1.2.1 勾股定理 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、1.2.1 勾股定理教学目标:1经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3了解利用拼图验证勾股定理的方法(难点)教学过程:一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理已知：如图，在 ABC 中， ACB90， AB13cm， BC5cm， CD AB 于 D，求：(1)AC 的长；(2)S ABC；(3)C

2、D 的长解析：(1)由于在 ABC 中， ACB90， AB13cm， BC5cm，根据勾股定理即可求出 AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 S ABC；(3)根据 CDAB BCAC 即可求出CD.解：(1)在 ABC 中， ACB90， AB13cm， BC5cm， AC 12(cm)；AB2 BC2(2) S ABC CBAC 51230(cm 2)；12 12(3) S ABC ACBC CDAB， CD (cm)12 12 ACBCAB 6013方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程

3、，再解这个方程即可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在 ABC 中， AB15， AC13， BC 边上的高 AD12，试求 ABC 周长解析：本题应分 ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论解：此题应分两种情况：(1)当 ABC 为锐角三角形时，如图所示，在 Rt ABD 中，BD 9，在 Rt ACD 中，AB2 AD2 152 122CD 5， BC5914， ABC 的周长为 15131442；AC2 AD2 132 122(2)当 ABC 为钝角三角形时，如图所示，在 Rt ABD 中，BD 9.在 Rt ACD 中，AB2 AD2 152 122CD 5， BC9

4、54， ABC 的周长为：AC2 AD2 132 1221513432， ABC 的周长为 32 或 42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知 ABC 中， B22.5， AB 的垂直平分线分别交 BC.AB 于 D.F 点，BD6 ， AE BC 于 E，求 AE 的长2解析：欲求 AE，需与 BD 联系，连接 AD，由线段垂直平分线的性质可知 AD BD.可证 ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求 AE 的长解：如图所示，连接 AD. DF 是线段 AB 的垂直平分线， AD BD6 ，

5、 BAD B22.5. ADE B BAD45，2AE BC， DAE45， AE DE.由勾股定理得 AE2 DE2 AD2，2 AE2(6 )22， AE 6.622方法总结：22.5虽然不是特殊角，但它是特殊角 45的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法 1：如图：对任意的符合条件的直角三角形 ABC 绕其顶点 A 旋转 90得直角三角形 AED，所以 BAE90，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形ABFE 的面积等于 Rt BAE 和 Rt BFE

6、 的面积之和根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图：任意的符合条件的两个全等的 Rt BEA 和 Rt ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法 1：根据四边形 ABFE 的面积等于 Rt BAE 和 Rt BFE 的面积之和进行解答；方法 2：根据 ABC 和 Rt ACD 的面积之和等于 Rt ABD 和 BCD 的面积之和解答解：方法 1： S 正方形 ACFD S 四边形 ABFE S BAE S BFE，即 b2 c2 (b a)(b a)，整理得12 122b2 c2 b2 a2， a2 b2 c2；方法 2： S 四边形 ABCD S ABC

7、S ACD， S 四边形 ABCD S ABD S BCD，即 S ABC S ACD S ABD SBCD，即 b2 ab c2 a(b a)，整理得 b2 ab c2 a(b a)，12 12 12 12b2 ab c2 ab a2， a2 b2 c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理三、板书设计1勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2.2勾股定理的应用3勾股定理与图形的面积教学反思:课堂教学中，要注意调动学生的积极性让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.