1.2.2 勾股定理的实际应用 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、1.2.2 勾股定理的实际应用教学目标:1熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2勾股定理的正确使用(难点)教学过程:一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】 勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳问 6 秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时， AC5

2、米， BC13 米，即可求得 AB 的值，6 秒后根据 BC.AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可解：在 Rt ABC 中， BC13 米， AC5 米，则 AB 12 米，6 秒后，BC2 AC2BC130.5610 米，则 AB 5 米，则船向岸边移动距离为(125 )BC2 AC2 3 3米方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理【类型二】 含 30或 45等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日 A 市测得沙尘暴中心在 A 市的正西方向 300km 的 B 处，以 10

3、 km/h 的速度向南偏东 60的 BF 方向7移动，距沙尘暴中心 200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问： A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出 A 市受沙尘暴影响的时间解析：过点 A 作 AC BF 于 C，然后求出 ABC30，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC AB，从而判断出 A 市受沙尘暴影响，设从 D 点开始受影响，12此时 AD200km，利用勾股定理列式求出 CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间路程速度计算即可得解解：如图，过点 A 作 AC BF 于 C，由题意得， ABC906030， AC AB 300150(

4、km)，150200， A 市受沙尘暴影响，设从 D 点开始受影响，12 12则 AD200km.由勾股定理得， CD 50 (km)，受影响的距离AD2 AC2 2002 1502 7为 2CD100 km，受影响的时间位 100 10 10(h)7 7 7方法总结：熟记“直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键探究点二：勾股定理在几何图形中的应用【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长 BE15cm，宽 AB10cm，高 AD20cm，点 M 在 CH 上，且CM5cm，一只蚂蚁

5、如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图(将正面与上面展开)所示， AM 5 ，如图(将正面与右侧面102 （ 20 5） 2 29展开)所示， AM 25(cm)5 25，第二种短些，此时最短距离202 （ 10 5） 2 29为 25cm；如图(将正面与左侧面展开)所示， AM 5 (cm).（ 20 10） 2 52 375 25，最短距离为 25cm.37答：需要爬行的最短距离是 25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多

6、，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B处，点 A 的对应点为 A，且 B C3，则 AM 的长是( )A1.5 B2C2.25 D2.5解析：设 AM x，连接 BM， MB，在 Rt ABM 中， AB2 AM2 BM2，在 Rt MDB中，B M2 MD2 DB 2， MB MB， AB2 AM2 BM2 B M2 MD2 DB 2，即 92 x2(9

7、 x)2(93) 2，解得 x2，即 AM2.故选 B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为 x，然后用含有 x 的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答【类型三】 勾股定理与数轴如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( )A. 1 B 15 5C. 1 D.5 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A 点的坐标图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2，斜边长为 ，1 到 A 的距离12 22 5是 ，那么点 A 所表示的数为 1.故选 C.5 5方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点 A 的符号后，点 A 所表示的数是距离原点的距离三、板书设计1勾股定理在实际生活中的应用2勾股定理在几何图形中的应用教学反思:就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“ a2 b2 c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.