2.6.2 菱形的判定 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、菱形的判定教学目标:1理解和掌握菱形的判定方法；(重点)2合理利用菱形的判定方法进行论证和计算(难点)教学过程:一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1两条对角线互相垂直平分；2四条边都相等；3每条对角线平分一组对角这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定已知：如图，在 ABC 中， D.E 分别是 AB.AC 的中点， BE2 D

2、E，延长 DE 到点 F，使得 EF BE，连接 CF.求证：四边形 BCFE 是菱形解析：由题意易得， EF 与 BC 平行且相等，四边形 BCFE 是平行四边形又 EF BE，四边形 BCFE 是菱形证明： BE2 DE， EF BE， EF2 DE. D.E 分别是 AB.AC 的中点， BC2 DE 且DE BC. EF BC， EF BC，四边形 BCFE 是平行四边形又 EF BE，四边形 BCFE 是菱形方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定如图， AE BF， AC 平分 BAD，且交 BF 于点

3、 C， BD 平分 ABC，且交 AE 于点 D，连接CD，求证：(1)AC BD；(2)四边形 ABCD 是菱形解析：(1)证得 BAC 是等腰三角形后利用三线合一的性质得到 AC BD 即可；(2)首先证得四边形 ABCD 是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形证明：(1) AE BF， BCA CAD， AC 平分 BAD， BAC CAD， BCA BAC， BAC 是等腰三角形， BD 平分 ABC， AC BD；(2) BAC 是等腰三角形， AB CB，又 BC AD， CBD ABD BDA， ABD 也是等腰三角形， AB AD， DA CB，四边形 ABC

4、D 是平行四边形， AC BD，四边形ABCD 是菱形方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定如图，已知 ABC，按如下步骤作图：分别以 A， C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧交于 P， Q 两点；12作直线 PQ，分别交 AB， AC 于点 E， D，连接 CE；过 C 作 CF AB 交 PQ 于点 F，连接 AF.(1)求证： AED CFD；(2)求证：四边形 AECF 是菱形解析：(1)由作图知： PQ 为线段 AC 的垂直平分线，从而得到 AE CE，

5、 AD CD，然后根据CF AB 得到 EAC FCA， CFD AED，利用 ASA 证得两三角形全等即可；(2)根据全等得到 AE CF，再由 EF 为线段 AC 的垂直平分线，得到 EC EA， FC FA，从而得到 EC EA FC FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 AECF 为菱形解：(1)由作图知： PQ 为线段 AC 的垂直平分线， AE CE， AD CD， CF AB， EAC FCA， CFD AED，在 AED 与 CFD 中， AED CFD； EAC FCA，AD CD， CFD AED， )(2) AED CFD， AE CF， EF 为线段 AC 的垂直

6、平分线， EC EA， FC FA， EC EA FC FA，四边形 AECF 为菱形方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定探究点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形 ABCD 中， AF、 CE 分别是 BAD 和 BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是_(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)解析： AD BC， FAD AFB， AF 是 BAD 的平分线， BAF FAD， BAF AFB， AB BF，同

7、理ED CD， AD BC， AB CD， AE CF，又 AE CF，四边形 AECF 是平行四边形，对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是： AC EF.方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用在平行四边形 ABCD 中， BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F.(1)如图，求证： CE CF；(2)如图所示，若 ABC90， G 是 EF 的中点，分别连接 DB.DG，求 BDG 的度数；(3)如图所示，若 ABC120， FG CE，

8、 FG CE，分别连接 DB， DG，求 BDG 的度数解析：(1)根据 AF 平分 BAD，可得 BAF DAF，利用四边形 ABCD 是平行四边形，证明 CEF F 即可；(2)如图所示，分别连接 GB.GC，根据 ABC90，可得 ABE，ECF 均为等腰直角三角形，再证明 BEG DCG，然后即可求得答案(3)如图所示，分别延长 AB.FG 交于 H，连接 HD，求得四边形 AHFD 是平行四边形由 ABC120，可求得 DHF 为等边三角形再由条件证得 BHD GFD，然后即可求得答案(1)证明： AF 平分 BAD， BAF DAF，四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC，

9、AB CD， DAF CEF， BAF F， CEF F. CE CF；(2)解：连接 GC.BG，如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形， ABC90，四边形ABCD 为矩形， AF 平分 BAD， DAF BAF45， DCB90，DF AB， DFA45， ECF90， ECF 为等腰直角三角形， G 为 EF 的中点， EG CG FG， CG EF，又 ABC90， BAF45， ABC 为等腰直角三角形， AB BE.又 AB DC， BE DC， CEF GCF45， BEG DCG135，在BEG 与 DCG 中， BEGEG CG， BEG DCG，BE DC， )DCG，

10、 BG DG， BGA DGC. CG EF， DGC DGA90， BGE DGE90， DGB 为等腰直角三角形， BDG45；(3)解：延长 AB.FG 交于 H，连接 HD，如图所示， AD CE GF， AB DF，四边形 AHFD为平行四边形 ABC120， BAC60，又 AF 平分 BAD， DAF30， ADC120， DFA30. DAF 为等腰三角形 AD DF，平行四边形 AHFD 为菱形 ADH， DHF 为全等的等边三角形 DH DF， BHD GFD60. AD BC， CEF DAF30， CEF CFA， CE CF. AH AB DF CD， BH CF.又

11、 FG CE， BH GF.在BHD 与 GFD 中， BHDDH DF， BHD GFD，BH CF， )GFD， BDH GDF. BDG BDH HDG GDF HDG60.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具三、板书设计1菱形的判定有一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形2菱形的性质和判定的综合应用教学反思:在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.