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1、第三章 函数及其图象,第15讲 二次函数的性质及其图象,1.抛物线yx26x5的顶点坐标为( )A. (3,4) B. (3,4) C. (3,4) D. (3,4) 2.如果将抛物线yx2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式为( )A. yx21 B. yx21 C. y D. y 3.(2016广州市)对于二次函数 ,下列说法正确的是( ) A.当x0时,y随x的增大而增大 B.当x2时,y有最大值3 C.图象的顶点坐标为(2,7) D.图象与x轴有两个交点,A,C,B,4.函数 与ykx2k(k0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( ),B,A. B.C. D.,5.“如果二次函
2、数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(mn)是关于x的方程 1(xa)(xb)0的两根,且ab,则a,b,m,n的大小关系是( )A. mabn B. amnb C. ambn D. manb,A,6.(2018定西市)如图是二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x1.下列说法:ab0;2ab0;3ac0;ab m(amb)(m为实数);当1x3时,y0.其中正确的是( )A. B. C. D. ,A,7.
3、把二次函数yx212x化为形如yak的形式:_. 8.函数yx22x1,当y0时,x_;当1x2时,y随x的增大而_(选填“增大”或“减小”). 9.已知点A(2,y1),B(3,y2)是二次函数yx22x1图象上的两点,则y1与y2的大小关系为 y1_y2(选填“”“”或“”).,y(x6)236,1,增大,10.已知抛物线 ,其中m是常数. (1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点. (2)若该抛物线的对称轴为直线 ; 求该抛物线的函数表达式; 把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?,(1)证明:y(xm)2(xm)(xm)(xm1),
4、 令y0,得(xm)(xm1)0, 解得x1m,x2m1. m m1, 不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点. (2)解:y(xm)2(xm)x2(2m1)xm(m1), 抛物线的对称轴为直线 ,解得m2. 抛物线的函数表达式为yx25x6. 该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.,考点一 二次函数的概念和图象 1.二次函数的概念:一般地,如果_ _,那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数的图象:二次函数的图象是一条关于直线 对称的曲线,这条曲线叫做抛物线. 抛物线的主要特征:有_;有_;有_. 3.二次函数图象的画法(五点法): (1)先根据函数表达
5、式求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.,yax2bxc,(a,b,c是常数,a 0),开口方向a,对称轴,顶点,(2)求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D.用平滑曲线将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图象.当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象,可再描出一对对称点A,B,然后用平滑曲线顺次连接五点,得到二次函数的图象.,考点二 二次函
6、数的表达式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:_. (2)顶点式:_,顶点坐标是_. (3)当抛物线yax2bxc与x轴有交点时,则对应一元二次方程ax2bxc0有两个实根x1和x2,根据二次三项式的分解因式ax2bxca,二次函数yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2).如果没有交点,则不能这样表示.,yax2bxc(a,b,c是常数,a0),yak(a,h,k是常数,a0),(h,k),考点三 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x 时,y最值 . 如果自变量的取值范围是x1xx2,那么,首先要看 是否在自变量取
7、值范围x1xx2内.若在此范围内,则当x 时,y最值 .若不在此范围内,则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性:若在此范围内且y随x的增大而增大,则当xx2时,y最大 ax2 bx2c,当xx1时,y最小 ax2 bx1c;若在此范围内且y随x的增大而减小,则当xx1时,y最大 ax2 bx1c,当xx2时,y最小 ax2 bx2c.,考点四 二次函数的性质 1.二次函数的性质:,2.二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)中,a,b,c的含义: (1)a决定_:a0时,抛物线开口_,a0时,图象与x轴有_交点; (2)当0时,图象与x轴有_交点; (3)当0时,图象与x轴_交点.,
8、两个,一个,没有,补充: 1.平面内两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法): 如图,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则AB间的距离,即线段AB的长度为 . 2.函数图象平移规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间):左加右减,上加下减(函数值加减上下移,自变量加减左右移).,【例题 1】已知函数y(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数 ymxn 与反比例函数 的图象可能是( ),A. B.C. D.,考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.,【例题 1】
9、已知函数y(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数 ymxn 与反比例函数 的图象可能是( ),分析:根据二次函数的图象判断出m1,n1,然后求出mn0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可.,【例题 1】已知函数y(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数 ymxn 与反比例函数 的图象可能是( ),A. B.C. D.,C,变式:(2017达州市)已知二次函数y ax2 bxc的图象如图所示,则一次函数yax2b与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ),A. B.C. D.,C,【例题 2】已知点A(a2b,24ab)在抛物线yx24x10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A.(3,7) B.(1,7) C.(4,10) D.(0,10),D,考点:二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化对称.,分析:把点A的坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出a,b,进而可得点A的坐标,然后根据抛物线的对称轴,利用对称的性质求解即可.,变式:(2017泸州市)已知抛物线y x21具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为( ,3),点P是抛物线y x21上一动点,则PMF周长的最小值是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6,C,
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