1.1.1 直角三角形的性质和判定 同步教案（湘教版八年级数学下册）

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1、1.1.1 直角三角形的性质和判定教学目标:1掌握“直角三角形两个锐角互余” ，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质(重点、难点)教学过程:一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图， AB DF， AC BC 于 C， BC 与 DF 交于点 E，若 A20，则 CEF 等于( )A110 B100 C80 D70解析： AC BC 于 C， ABC 是直角三角形， AB

2、C90 A902070， ABC170， AB DF，1 CEF180，即 CEF180118070110.故选 A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知 AB CD， BAF F， EDC E，求证： EOF 是直角三角形解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证 EOF 是直角三角形，只需证 E F90即可，而 E (180 BCD)，12 F (180 ABC)，由 AB CD 可知 ABC BCD180，即问题得证12证明： BAF F， BAF F AB

3、F180， F (180 ABF)同理，12 E (180 ECD) E F18012 ( ABF ECD) AB CD， ABF ECD180. E F180 18012 1290， EOF 是直角三角形方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为 180，如果一个三角形中有两个角的和为 90，可知该三角形为直角三角形探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图， ABC 中， AD 是高， E.F 分别是 AB.AC 的中点(1)若 AB10， AC8，求四边形 AEDF 的周长；(2)求证： EF 垂直平分 AD.解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、可得DE AE AB， DF AF AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段12 12两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可(1)解： AD 是高， E.F 分别是 AB.AC 的中点， DE AE AB 105， DF AF AC12 12 1284，四边形 AEDF 的周长 AE DE DF AF554418；12(2)证明： DE AE， DF AF， E 是 AD 的垂直平分线上的点， F 是 AD 的垂直平分线上的点， EF 垂直平分 AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形

5、的直角顶点进行求解或证明探究点四：直角三角形性质的综合运用【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在 ABC 中， AB AC， BAC120， EF 为 AB 的垂直平分线，交 BC 于 F，交AB 于点 E.求证： FC2 BF.解析：根据 EF 是 AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接 AF，得到 AFB为等腰三角形又可求得 B C BAF30，进而求得 FAC90.取 CF 的中点M，连接 AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明证明：如图，取 CF 的中点 M，连接 AF、 AM. EF 是 AB 的垂直平分线， AF BF. BAF B. AB AC， B

6、AC120， B BAF C (180120)1230. FAC BAC BAF90.在 Rt AFC 中， C30， M 为 CF 的中点， AFM60， AM FC FM. AFM 为等边三角形 AF AM FC.又12 12 BF AF， BF FC，即 FC2 BF.12方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点 A.B.C.D 处，球放在 EF 的中点

7、O 处，则游戏_(填“公平”或“不公平”)解析：游戏是否公平就是判断点 A.B.C.D 到点 O 的距离是否相等四个直角三角形有公共的斜边 EF，且 O 为斜边 EF 的中点连接 OA.OB.OC.OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知， OA OB OC OD EF，即点 A.B.C.D 到 O 的距离相等由此12可得出结论：游戏公平方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在 Rt ABC 中， AB AC， BAC90， O

8、 为 BC 的中点(1)写出点 O 到 ABC 的三个顶点 A.B.C 的距离的数量关系；(2)如果点 M、 N 分别在线段 AB.AC 上移动，移动中保持 AN BM.请判断 OMN 的形状，并证明你的结论解析：(1)由于 ABC 是直角三角形， O 是 BC 的中点，得 OA OB OC BC；(2)由于 OA 是12等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得 CAO B45，OA OB，又 AN MB，所以 AON BOM，所以 ON OM， NOA MOB，于是有 NOM AOB90，所以 OMN 是等腰直角三角形解：(1)连接 AO.在 Rt ABC 中， BAC9

9、0， O 为 BC 的中点， OA BC OB OC，即12OA OB OC；(2) OMN 是等腰直角三角形理由如下： AC BA， OC OB， BAC90， OA OB， NAO CAB B45， AO BC，又 AN BM， AON12BOM， ON OM， NOA MOB， NOA AOM MOB AOM， NOM AOB90， MON 是等腰直角三角形方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余三、板书设计1直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形教学反思:通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.