2.5.2 矩形的判定 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、矩形的判定教学目标:1掌握矩形的判定方法；(重点)2矩形的判定及性质的综合应用(难点)教学过程:一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1两条对角线相等且互相平分；2四个内角都是直角这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形已知：如图， ABC 中， AB AC， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BAC 的外角平分线，DE AB 交 AE 于点 E，求证：四边形

2、ADCE 是矩形解析：首先利用等边对等角性质得出 B ACB；再根据外角和外角平分线性质得出 FAE ACB，进而得到 AE CD，即可推出四边形 AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形 ADCE 是平行四边形，即可推出四边形 ADCE 是矩形证明： AB AC， AD BC， B ACB， BD DC. AE 是 BAC 的外角平分线， FAE EAC， B ACB FAE EAC， B ACB FAE EAC， AE CD，又 DE AB，四边形 AEDB 是平行四边形， AE 平行且相等 BD，又 BD DC， AE平行且等于 DC，故四边形 ADCE 是平行四边形，又

3、 ADC90，平行四边形 ADCE 是矩形方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形 AEDB.四边形 ADCE 是平行四边形是解题的关键探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON OB，再延长 OC 至 M，使 CM AN.求证：四边形 NDMB 为矩形解析：首先由平行四边形 ABCD 可得 OA OC.OB OD；若 ON OB，那么 ON OD；而CM AN，即 ON OM，由此可证得四边形 NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证证明：四边形

4、 ABCD 为平行四边形， AO OC， OD OB， AN CM， ON OB， ON OM OD OB，四边形 NDMB 为平行四边形，MN BD，平行四边形 NDMB 为矩形方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图所示，在 ABC 中， AB AC， AD BC，垂足为 D， AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线， CE AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便证明：在 ABC 中， AB

5、AC， AD BC， BAD DAC，即 DAC BAC.又 AN 是 ABC12外角 CAM 的平分线， MAE CAE CAM. DAE DAC CAE ( BAC CAM)180 90.12 12 12又 AD BC， CE AN， ADC CEA90.四边形 ADCE 为矩形方法总结：题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形探究点四：矩形的性质和判定的综合应用【类型一】 利用矩形的判定和性质证明和计算如图， O 是矩形 ABCD 的对角线的交点， E.F、 G、 H 分别是 OA.OB.OC.OD 上的点，且AE BF CG DH.(1)求证：四边形

6、 EFGH 是矩形；(2)若 E.F、 G、 H 分别是 OA.OB.OC.OD 的中点，且 DG AC， OF2cm，求矩形 ABCD 的面积解析：(1)首先证明四边形 EFGH 是平行四边形，然后再证明 HF EG；(2)根据题干求出矩形的边长 CD 和 BC，然后根据矩形面积公式求解(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， OA OB OC OD， AE BF CG DH， AO AE OB BF CO CG DO DH，即OE OF OG OH，四边形 EFGH 是矩形；(2)解： G 是 OC 的中点， GO GC， DG AC， CD OD， F 是 BO 中点，OF2cm， BO4

7、cm，四边形 ABCD 是矩形， DO BO4cm， DC4cm， DB8cm， CB 4 (cm)，矩形 ABCD 的面积DB2 DC2 344 16 (cm2)3 3方法总结：要证明四边形是矩形，首先可判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等【类型二】 矩形判定与动点问题如图所示，在梯形 ABCD 中， AD BC， B90， AD24cm， BC26cm，动点 P 从点A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以3cm/s 的速度运动点 P、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运

8、动(1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？解析：(1)四边形 PQCD 是平行四边形，可根据 DP CQ，列出方程后求解即可；(2)四边形 PQBA 是矩形，可根据 AP BQ，列出相应方程求解即可解：(1)设经过 xs，四边形 PQCD 为平行四边形，即 PD CQ，所以 24 x3 x，解得 x6，即经过 6 秒，四边形 PQCD 是平行四边形；(2)设经过 ys，四边形 PQBA 为矩形，即 AP BQ，所以 y263 y，解得 y ，即经过1326.5 秒，四边形 PQBA 是矩形方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形三、板书设计1矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形2矩形的性质和判定综合应用教学反思:在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.