2019年浙江省金华市婺城区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年浙江省金华市婺城区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列四个数中，最大的数是（ ）A B3 C D3.142 （3 分）2019 年 3 月初，全国“两会”在北京人民大会堂隆重召开，李克强总理在政府工作报告中指出，过去的一年，我国为企业和个人减税降费约 1300000000000 元，数 1300000000000 用科学记数法表示为（ ）A1310 8 B0.1310 13 C1.310 12 D1.310 133 （3 分）下列计算正确的是（ ）A （a 3） 2a 5 B3a 2b+3ba20Ca 2a3a 6 D （3a 2b） 3a

2、6b34 （3 分）以下是我市著名企事业（新飞电器、心连心化肥、新乡银行、格美特科技）的徽标或者商标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D5 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A BC D6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx30（a0 ）的解是 x1，则5+2a2b的值是（ ）A0 B1 C2 D37 （3 分）已知点（1，y 1） ， （2，y 2） （3，y 3）均在反比例函数 的图象上，则y1，y 2，y 3，的大小关系是（ ）Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 1

3、y 3y 28 （3 分）若 ，那么 yx 的值是（ ）A1 B C1 D89 （3 分）当 xa 和 xb（ab）时，二次函数 y2x 22x +3 的函数值相等、当 xa+b时，函数 y2 x22x+3 的值是（ ）A0 B2 C1 D310 （3 分）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多 5km设小明出发 xh 后，到达离甲地 ykm 的地方，图中的折线 OABCDE 表示 y

4、 与 x 之间的函数关系小明骑车在平路上的速度为 15km/h小明途中休息了 0.1h；小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地 5.5km 的地方的时间间隔为 0.15h则以上说法中正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）因式分解 m34m 12 （4 分）试写出一个以 为解的二元一次方程组 13 （4 分）如图，若A15，ABBCCDDE EF，则DEF 等于 14 （4 分）任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 2 次，骰子的 6 个面上分别刻有 1 到 6 的点数，记第一次掷得面朝上的点数为横坐标，第二次掷得面朝上的点数为纵坐标

5、，这样组成的点的坐标恰好在正比例函数 yx 上的概率为 15 （4 分）如图，O 的直径为 cm，弦 AB弦 CD 于点 E，连接 AD，BC，若AD4cm，则 BC 的长为 cm16 （4 分）在ABC 中，AB ，BC 6，B45，D 为 BC 边上一点将ABC 沿着过 D 点的直线折叠，使得点 C 落在 AB 边上，记 CDm，则 AC ，m 的取值范围是 三、解答题（共 8 大题，66 分）17 （6 分）计算题： 3+（3.14） 0（5 3）+2sin30 18 （6 分）解不等式： 并在数轴上表示出它的解集19 （6 分）如图，已知在平面直角坐标系内，点 A（1，4） ，点 B（

6、3，3） ，点C（5，1）（1）画出ABC；（2）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（3）求四边形 ABB1A1 的面积20 （8 分）近几年，老百姓购物的支付方式日益增多，某校数学兴趣小组就此进行了抽样调查调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图（3）求在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角度数（4）若该超市一周内有 3200 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买

7、者共有多少名？21 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，取 CD 中点 O，以 O 为圆心 OD 为半径作圆交 AD 于E 交 BC 的延长线交于点 F， AB4，BE5，连结 OB（1）求 DE 的长；（2）求 tanOBC 的值22 （10 分）如图是集体跳绳的示意图，绳子在最高处和最低处时可以近似看作两条对称的抛物线，分别记为 C1 和 C2，绳子在最低点处时触地部分线段 CD2 米，两位甩绳同学的距离 AB 8 米，甩绳的手最低点离地面高度 AEBN 米，最高点离地AF BM 米，以地面 AB、抛物线对称轴 GH 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线 C1 和

8、 C2 的解析式；（2）若小明离甩绳同学点 A 距离 1 米起跳，至少要跳多少米以上才能使脚不被绳子绊住？（3）若集体跳绳每相邻两人（看成两个点）之间最小距离为 0.8 米，腾空后的人的最高点头顶与最低点脚底之距为 1.5 米，请通过计算说明，同时进行跳绳的人数最多可以容纳几人？（温馨提醒：所有同学起跳处均在直线 CD 上，不考虑错时跳起问题，即身体部分均在 C1 和 C2 之间才算通过） ， （参考数据： 1.414 ， 1.732）23 （10 分）定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高” ，如图，ABC 是 B

9、C 边上的“半高”三角形点 P 在边 AB 上，PQBC 交 AC 于点 Q，PMBC 于点M，QNBC 于点 N，连接 MQ（1）请证明APQ 为 PQ 边上的“半高”三角形（2）请探究 BM，PM ，CN 之间的等量关系，并说明理由；（3）若ABC 的面积等于 16，求 MQ 的最小值24 （12 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点 A（0，2） ，B（1，0） ，点 C 为线段 AB 的中点将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，连结CD，AD点 P 是直线 BD 上的一个动点（1）求点 D 的坐标和直线 BD 的解析式；（2）当PCDADC 时，求点

10、P 的坐标；（3）若点 Q 是经过点 B，点 D 的抛物线 yax 2+bx+2 上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点 Q，使得以点 P、点 Q、点 D 为顶点的三角形与ACD 相似若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年浙江省金华市婺城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列四个数中，最大的数是（ ）A B3 C D3.14【分析】根据 0 大于一切负数；正数大于 0 解答即可【解答】解：33.14 ，最大的数是 ，故选：C【点评】考查实数的大小比较；用到的知识点为：0 大于一切负数；正数大于 0；注意应熟记常

11、见无理数的约值2 （3 分）2019 年 3 月初，全国“两会”在北京人民大会堂隆重召开，李克强总理在政府工作报告中指出，过去的一年，我国为企业和个人减税降费约 1300000000000 元，数 1300000000000 用科学记数法表示为（ ）A1310 8 B0.1310 13 C1.310 12 D1.310 13【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数 1 3000 00

12、00 0000 用科学记数法表示为 1.31012故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列计算正确的是（ ）A （a 3） 2a 5 B3a 2b+3ba20Ca 2a3a 6 D （3a 2b） 3a 6b3【分析】运用整式的运算，进行计算后即可选出正确答案【解答】解：A （a 3） 2a 6，故 A 错；Ca 2a3a 5，故 C 错；D （3a 2b） 327a 6b3，故 D 错故选：B【点评】本题考查幂的乘方、整式的加减、同地数幂的乘法、积的

13、乘方，熟练的掌握整式的各项运算是解题的关键4 （3 分）以下是我市著名企事业（新飞电器、心连心化肥、新乡银行、格美特科技）的徽标或者商标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图

14、重合5 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A BC D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【解答】解：从上面看易得上面第一层中间有 1 个正方形，第二层有 3 个正方形下面一层左边有 1 个正方形，故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx30（a0 ）的解是 x1，则5+2a2b的值是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】先把 x1 代入方程 ax2+bx30 得 ab3 ，再把5+2a2b 变形为5+2（ab） ，然后利用

15、整体代入的方法计算【解答】解：把 x1 代入方程 ax2+bx30 得 ab 30，则 ab3，所以5+2a2b5+2 （ab）5+2 31故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解7 （3 分）已知点（1，y 1） ， （2，y 2） （3，y 3）均在反比例函数 的图象上，则y1，y 2，y 3，的大小关系是（ ）Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 1y 3y 2【分析】直接把点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）代入函数 ，求出 y1，y 2，y 3 的值，并比较出其大小即可

16、【解答】解：点（1，y 1） ， （2，y 2） （3，y 3）均在反比例函数 的图象上，y 1 12，y 2 6，y 3 4，y 3y 2y 1故选：A【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键8 （3 分）若 ，那么 yx 的值是（ ）A1 B C1 D8【分析】直接利用偶次方以及二次根式的性质得出 x，y 的值，进而化简得出答案【解答】解： ，x+30，y 20，解得：x3，y 2，y x2 3 故选：B【点评】此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确得出 x，y 的值是解题关键9 （3 分）当 xa 和

17、xb（ab）时，二次函数 y2x 22x +3 的函数值相等、当 xa+b时，函数 y2 x22x+3 的值是（ ）A0 B2 C1 D3【分析】先找出二次函数 y2x 22x +3 的对称轴为直线 x ，求得 a+b1，再把x1 代入 y2x 22x+3 即可【解答】解：当 xa 或 xb（ab）时，二次函数 y 2x22x +3 的函数值相等，以 a、b 为横坐标的点关于直线 x 对称，则 ，a+b1，xa+b，x1，当 x1 时，y2x 22x+322+33，故选：D【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出 a+b2 是

18、解题的关键10 （3 分）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多 5km设小明出发 xh 后，到达离甲地 ykm 的地方，图中的折线 OABCDE 表示 y 与 x 之间的函数关系小明骑车在平路上的速度为 15km/h小明途中休息了 0.1h；小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地 5.5km 的地方的时间间隔为 0.15h则以上说法中正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分

19、析】 由函数图象可知平路路段的路程为 4.5 千米，行驶的时间为 0.3 小时，从而可求得行驶的速度；由速度路程时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；两次的时间间隔就是：去乙地时距离甲地 5.5 千米剩下的路程的时间加上返回时到达距离甲地 5.5km 时用的时间，根据路程和速度算出时间即可【解答】解：小明骑车在平路上的速度为：4.50.315（km /h） ，故正确；小明骑车在上坡路的速度为：15510（km /h） ，小明骑车在下坡路的速度为：15+520（km/h） 小明在 AB 段上坡的时间为：（6.54.5）100.2（h） ，BC 段下坡的时

20、间为：（6.5 4.5）200.1（h） ，DE 段平路的时间和 OA 段平路的时间相等为 0.3h，小明途中休息的时间为：10.30.20.10.30.1（h） ，故正确；小明第一次经过距离甲地 5.5km 的地方时是上坡，其距离乙地还需骑车：（6.55.5）100.1h，小明第二次经过距离甲地 5.5km 的地方时是下坡：（6.5 5.5）200.05h，则两次的时间间隔是：0.1+0.050.15h，故 正确；综上所述：都正确；故选：D【点评】本题考查了一次函数图象的实际应用，解题的关键是能够根据函数图象还原出实际的行程问题二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）因式分

21、解 m34m m（m+2） （m2） 【分析】原式提取 m，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式m（m 24）m（m+2） （m2） ，故答案为：m（m+2） （m2 ）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12 （4 分）试写出一个以 为解的二元一次方程组 【分析】本题是一个开放性的题目，答案不唯一，只有举出一个方程组，把x3，y1 代入方程组，每个方程的左右两边分别相等即可【解答】解：当 x3，y 1 时，x +y2，xy4，符合条件的一个方程组是 ，故答案为： 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，本题具有一定的代表性，是一道开放性的题目

22、，答案不唯一，再如： 等13 （4 分）如图，若A15，ABBCCDDE EF，则DEF 等于 60 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算【解答】解：ABBCCD DE EF，A15，BCAA15，CBDBDCBCA+A15+1530，BCD180（CBD+BDC）18060120，ECDCED180BCDBCA1801201545，CDE180（ECD+CED）1809090，EDFEFD180CDEBDC180903060，DEF180（EDF+EFD ）180120 60故答案为：60【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关

23、系（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是 180 度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180这一隐含的条件14 （4 分）任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 2 次，骰子的 6 个面上分别刻有 1 到 6 的点数，记第一次掷得面朝上的点数为横坐标，第二次掷得面朝上的点数为纵坐标，这样组成的点的坐标恰好在正比例函数 yx 上的概率为 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点（x，y）恰好在直线 yx 上的情况，再利用概率公式求得答案【解答】解：列表得：1 2 3 4 5 61 （1，1）（2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6

24、，1）2 （1，2）（2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）3 （1，3）（2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）4 （1，4）（2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）5 （1，5）（2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）6 （1，6 （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）共有 36 种等可能的结果，点（x，y）恰好在直线 yx 上的有 6 种等可能结果，这样组成的点的坐标恰好在正比例函数 yx 上的概率为 ，故答案为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的

25、列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比15 （4 分）如图，O 的直径为 cm，弦 AB弦 CD 于点 E，连接 AD，BC，若AD4cm，则 BC 的长为 2 cm【分析】如图，作直径 DH，连接 AH，CH，AC 证明 BCAH ，利用勾股定理求出AH 即可【解答】解：如图，作直径 DH，连接 AH，CH，AC DH 是直径，DCHDAH90，ABCD，AEDDCH90，CHAB ，CABACH， ，AHBC，在 Rt ADH 中，AH 2（cm ） ，BCAH2（cm） 故答案为 2【点评】本题考查勾股定理，

26、圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想解决问题，属于中考常考题型16 （4 分）在ABC 中，AB ，BC 6，B45，D 为 BC 边上一点将ABC 沿着过 D 点的直线折叠，使得点 C 落在 AB 边上，记 CDm，则 AC 2 ，m 的取值范围是 6 6m5 【分析】过 A 点作 ANBC 于点 N，由等腰直角三角形的性质得出 ANBN4，求出CNBCBN2，在 RtANC 中，由勾股定理即可得出 AC 的长；当 DEAB 时，DE 最小，即 CD 最小，根据已知条件得到DEB 是等腰直角三角形，设 CDDEx，则 DEEBx，DEB90，DB x，

27、解直角三角形得到结论，如图 2 中，当 E 与 A 重合时，DE 最大，即 CD 最大，作 AHCB 于 H，设CDDEx，在 RtAHB 中，易知 AHHB4，AHB90，HD x 2，DEx，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：过 A 点作 ANBC 于点 N，如图 1 所示：B45，ANB90，ANBN AB 4 4，CNBCBN2，在 Rt ANC 中，由勾股定理得：AC 2 ；如图 2 所示， CDDE，当 DEAB 时，DE 最小，即 CD 最小，B45，DEB 是等腰直角三角形，设 CDDEx，则 DEEBx，DEB90，DB x，BC6，x+ x6，x6 6，如图 3 所示，当

28、 E 与 A 重合时，作 AHCB 于 H，设 CDDEx，在 Rt AHB 中，AHHB 4，AHB90，HDx2，DEx ，x 24 2+（x 2） 2，x5，综上可知，CD 的最大值为 5，最小值为 6 6，CD 的取值范围是 6 6CD5，故答案为：2 ，6 6m 5【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；正确的作出图形是解题的关键三、解答题（共 8 大题，66 分）17 （6 分）计算题： 3+（3.14） 0（5 3）+2sin30 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答

29、案【解答】解：原式5 3+15 +3+12【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （6 分）解不等式： 并在数轴上表示出它的解集【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：由得 x2，由得 x3，不等式组的解集是 2x3，在数轴上表示为：【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集的方法是：，向右画；，向左画，注意在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示19 （6 分）如图，已知在平面直角坐标系内，点 A（1，4） ，点 B（3，3） ，点C（5，1

30、）（1）画出ABC；（2）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（3）求四边形 ABB1A1 的面积【分析】 （1）根据 A，B，C 三点坐标画出三角形即可（2）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B 1，C 1 即可（3）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可【解答】解：（1）ABC 如图所示（2）A 1B1C1 如图所示（3） （2+6）728【点评】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20 （8 分）近几年，老百姓购物的支付方式日益增多，某校数学兴趣小组就此进行了抽样调查调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小

31、组对某超市天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图（3）求在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角度数（4）若该超市一周内有 3200 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？【分析】 （1）根据 B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，（3）求得在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以计算出使用 A 和 B

32、 两种支付方式的购买者共有多少名【解答】解：（1）5628%200，即本次一共调查了 200 名购买者；（2）D 方式支付的有：200 20%40（人） ，A 方式支付的有：20056444060（人） ，补全的条形统计图如右图所示，（3）在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360 108，故答案为：108；（4）3200 1856（名） ，答：使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 1856 名【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，取 CD 中点 O，以 O 为圆心

33、OD 为半径作圆交 AD 于E 交 BC 的延长线交于点 F， AB4，BE5，连结 OB（1）求 DE 的长；（2）求 tanOBC 的值【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ABBCCD4，ADBC，根据圆周角定理得到DEC90，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接 DF，过 O 作 OHCF 于 H，推出四边形 ECFD 是矩形，得到DFCE3，CFDE ，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABBCCD4，ADBC，CD 是O 的直径，DEC90，BCEDEC90，CE 3，DE ；（2）连接 DF，过 O 作 OHCF 于 H，CD 是O 的直径，

34、DFC90，四边形 ECFD 是矩形，DFCE3，CFDE ，CH ，OH DF ，BHBC+ CH ，tanOBC 【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键22 （10 分）如图是集体跳绳的示意图，绳子在最高处和最低处时可以近似看作两条对称的抛物线，分别记为 C1 和 C2，绳子在最低点处时触地部分线段 CD2 米，两位甩绳同学的距离 AB 8 米，甩绳的手最低点离地面高度 AEBN 米，最高点离地AF BM 米，以地面 AB、抛物线对称轴 GH 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线 C1 和 C2 的解析式；（2）若小明离

35、甩绳同学点 A 距离 1 米起跳，至少要跳多少米以上才能使脚不被绳子绊住？（3）若集体跳绳每相邻两人（看成两个点）之间最小距离为 0.8 米，腾空后的人的最高点头顶与最低点脚底之距为 1.5 米，请通过计算说明，同时进行跳绳的人数最多可以容纳几人？（温馨提醒：所有同学起跳处均在直线 CD 上，不考虑错时跳起问题，即身体部分均在 C1 和 C2 之间才算通过） ， （参考数据： 1.414 ， 1.732）【分析】 （1）先写出点 C、D、E、F 的坐标，然后设解析式代入求解即可；（2）小明离甩绳同学点 A 距离 1 米起跳，可得此点的横坐标，代入 C2 解析式，即可求得；（3）用 y1 减去

36、y2，让其等于 1.5，解出相应点的横坐标，求出这两个点的横坐标之间的距离，然后用间隔 0.8 乘以人数减 1，即可解出【解答】解：（1）由已知得：C（1，0） ，D（1，0） ，E（4， ） ，F（4， ） ，设 C2 解析式为：y 2a（x +1） （x1） ，把 代入得15a ， ， 由对称性，设 C1 解析式 y1 ，把 F（4， ）代入得cy 1 x2+故答案为：抛物线 C1 和 C2 的解析式分别为：y 1 x2+ ， （2）把 x3 代入 得 y2 ，至少要 跳米以上才能使脚不被绳子绊住（3）由 y1y 21.5 得： x2+ + 1.5， ， ，x 1x 2 41.4145.6

37、56，设同时进行跳绳的人数最多可以容纳 x 人则 0.8（x1）5.656，x8.07同时进行跳绳的人数最多可以容纳 8 人【点评】本题是二次函数的实际应用题，需要分析题意，构建函数模型，从而求解，难点在于如何分析题意列式23 （10 分）定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高” ，如图，ABC 是 BC 边上的“半高”三角形点 P 在边 AB 上，PQBC 交 AC 于点 Q，PMBC 于点M，QNBC 于点 N，连接 MQ（1）请证明APQ 为 PQ 边上的“半高”三角形（2）请探究 BM，PM ，CN 之间的等

38、量关系，并说明理由；（3）若ABC 的面积等于 16，求 MQ 的最小值【分析】 （1）根据平行相似，证明APQABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比： ，由“半高”三角形的定义可结论；（2）证明四边形 PMNQ 是矩形，得 PQMN，PMKR，代入 AR BC，可得结论；（3）先根据ABC 的面积等于 16，计算 BC 和 AR 的长，设 MNx，则BM+CN8x，PMQN （8x） ，根据勾股定理表示 MQ，配方可得最小值【解答】 （1）证明：如图，过 A 作 ARBC 于 R，交 PQ 于 K，ABC 是 BC 边上的“半高”三角形，AR BC，PQBC，APQABC， ， ，A

39、K PQ，APQ 为 PQ 边上的“半高”三角形（2）解：2PMBM +CN，理由是：PMBC，QNBC，PMNMNQMPQ90，四边形 PMNQ 是矩形，PQMN，PMKR，AK PQ，AR BC，AK+RK （BM+MN+ CN） ，PQ+PM BM+ MN+ CN，2PMBM+CN；（3）解：ABC 的面积等于 16， 16，AR BC，16，BC8，AR4 ，设 MNx，则 BM+CN8x，PMQN （8x） ，MQ ，当 x 时，MQ 有最小值是 【点评】本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识

40、，解决问题的关键是作辅助线解决问题24 （12 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点 A（0，2） ，B（1，0） ，点 C 为线段 AB 的中点将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，连结CD，AD点 P 是直线 BD 上的一个动点（1）求点 D 的坐标和直线 BD 的解析式；（2）当PCDADC 时，求点 P 的坐标；（3）若点 Q 是经过点 B，点 D 的抛物线 yax 2+bx+2 上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点 Q，使得以点 P、点 Q、点 D 为顶点的三角形与ACD 相似若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）作

41、DEx 轴，构造全等三角形求点 D 的坐标，待定系数法求 BD 的解析式；（2）要特别注意PCDADC 有两种情况：PCD 在直线 CD 的下方或上方，防止漏解；（3）根据PDQ 分别与ACD ，ADC，CAD 相等进行讨论，每种情形都还要再分两种情况进行分析，还要注意点在点 D 的左侧和右侧两种不同情况，以防漏解【解答】解：（1）如图 1，过 D 作 DEx 轴于 E，由旋转得：BABD，ABD90，DEx 轴，BEDAOB90BAO+ABO 90，DBE +ABO 90，BAODBEBAODBE（AAS ）BEOA 2，DEOB1，OEOB +BE1+23D（3，1） ；设直线 BD 的解

42、析式为 ymx+ n，将 B（1，0） ，D（3，1）分别代入得 ，解得，直线 BD 的解析式为 y x （2）如图 2，PCDADCCPADBCCABPPDP（2， ） ，作点 P 关于直线 CD 的对称点 P（2， ） ，连接 CP，则PCDPCDADC设直线 CP的解析式为 ym 1x+n1，将 C（ ，1） ，P（2， ）代入得，解得 ，直线 CP的解析式为 y ，联立方程组 ，解得 ，P（8， ） ，综上所述：点 P 的坐标为（2， ）或（8， ） （3）将 B（1，0） ，D（3，1 ）分别代入 yax 2+bx+2 得 ，解得 ，抛物线解析式为 y ，PDQ 与ACD 相似分三种

43、情况：如图 3，PDQDAC45，延长 AB 至 M，使 BMBD，连接 DM 交抛物线于Q，作 BNy 轴， MNx 轴交 BN 于 N，BMBD ，MBNBAO，BNM90 tanMBNtanBAO ，MN1，BN2，M（2，2） ；设直线 DM 解析式为 ym 2x+n2，将 D（3，1） 、M（2，2）代入，得 ，解得直线 DM 解析式为 y x联立方程组 ，解得 （舍去） ，Q（ ， ） ；若DPQ ACD ，则可证得 PQy 轴，P 1（ ， ） ，若DPQ ADC ，可求得P2（ ， ） ，PDQ ADC 时，如图 4，点 Q 位于直线 BD 下方时，PDQ +CDBADC+CD

44、B，即CDQ ADB45，CDx 轴，直线 DQ 与 x 轴夹角为 45，设 DQ 解析式为 yx+k，将 D（3，1）代入得 3+k1，k 2yx2联立方程组 ，解得 （舍去） ， ， ，易求直线 AD 解析式为 y x+2，直线 PQ 解析式为 y x+联立方程组 ，解得 ，P 3（ ， ） ，若DPQ ACD ，则 PQ y 轴， ；如图 5，点 Q 位于直线 BD 上方时，在 y 轴上取点 E（0， ） ，延长 DC 交 y 轴于点 M，连接 DE 交抛物线于 Q，过点 E 作EHAD 于 H，作DQP 145 或DQP ACD，点 P，P 1 在直线 BD 上，在 Rt AEH 中，

45、tan ADM 中， tanDAM 3，AM1，DM3，AM ；在 Rt AEH 中，tan EAD 3，AEAOOE 2 ，设 AHx，则 EH3x ，由勾股定理得 ，解得 x ，EH ，DHtanEDA tan BACEDABACBDQ ADC易求得直线 DE 解析式为 y x+ ，可联立方程组解得 Q（ ， ）若DQP DAC 45，易求得 DQ ，由ADCQDP 得 ，DPDA DCDQ，即 ，DPP 5（ ， ） 若DPQ DAC 45，由DPQ DAC 得DPDCDADQ，即 DP DPP 6（ ， ）如图 6，PDQACD，当点 P 在射线 DB 上时，ACDCDB+CBDCDB+90DQCD 时，BDQACD，显然，此时点 Q 不存在当点 P 在 DB 反向延长线上时，易求得直线 DQ 解析式为 y