2.7 正方形 同步教案(湘教版八年级数学下册)
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1、正方形教学目标:1掌握正方形的概念、性质,并会运用;(重点)2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别;(难点)3掌握正方形的判定条件;(重点)4合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算(难点)教学过程:一、情境导入做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形学生在动手过程中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系问题:什么样的四边形是正方形?二、合作探究探究点一:正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1, AC 是对角线, AE 平分 BAC, EF AC 于点 F.(1)求证: BE CF;(2)求 BE 的长解析
2、:(1)由角平分线的性质可得到 BE EF,再证明 CEF 为等腰直角三角形,可证明BE CF;(2)设 BE x,在 CEF 中可表示出 CE,由 BC1,可列出方程,可求得 BE.(1)证明:四边形 ABCD 为正方形, B90, EF AC, EFA90, AE 平分 BAC, BE EF,又 AC 平分 BCD, ACB45, FEC FCE, EF FC, BE CF;(2)解:设 BE x,则 EF CF x,在 Rt CEF 中, CE x, BC1, xEF2 CF2 2x 1,解得 x 1,即 BE 的长为 1.2 2 2方法总结:矩形被每条对角线分成两个直角三角形,被两条对
3、角线分成四个等腰直角三角形,因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明在正方形 ABCD 中,点 F 是边 AB 上一点,连接 DF,点 E 为 DF 中点连接 BE.CE.AE.(1)求证: AEB DEC;(2)当 EB BC 时,求 AFD 的度数解析:(1)根据正方形的四条边都相等可得 AB CD,每一个角都是直角可得 BAD ADC90,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AE EF DEDF,根据等边对等角可得 EAD EDA,再求出 BAE CDE,然后利用“边角边”证明12即可;(2)根据全等三角形对应边
4、相等可得 EB EC,再求出 BCE 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得 EBC60,然后求出 ABE30,再根据等腰三角形两底角相等求出 BAE,然后根据等边对等角可得 AFD BAE.(1)证明:在正方形 ABCD 中, AB CD, BAD ADC90,点 E 为 DF 的中点, AE EF DE DF, EAD EDA, BAE BAD EAD, CDE ADC EDA,12 BAE CDE,在 AEB 和 DEC 中, AB CD, BAE CDE,AE DE, ) AEB DEC(SAS);(2)解: AEB DEC, EB EC, EB BC, EB BC EC, BCE 是
5、等边三角形, EBC60, ABE906030, EB BC AB, BAE (18030)1275,又 AE EF, AFD BAE75.方法总结:正方形是最特殊的平行四边形,在正方形中进行计算时,要注意计算出相关的角的度数,要注意分析图形中有哪些相等的线段探究点二:正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定已知:如图,在 Rt ABC 中, ACB90, CD 为 ACB 的平分线, DE BC 于点E, DF AC 于点 F.求证:四边形 CEDF 是正方形解析:要证四边形 CEDF 是正方形,则要先证明四边形 DECF 是矩形,再证明一组邻边相等即可证明: CD 平
6、分 ACB, DE BC, DF AC, DE DF, DFC90, DEC90,又 ACB90,四边形 DECF 是矩形, DE DF,矩形 DECF 是正方形方法总结:要注意判定一个四边形是正方形,必须先证明这个四边形为矩形或菱形【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定如图,已知在四边形 ABFC 中, ACB90, BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交AB 于点 E,且 CF AE;(1)试判断四边形 BECF 是什么四边形?并说明理由;(2)当 A 的大小满足什么条件时,四边形 BECF 是正方形?请回答并证明你的结论解析:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到
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