 24 页 共 25 页4.解：（1）过点 A 作 ADOB 于点 D，过点 C 作 CEOB 于点 E，AO=AB，AD 是AOB 的中线，OD= OB=2，tanAOB=2， ，AD=4，CEAD，点 C 是 AO 的中点，CE 是AOD 的中位线，CE= AD=2，OE= OD=1，C 的坐标为（1，2） ；（2）由（1）可知：CE=2，BE=3，A 的坐标为（