4.1.1 变量与函数 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、变量与函数教学目标：1了解常量、变量的概念；(重点)2了解函数的概念；(重点)3确定简单问题的函数关系(难点)教学过程：一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积 Scm2与球的半径 Rcm 的关系式是 S4 R2；(2)以固定的速度 v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度 h 米与小球运动的时

2、间 t 秒之间的关系式是 h v0t4.9 t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离 hm 与它下落的时间 ts 的关系式是h gt2(其中 g 取 9.8m/s2)；12(4)已知橙子每千克的售价是 1.8 元，则购买数量 w 千克与所付款 x 元之间的关系式是x1.8 w.解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量解：(1)球的表面积 Scm2与球的半径 Rcm 的关系式是 S4 R2，其中，常量是 4，变量是 S， R；(2)以固定的速度 v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度 h 米与小球运动的时间 t 秒之间的关系式是 h v0t4.9 t

3、2，常量是 v0，4.9，变量是 h， t；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离 hm 与它下落的时间 ts 的关系式是h gt2(其中 g 取 9.8m/s2)，其中常量是 g，变量是 h， t；12 12(4)已知橙子每千克的售价是 1.8 元，则购买数量 w 千克与所付款 x 元之间的关系式是x1.8 w，常量是 1.8，变量是 x， w.方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A变量 x， y 满足 x3 y1

4、，则 y 是 x 的函数B变量 x， y 满足 y ，则 y 可以是 x 的函数 x2 1C变量 x， y 满足| y| x，则 y 可以是 x 的函数D变量 x， y 满足 y2 x，则 y 可以是 x 的函数解析：A 中 x3 y1， y 可以看作 x 的函数，因为 y ；B 中 y ，因为1 x3 x2 1 x210，等式无意义，即对于变量 x 的任何一个取值，变量 y 都没有唯一确定的值，故 y 不是 x 的函数；C.D 中的| y| x 和 y2 x，对于变量 x 的任意一个正数值，变量 y 都有两个(不唯一)值与其对应，故 y 不是 x 的函数故选 A.方法总结：判断两个变量是否是

5、函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量 x 的取值范围(1)y2 x3； (2) y ；31 x(3)y ； (4) y .4 xx 1x 2解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零解：(1)全体实数；(2)分母 1 x0，即 x1；(3)被开方数 4 x0，即 x4；(4)由题意得

6、 解得 x1 且 x2.x 1 0，x 2 0， )方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为 0，有根号的要满足被开方数为非负数【类型二】 实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水 200 升，7：30 打开水龙头，以 2 升/分的速度放水，设经过 t 分钟后，水箱内存水 y 升(1)求 y 关于 t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55 时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于 0 列不等式求出 t 的取值范围；(2)7：55 时， t553025，将 t2

7、5 代入(1)中的关系式即可；(3)令 y0，求出 t 的值即可解：(1)水箱内存有的水原有水放掉的水， y2002 t. y0，2002 t0，解得 t100，0 t100， y 关于 t 的函数关系式为 y2002 t(0 t100)；(2)7：557：3025(分钟)，当 t25 时， y2002 t20050150(升)，7：55 时，水箱内还有水 150 升；(3)当 y0 时，2002 t0，解得 t100，而 100 分钟1 小时 40 分钟，7 点 30 分1 小时 40 分钟9 点 10 分，故 9 点 10 分水箱内的水恰好放完探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称

8、不超过 10kg 的物体，它的原长为 10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量 x(kg)的变化而变化，每挂 1kg 物体，弹簧伸长 0.5cm；(1)求弹簧的长度 y(cm)与所挂重物质量 x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂 5kg 重物时，求弹簧的长度解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1) y10 x，其中 x 是自变量， y 是自变量的函数；12(2)将 x5 代入 y10 x，得 y10 512.5(cm)12 12答：当挂 5kg 重物是，弹簧的长度为 12.5 厘米方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式求函数值时，将自变

9、量代入函数表达式中，求出即可探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入 x 的值为 ，则输出的函数值为( )52A. B. C. D.32 25 425 254解析： x 时，在 2 x4 之间，将 x 代入函数 y ，得 y .故选 B.52 52 1x 25方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算三、板书设计1常量和变量的概念2函数的概念3函数关系式4自变量的取值范围5函数值教学反思：通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.