天津市南开区育红中学2019年中考数学三轮冲刺：解直角三角形实际问题（含答案）

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1、第 1 页 共 14 页2019 年中考数学三轮冲刺 解直角三角形实际问题冲刺练习考点一：解直角三角形应用仰角俯角问题1.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD的高度.该楼底层为车库，高 2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地 1.5米，在 A处测得五楼顶部点 D的仰角为 60，在 B处测得四楼顶部点 E的仰角为 30，AB=14 米.求居民楼的高度(精确到 0.1米，参考数据：1.73).32.如图,大楼 AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼 DE,在小楼的顶端 D处测得障碍物边缘点 C的俯角为 30,测得大楼顶端 A的仰角为 45（点 B，C，E 在同一水平直

2、线上） ，已知 AB=80m,DE=10m,求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到 0.1m） （参考数据：1.414， 1.732）3.如图,在小山的西侧 A处有一热气球,以 25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为 15的方向升空,40 分钟后到达 B处,这时热气球上的人发现,在 A处的正东方向有一处着火点 C,在 B处测得着火点 C的俯角为 30,求热气球升空点 A与着火点 C的距离.（结果保留根号）第 2 页 共 14 页4.如图,某翼装飞行员从离水平地面高 AC=500m的 A处出发,沿着俯角为 15的方向,直线滑行1600米到达 D点，然后打开降落伞以 75的俯角降落到地面上

3、的 B点.求他飞行的水平距离BC（结果精确到 1m）5.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD（CDAE）,在课外活动时间测得下列数据：如图,从地面 E点测得地下停车场的俯角为 30,斜坡 AE的长为 16米,地面 B点（与 E点在同一水平线）距停车场顶部 C点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米，试求该校地下停车场的高度 AC及限高 CD（ 1.73，结果精确到 0.1米）6.如图 1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图 2是侧面示意图已知自动扶梯 AB的坡度为1：2.4，AB 的长度是 13米，MN 是二楼楼顶，MNPQ，C 是 MN上处在自动扶梯顶端 B

4、点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端 A处测得 C点的仰角为 42，求二楼的层高 BC（精确到 0.1米） （参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90）第 3 页 共 14 页7.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的 D处,测得建筑物顶的仰角为 30.且 D离地面的高度 DE=5m.坡底EA=10m,然后在 A处测得建筑物顶 B的仰角是 50,点 E,A,C在同一水平线上,求建筑物 BC的高 （结果保留整数）考点二：解直角三角形应用坡度问题1.如图，水库大坝的横断面为四边形 ABCD,其中

5、 ADBC,坝顶 BC=10米,坝高 20米,斜坡 AB的坡度 i=1:2.5,斜坡 CD的坡角为 30（1）求坝底 AD的长度（结果精确到 1米） ；（2）若坝长 100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据： ）2.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A点处测得树顶端 D的仰角为 30朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C处，测得树顶端 D的仰角为 60，已知 A点的高度 AB为 2米，台阶 AC的坡度为 1： （即AB：BC=1： ），且 B，C，E 三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树 DE的高度（测量器的高度忽略不计

6、）第 4 页 共 14 页3.如图山坡上有一根旗杆 AB，旗杆底部 B点到山脚 C点的距离 BC为 6 米，斜坡 BC的坡度i=1： 小明在山脚的平地 F处测量旗杆的高，点 C到测角仪 EF的水平距离 CF=1米，从 E处测得旗杆顶部 A的仰角为 45，旗杆底部 B的仰角为 20（1）求坡角BCD；（2）求旗杆 AB的高度（参考数值：sin200.34，cos200.94，tan200.36）4.如图，已知斜坡 AP的坡度为 1：2.4，坡长 AP为 26米，在坡顶 A处的同一水平面上有一座古塔 BC，在斜坡底 P处测得该塔的塔顶 B的仰角为 45，在坡顶 A处测得该塔的塔顶 B的仰角为 76

7、求：（1）坡顶 A到地面 PQ的距离；（2）古塔 BC的高度（结果精确到 1米） （参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01）5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6米，坡面 BC的坡度为 1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： （1）求新坡面的坡角 a；（2）原天桥底部正前方 8米处（PB 的长）的文化墙 PM是否需要拆桥？请说明理由第 5 页 共 14 页考点三：解直角三角形应用方位角问题1.如 图 ， “中 国 海 监 50”正 在 南 海 海 域 A 处 巡 逻 ， 岛 礁 B 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A

8、在 点 B 的 正 西 方 向 上 ， 岛 礁 C 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 C 的 南 偏 东 30方 向上 ， 已 知 点 C 在 点 B 的 北 偏 西 60方 向 上 ， 且 B、 C 两 地 相 距 120 海 里 （ 1） 求 出 此 时 点 A 到 岛 礁 C 的 距 离 ；（ 2） 若 “中 海 监 50”从 A 处 沿 AC 方 向 向 岛 礁 C 驶 去 ， 当 到 达 点 A 时 ， 测 得 点B 在 A 的 南 偏 东 75的 方 向 上 ， 求 此 时 “中 国 海 监 50”的 航 行 距 离 （ 注 ： 结果 保 留 根 号 ）2.如图,禁止

9、捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离 12海里的 B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 75方向以每小时 10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.3.如图，在一条笔直的东西向海岸线 l上有一长为 1.5km的码头 MN和灯塔 C，灯塔 C距码头的东端 N有 20km以轮船以 36km/h的速度航行，上午 10：00 在 A处测得灯塔 C位于轮船的北偏西 30方向，上午 10：40 在 B处测得灯塔 C位于轮船的北偏东 60方向，且与灯

10、塔 C相距12km（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由 （参考数据：1.4， 1.7）第 6 页 共 14 页4.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图 1） ，A、B、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图 2） ，点 C在点 A的北偏东 47方向，点 B在点 A的南偏东 79方向，且 A、B 两点的距离约为 5.5km；同时，点 B在点 C的南偏西 36方向若一艘中国渔船以 30km/h的速度从点 A驶向点 C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin540.81，cos540.59，tan4

11、71.07，tan360.73，tan110.19）5.如图，大海中某岛 C的周围 25km范围内有暗礁一艘海轮向正东方向航行，在 A处望见 C在北偏东 60处，前进 20km后到达点 B，测得 C在北偏东 45处如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由 （参考数据： 1.41， 1.73）6.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东 30方向,在C地北偏西 45方向,C地在A地北偏东 75方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin150.25，

12、cos150.97，tan150.27， ）第 7 页 共 14 页第 8 页 共 14 页参考答案考点一：1.解：2.解：如图，过点 D作 DFAB 于点 F，过点 C作 CHDF 于点 H则 DE=BF=CH=10m，在直角ADF 中，AF=80m10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE 中，DE=10m，DCE=30，CE= = =10 （m） ，BC=BECE=7010 7017.3252.7（m） 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7m3.解：作 ADBC 垂足为 D，AB=4025=1000，BEAC，C=EBC=30，ABD=903015=45，在

13、RtABD 中，sinABD= ，AD=ABsinABD=1000sin45=1000 =500 ，AC=2AD=1000 ，答：热气球升空点 A与着火点 C的距离是 1000 米4.解：过点 D作 DEAC 于点 E，过点 D作 DFBC 于点 F，由题意可得：ADE=15，BDF=15，AD=1600m，AC=500m，cosADE=cos15= 0.97， 0.97，解得：DE=1552（m），sin15= 0.26， 0.26，解得；AE=416（m），第 9 页 共 14 页DF=500416=84（m），tanBDF=tan15= 0.27， 0.27，解得：BF=22.68（m）

14、，BC=CF+BF=1552+22.68=1574.681575（m），答：他飞行的水平距离为 1575m5.解：连接 AC，ABE=90，E=30，AB=0.5AE=8，AC=81.2=6.8，CD=ACsinEAB=6.8 5.9，答：地下停车场的高度 AC为 6.8米，限高 CD约为 5.9米6.7.解：过点 D作 DMBC 于点 M，DNAC 于点 N，如图所示：则四边形 DMCN是矩形，DH=EC，DE=HC，设建筑物 BC的高度为 xm，则 BH=（x5）m，在 RtDHB 中，BDH=30，DH= （x5） ，AC=ECEA= （x5）10，在 RtACB 中，BAC=50，ta

15、nBAC= ，x=tan50 （x5），解得：x21，答：建筑物 BC的高约为 21m第 10 页 共 14 页考点二：1.解：（1）作 BEAD 于 E，CFAD 于 F，则四边形 BEFC 是矩形，EF=BC=10 米，BE=20 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：2.5 ，AE=50 米，CF=20 米，斜坡 CD 的坡角为 30，DF= =20 35 米，AD=AE+EF+FD=95 米；（2）建筑这个大坝需要的土石料： （95+10）20100=105000 米 32.3.4.解：（1）过点 A作 AHPQ，垂足为点 H斜坡 AP的坡度为 1：2.4，AH:PH=5：12，设 AH=5

16、km，则 PH=12km，由勾股定理，得 AP=13km13k=26m 解得 k=2AH=10m答：坡顶 A到地面 PQ的距离为 10m（2）延长 BC交 PQ于点 DBCAC，ACPQ，BDPQ四边形 AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DHBPD=45，PD=BD 第 11 页 共 14 页设 BC=x，则 x+10=24+DHAC=DH=x14在 RtABC 中，tan76=BC:AC，即 x:(x-14)4.0，解得 x19，答：古塔 BC的高度约为 19米5.解：（1）新坡面的坡度为 1： ，tan=tanCAB= = ，=30答：新坡面的坡角 a为 30；（2）文化墙 PM不需

17、要拆除过点 C作 CDAB 于点 D，则 CD=6，坡面 BC的坡度为 1：1，新坡面的坡度为 1： ，BD=CD=6，AD=6 ，AB=ADBD=6 68，文化墙 PM不需要拆除考点三：1.解 ：2.解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时.如图所示，由题得 ，第 12 页 共 14 页， ，过点 作 的延长线于点 ，在 中， ， . .在 中，由勾股定理得：解此方程得 （不合题意舍去）.答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2小时。3.解：第 13 页 共 14 页4.5.6.解：由题意可知DCA=1807545=60，BC=CD，BCD是等边三角形过点B作BEAD，垂足为E，如图所示：由题意可知DAC=7530=45，BCD是等边三角形，DBC=60 BD=BC=CD=20km，ADB=DBCDAC=15，BE=sin15BD0.25205m，AB= = 7m，AB+BC+CD7+20+2047m答：从A地跑到D地的路程约为 47m第 14 页 共 14 页