4.5.1 利用一次函数解决实际问题 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、利用一次函数解决实际问题教学目标：1根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展学生的应用能力；(重点)3建立一次函数模型解决实际问题(难点)教学过程：一、情境导入联通公司手机话费收费有 A套餐(月租费 15元，通话费每分钟 0.1元)和 B套餐(月租费 0元，通话费每分钟 0.15元)两种设 A套餐每月话费为 y1(元)， B套餐每月话费为 y2(元)，月通话时间为 x分钟(1)分别表示出 y1与 x， y2与 x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时， A.B两种套餐收费一样？(3)什么情况下 A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际

2、问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水 10t以内(包括 10t)的用户，每吨收水费 a元；月用水超过 10t的用户，10t 水仍按每吨 a元收费，超过 10t的部分，按每吨 b元( ba)收费设某户居民月用水 xt，应收水费 y元， y与 x之间的函数关系如图所示(1)求 a的值，并求出该户居民上月用水 8t应收的水费；(2)求 b的值，并写出当 x10时， y与 x之间的函数表达式；(3)已知上月居民甲比居民乙多用 4t水，两家共收水费 46元，他们上月分别用水多少吨？解

3、析：(1)用水量不超过 10t时，设其函数表达式为 y ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得 a的值；再将 x8 代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得 b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比 10t多还是比 10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量解：(1)当 0 x10 时，图象过原点，所以设 y ax.把(10，15)代入，解得 a1.5.所以y1.5 x(0 x10)当 x8 时， y1.5812，即该户居民的水费为 12元；(2)当 x10时，设 y bx m(b0)把(10，15)和

4、(20，35)代入，得 解得10b m 15，20b m 35， )即超过 10t的部分按每吨 2元收费，此时函数表达式为 y2 x5( x10)；b 2，m 5， )(3)因为 101.5101.5423846，所以居民乙用水比 10t多设居民乙上月用水xt，则居民甲上月用水( x4)t. y 甲 2( x4)5， y 乙 2 x5.由题意，得2( x4)5(2 x5)46，解得 x12.即居民甲用水 16t，居民乙用水 12t.方法总结：本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共 140

5、千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价(元/千克) 售价(元/千克)甲种 5 8乙种 9 13(1)若该水果店预计进货款为 1000元，则这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共 140千克，进而利用该水果店预计进货款为 1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可解：(1)设购进甲种水果 x千克，则购进乙种水果(140 x)千克，根据题意可得5x9(14

6、0 x)1000，解得 x65，140 x75(千克)答：购进甲种水果 65千克，乙种水果 75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为 3元，乙种水果每千克利润为 4元设总利润为 W，由题意可得 W3 x4(140 x) x560，故 W随 x的增大而减小，则 x越小， W越大该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，140 x3 x，解得 x35，当 x35 时， W 最大 35560525(元)，故 14035105(千克)答：当购进甲种水果 35千克，购进乙种水果 105千克时，此时利润最大为 525元方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键如图，底面积为

7、 30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体” ，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm)与注水时间 t(s)之间的关系如图所示请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为 15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需 18s；注满“几何体”上方圆柱需 24186(s)；注满“几何体”上面的空圆柱形容器需 422418(s)，再设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方

8、程，再解方程；(2)由图知几何体下方圆柱的高为 acm，根据圆柱的体积公式得 a(3015)185，解得 a6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为 5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据圆柱的体积公式得 5(30 S)5(2418)，再解方程即可解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为 14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为 11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了 422418(s)，这段高度为 14113(cm)设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，则 18x303，解得x5，即匀速注水的水流速度为 5cm3/s；(2)由图知“几何体”下方圆柱的

9、高为 acm，则 a(3015)185，解得 a6，所以“几何体”上方圆柱的高为 1165(cm)设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据题意得 5(30 S)5(2418)，解得 S24，即“几何体”上方圆柱的底面积为 24cm2.方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进 A.B两种品牌的饮料共 500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示设购进 A种饮料 x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为 y元(1)求 y关于 x的函数表达式；

10、(2)如果购进两种饮料的总费用不超过 20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润(注：利润售价成本)品 牌 A B进价(元/箱) 55 35售价(元/箱) 63 40解析：由表格中的信息可得到 A.B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润解：(1)由题意，知 B种饮料有(500 x)箱，则 y(6355) x(4035)(500 x)3 x2500.即 y3 x2500(0 x500)；(2)由题意，得 55x35(500 x)20000.解得 x125.当 x125 时， y 最大值312525002875.该商场购进 A.B两种品

11、牌的饮料分别为 125箱、375 箱时，能获得最大利润 2875元方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成 2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不

12、变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程 y(km)与自行车队离开甲地时间 x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是_km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度路程时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发 a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出 B的坐标和 C的坐标，由自行车的速度就可以 D的坐标，由待定系数法就可以求出 BC， ED的解

13、析式就可以求出结论解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是 72324km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为 242.560(km/h)设邮政车出发 a小时两车相遇，由题意得 24(a1)60 a，解得 a .23答：邮政车出发 小时与自行车队首次相遇；23(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为 13560 (h)，邮政车从丙地出发的时间94为 21 (h)， B( ，135)， C(7.5，0)自行车队到达丙地的时间为：94 214 214135240.5 0.5 (h)， D( ，135)设 BC的解析式为 y1 k1x b1，由题意458 498 498得 y160 x450，设

14、ED的解析式为 y2 k2x b2，由135 214k1 b1，0 7.5k1 b1， ) k1 60，b1 450， )题意得 解得 y224 x12. 当 y1 y2时，72 3.5k2 b2，135 498k2 b2， ) k2 24，b2 12， )60 x45024 x12，解得 x5.5. y1605.5450120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地 120km.方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键三、板书设计一次函数与实际问题1建立一次函数模型解实际问题2利用图象(表)解决实际问题教学反思：对于分段函数的实际应用问题中，学生往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.