2019年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）含解析

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1、2019 年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集为 R，若集合 Ax|（x +2） （x 3）0 ，集合 Bx|x1，则（ RA）B（  ）A3，+ ） B （1，3 C （1，3） D （2，+）2 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+4y 的最小值是（  ）A6 B10 C5 D103 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是（  ）A9a10 B

2、9a10 C10a11 D8a94 （5 分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” ，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积横向等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等，q：A、B 在等高处的截面积不恒相等根据祖暅原理可知，p 是 q 的（  ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 a ，blog 2 ，c ，则（  ）Aabc Bacb Ccab Dc ba6 （5 分）设 f（x ）sin3x cos3x，把 yf （x）的图象向左平移 （0）个单位长度第 2 页（共 21 页）后，恰

3、好得到函数 g（x）sin3 x+cos3x 的图象，则 的值可以为（  ）A B C D7 （5 分）已知 F1，F 2 分别双曲线 3x2y 23a 2（a0）的左右焦点，是 P 抛物线y28ax 与双曲线的一个交点，若| PF1|+|PF2|12，则抛物线的准线方程为（  ）Ax4 Bx3 Cx2 Dx 18 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程|f（x）a|+|f（x）a1| 1有且仅有两个不同的整数解，则实数 a 的取值范围是（  ）A ， B ， C 1， D0 ，3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复

4、数 ，i 为虚数单位，则| z|2     10 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 nN*，a n203n，则 Sn 的最大值为     11 （5 分）球 O 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的表面积为 S1，球 O 的表面积为 S2，则     12 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y +1） 24 与直线 l： x+y20 交于 M、N 两点，则|MN|       13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABD

5、C，AC 与 BD 交于点 M，AB 2CD 4若 1，则 cosBMC     14 （5 分）已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数，若 f（2a 2）+f（a3）0，则实数 a 的取值范围为     三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分） ，已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数是 75（1）求 x，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽

6、到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；第 3 页（共 21 页）（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定） 16 （13 分）在ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边，若b3，c 4，C 2B，且 a b（1）求 cosB 及 a 的值；（2）求 的值17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB AD，ABCD，PCAB 2AD 2CD2，E 是 PB 的中点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）求二面角 PACE 的余弦值；（3）直线 PB 上是否存在一点 F，使得 PD平面 AC

7、F，若存在，求出 PF 的长，若不存在，请说明理由18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sna n（ ） n1 +2（nN *） ，数列 bn满足bn2 nan（）求证数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（）设 cnlog 2 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn （nN *）的n 的最大值19 （14 分）已知椭圆 的左顶点为 A，右焦点为 F（c，0） ，直线第 4 页（共 21 页）l： 与 x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点（1）求椭圆的离心率；（2）过点 T 的直线与椭圆相交于 M、N 两点，M 、N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N、T之间

8、，且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍记 NFM、 NFA 的面积分别为 S1、S 2，求 ；若原点 O 到直线 TN 的距离为 ，求椭圆方程20 （14 分）已知函数 f（x ）ax 2+（b+1）x+2（a0）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0函数（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）求 g（x）的单调区间；（3）令 a1，设函数 g（x）在 x1、x 2（x 1x 2）处取得极值，记点 A（x 1，g（x 1） ） ，B（x 2， g（x 2） ） ，证明：线段 AB 与曲线 g（x）存在异于 A，B 的公共点第 5 页（共 21 页）2019 年天津

9、市南开区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集为 R，若集合 Ax|（x +2） （x 3）0 ，集合 Bx|x1，则（ RA）B（  ）A3，+ ） B （1，3 C （1，3） D （2，+）【分析】求出集合的等价条件，结合补集并集定义进行计算即可【解答】解：Ax| （x +2） （x 3）0 x|x3 或 x2， RAx|2x3，则（ RA）Bx |x2（2，+） ，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集并集

10、的定义是解决本题的关键比较基础2 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+4y 的最小值是（  ）A6 B10 C5 D10【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（3，3） ，化目标函数 z2x+4y 为 y ，由图可知，当直线 y 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为6故选：A第 6 页（共 21 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3 （5 分）如图是一个算法流程图

11、，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是（  ）A9a10 B9a10 C10a11 D8a9【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：依次运行流程图，结果如下：n13，S0满足判断框内的条件 na，S13，n12满足判断框内的条件 na，S25，n11满足判断框内的条件 na，S36，n10满足判断框内的条件 na，S46，n9此时，不满足判断框内的条件 na，退出循环，所以 a 的取值范围是 9a10故选：B【点评】本题考查了程序框图的应

12、用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得第 7 页（共 21 页）出正确的结论，是基础题4 （5 分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” ，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积横向等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等，q：A、B 在等高处的截面积不恒相等根据祖暅原理可知，p 是 q 的（  ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用祖暅原理可得：A、B 在等高处的截面积恒相等” ，可得：A、B 的体积相等即可判断出 p 与 q 的关系【解答】解：设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积

13、不相等，q：A、B 在等高处的截面积不恒相等由“A、B 在等高处的截面积恒相等” ，由祖暅原理，可得：A、B 的体积相等因此可得：A、B 的体积不相等，必然：A、B 在等高处的截面积不恒相等即 pq，反之不成立p 是 q 的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5 （5 分）已知 a ，blog 2 ，c ，则（  ）Aabc Bacb Ccab Dc ba【分析】利用指数式的运算性质得到 0a1，由对数的运算性质得到 b0，c1，则答案可求【解答】解：0a 2 01，blog 2 log 210，c log 23l

14、og 221，cab故选：C【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，第 8 页（共 21 页）有时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题6 （5 分）设 f（x ）sin3x cos3x，把 yf （x）的图象向左平移 （0）个单位长度后，恰好得到函数 g（x ）sin3 x+cos3x 的图象，则 的值可以为（  ）A B C D【分析】三角函数图象的平移及诱导公式，两角和与差的正，余公式逐一检验即可得解【解答】解：将 yf（x）的图象向左平移 （ 0）个单位长度得：g（x）sin3 （ x+）cos3（ x+）sin （3

15、x+3）cos（3x+3） ，当 时，g（x ）sin3x+cos3x，不合题意，当 时，g（x ） cos3x，不合题意，当 时，g（x ）sin3 xcos3x，不合题意，当 时，g（x ）sin3x+cos3x ，满足题意，综合得：选项 D 满足题意，故选：D【点评】本题考查了三角函数图象的平移及诱导公式，属中档题7 （5 分）已知 F1，F 2 分别双曲线 3x2y 23a 2（a0）的左右焦点，是 P 抛物线y28ax 与双曲线的一个交点，若| PF1|+|PF2|12，则抛物线的准线方程为（  ）Ax4 Bx3 Cx2 Dx 1【分析】求出 P 点坐标，计算|PF 1|，

16、|PF 2|，列方程计算 a 的值即可得出答案【解答】解：双曲线的标准方程为 1，双曲线的右焦点 F2（2a，0）为抛物线 y28ax 的焦点，联立方程组 ，消元可得 3x28ax3a 20，解得 x3a 或 x （舍） 不妨设 P 在第一象限，则 P（3a，2 a） ，又 F1（2a，0） ，|PF 1| 7a，|PF 2|3a+2a5a，|PF 1|+|PF2|12a12，即 a1抛物线的准线方程为 x2故选：C第 9 页（共 21 页）【点评】本题考查了双曲线、抛物线的性质，属于中档题8 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程|f（x）a|+|f（x）a1| 1有且仅有两个不同的整数解

17、，则实数 a 的取值范围是（  ）A ， B ， C 1， D0 ，3【分析】结合绝对值的应用，方程当且仅当 f（x ）a0，且 f（x）a10 成立，即 af（x） a+1 的整数解只有两个，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可【解答】解：要使方程|f（x）a|+| f（x）a1| 1 则当且仅当 f（x）a0，且f（x）a1 0 时，方程等价为 f（x ）af（x）+a+11，即 f（x）a，且 f（x ）a+1，得 af （x）a+1，即 f（x）的图象夹在平行直线 ya 和 ya+1 之间的部分只有两个整数解作出函数 f（x）的图象如图：f（0）1，f（1）0，f（1） ，

18、f （2） ，要使 af（x ）a+1 的整数解只有两个，则其中一个整数解为 x0，另外一个整数解为1，即满足 ，得 ，即 a ，即实数 a 的取值范围是 ， ） ，故选：A第 10 页（共 21 页）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据绝对值的应用寻找，方程成立的条件，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复数 ，i 为虚数单位，则| z|2    【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解： ，|z| 2 故答案为： 【点评】本题考查复数代

19、数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题10 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 nN*，a n203n，则 Sn 的最大值为 57 【分析】令 an203n0，解得 n 6+ 可得 Sn 的最大值S 6【解答】解：令 an203n0，解得 n 6+ 则 Sn 的最大值为 S6 57故答案为：57【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）球 O 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCDA 1B1C1D1 的表第 11 页（共 21 页）面积为 S1，球 O 的表面

20、积为 S2，则    【分析】设棱长为 a，易得正方体表面积，结合正方体外接球直径为其体对角线长可得球的表面积，得解【解答】解：设正方体棱长为 a，则正方体表面积为：S 16a 2，球 O 的半径为： ，3a 2，即 ， 故答案为： 【点评】此题考查了正方体表面积和正方体外接球问题，难度不大12 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y +1） 24 与直线 l： x+y20 交于 M、N 两点，则|MN|  4 【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心 C 在直线 l 上，则|MN|2 r，即可得答案【解答】解：根据题意，圆 C：（x 3）

21、 2+（y +1） 24，圆心为（3，1） ，半径r2，直线 l 的方程为 x+y20，圆心 C 在直线 l 上，则| MN|2r 4；故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AC 与 BD 交于点 M，AB 2CD 4若 1，则 cosBMC    【分析】由题意画出图形，结合MCD MAB，可设 MDMCm，则第 12 页（共 21 页）ACBD3m，由 1，求得 cos ，在CMD 中，利用余弦定理求出 m2，进一步求得 cosCMD，则答案可求【解答】解：如图，

22、由题意可知，MCD MABAB2CD4，AM2MC，BM 2MD，设 MD MC m，则 ACBD3m，由 1，得 9m2cosCMD1，cos ，在CMD 中，有 22m 2+m22m 2cosCMD ，即 ，解得： cosCMD 则 cosBMC cos（ BMD）cosCMD 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求斜率的夹角，是中档题14 （5 分）已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数，若 f（2a 2）+f（a3）0，则实数 a 的取值范围为 （ ）   【分析】先对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而结合函数的奇偶性即可求解【解答】解：

23、 ，f（x）e x e x+2sinxf（x ） ，第 13 页（共 21 页）f（x） 2 0f（x）在 R 上单调递增且为奇函数由 f（2a 2）+f（a3）0，可得 f（2a 2）f （a3）f（3a） ，2a 2a+3，解可得， ，故答案为：（ ，1） 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的 单调性，进而求解不等式，解题的关键是灵活利用导数知识三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分） ，已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平

24、均数是 75（1）求 x，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定） 【分析】 （1）按大小数列排列得出 x 值，运用平均数公式求解 y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为 3412，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80，80；82，80；88，80；88，86；88，88种数为 3+1+15，运用古典概率求解（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大得出结论：甲队的方差小于乙队的

25、方差，所以甲队成绩较为稳定【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知高于 76 的有 77，80，82，88，低于 76 的有 71，71，第 14 页（共 21 页）65，64，所以 x6，因为乙代表队的平均数为 75，其中超过 75 的差值为5，11，13，14，和为 43，少于 75 的差值为 3，5，7，7，19，和为 41，所以 y3，（2）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88；乙队中成绩不低于 80 的有 80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为 3412，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；8

26、8，88种数为 3+1+15，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p ，（3）因为甲的平均数为： （64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）75，所以甲的方差 S2 甲 （64 75） 2+（6575） 2+2（7175） 2+2（7675）2+（7775） 2+（8075） 2+（8275） 2+（8875） 250.2，又乙的方差 S2 乙 （56 75） 2+2（6875） 2+（7075） 2+（7275）2+（7375） 2+（8075） 2+（8675） 2+（8875） 2+（8975） 2100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定

27、【点评】本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度16 （13 分）在ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边，若b3，c 4，C 2B，且 a b（1）求 cosB 及 a 的值；第 15 页（共 21 页）（2）求 的值【分析】 （1）由正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求 cosB 的值，由余弦定理可得 a的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用二倍角公式可求 sin2B，cos2 B的值，根据两角和的余弦函数公式可求 cos（2B+ ）的值【解答】 （本题满分为 13 分）解：（1）在ABC 中，由正弦定理

28、 ，可得： ，2 分C2B， ，解得：cosB ，4 分在ABC 中，由余弦定理 b2a 2+c22accos B，可得：a 2 a+70，解得 a3，或a ，ab，a 7 分（2）cosB ，可得 sinB ，sin2B2sinBcosB ，cos2 B2cos 2B1 ， 11 分cos（2B + ） cos2B sin2B 13 分【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯

29、形，AB AD，ABCD，PCAB 2AD 2CD2，E 是 PB 的中点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）求二面角 PACE 的余弦值；（3）直线 PB 上是否存在一点 F，使得 PD平面 ACF，若存在，求出 PF 的长，若不存在，请说明理由第 16 页（共 21 页）【分析】 （1）根据直角梯形可得 ACBC ，再根据 ACPC 即可得出 AC平面 PBC，于是平面 EAC平面 PBC；（2）PCE 为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算 cosPCE；（3）连接 BD 交 AC 于 O，过 O 作 OFPD ，可得 PD 平面 ACF，利用相似三角形即可得出 PF 的长【解答

30、】 （I）证明：四边形 ABCD 是直角梯形，AB2CD2AD 2，ACBC ，ACBC，PC平面 ABCD，AC平面 ABCD，PCAC，又 PCBCC，AC平面 PBC，又 AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC（II）由（I）可知 AC平面 PBC，ACPC，ACCE，PCE 为二面角 PACE 的平面角，PC2，BC ，CEPE PB ，cosPCE 二面角 PACE 的余弦值为 （III）连接 BD 交 AC 于 O，过 O 作 OFPD 交 PB 于 F，连接 AF，CF则 PD平面 ACFABCD， ，又 OFPD ， 2，PF PB 第 17 页（共 21 页）【点评】本题

31、考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，考查二面角的计算，属于中档题18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sna n（ ） n1 +2（nN *） ，数列 bn满足bn2 nan（）求证数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（）设 cnlog 2 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn （nN *）的n 的最大值【分析】 （）利用“当 n2 时，a nS nS n1 ”及其等差数列的通项公式即可得出（）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数 n 的最大值【解答】 （）证明：S na n（ ） n1 +2（n N+） ，当 n2 时，Sn1 a n1 （

32、 ） n2 +2（n N+） ，a nS nS n1 a n+an1 +（ ） n1 ，化为 2nan2 n1 an1 +1b n2 nanb nb n1 +1，即当 n2 时，b nb n1 1令 n1，可得 S1a 11+2a 1，即 a1 又 b12a 11，数列b n是首项和公差均为 1 的等差数列于是 bn1+（n1）1n2 nan，a n （）解：c nlog 2 n， ，T n（1 ）+ （ ）+ （ ）1+ ，第 18 页（共 21 页）由 Tn ，得 1+ ，即 + ，f（n） + 单调递减， f（4） ，f（5） ，n 的最大值为 4【点评】本题综合考查了“当 n2 时，a

33、 nS nS n1 ”及其等差数列的通项公式、 “裂项法”等基础知识与基本方法，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键19 （14 分）已知椭圆 的左顶点为 A，右焦点为 F（c，0） ，直线l： 与 x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点（1）求椭圆的离心率；（2）过点 T 的直线与椭圆相交于 M、N 两点，M 、N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N、T之间，且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍记 NFM、 NFA 的面积分别为 S1、S 2，求 ；若原点 O 到直线 TN 的距离为 ，求椭圆方程【分析】 （1）由题意列关于 a，c 的方程，求解即可得到

34、椭圆的离心率；（2） 过 M， N 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M1，N 1，由 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 的距离的 2 倍结合三角形底面积公式计算即可得到所求比值；设 F（c，0） ，则椭圆方程为 ，运用点差法求得直线 MN 的斜率和方程，运用点到直线的距离公式求解 c，计算即可得到所求椭圆方程【解答】解：（1）由 F 是 AT 的中点，可得a+ 2c，即（a2c） （a+c ）0，又 a、c 0，则 a2c，可得 e ；（2） 过 M， N 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M1，N 1，由 NN12MM 1，得 M 是 NT 的中点，可得 ，第 19 页（共 21 页）

35、又 F 是 AT 中点，即有 SANF S TNF ，故 ；设 F（c，0） ，则椭圆方程为 ，由知 M 是 N，T 的中点，不妨设 M（x 0，y 0） ，则 N（2x 04c，2y 0） ，又 M，N 都在椭圆上，即有 ，即 ，两式相减得： ，解得 ，可得 ，故直线 MN 的斜率为 k ，直线 MN 的方程为 y （x4c ） ，即 x+6y4 c0，原点 O 到直线 TN 的距离为 d ，依题意 ，解得 c ，故椭圆方程为 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属于难题第 20 页（共 21 页）20 （14 分）已知函数 f（x ）ax 2+（

36、b+1）x+2（a0）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0函数（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）求 g（x）的单调区间；（3）令 a1，设函数 g（x）在 x1、x 2（x 1x 2）处取得极值，记点 A（x 1，g（x 1） ） ，B（x 2， g（x 2） ） ，证明：线段 AB 与曲线 g（x）存在异于 A，B 的公共点【分析】 （1）求导后利用 f'（ 1）0，即可；（2）求导后分 a1，a1 和 a1 三种情况求出单调区间即可；（3）由 g（x）的极值得到 A，B 两点的坐标，进一步得到直线 AB 的方程，联立方程求解即可【解答】解：（1）由 f（x ）ax 2+

37、（b+1）x+2（a0） ，得f'（x）2ax+ b+1，f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线斜率为 0，f'（1）2a+ b+10，b2a1；（2）由（1）得 g（x） ，则g'（x） x2+2ax+（2a1）（x+1） （x +2a1） ，令 g'（x ）0，则 x1 或 x12a，当 a 1 时， 12a1，当 x（12a， 1）时，g'（x）0，此时 g（x）递减；当 x（， 12a）（1，+）时，g' （x ）0，此时 g（x）在（，12a）和（1，+）上递增；当 a 1 时， 12a1，此时 g'（x）0 恒成立，且仅有

38、x1 时 g'（x）0，g（x）在 R 上单调递增；当 a 1 时， 12a1，同理可得 g（x）的增区间为（，1）和（12a，+） ，单调减区间为（1，12a） ；综上，当 a1 时，f（x ）的单调减区间为（12a，1） ，单调增区间为（，12a）和（1，+） ；当 a1 时，f（x ）的单调增区间为 R；当 a1 时，f（x ）的单调减区间为（1，12a） ，单调增区间为（，1）和第 21 页（共 21 页）（12a，+） ；（3）当 a1 时，g（x） ，令 g'（x ）0，则 x1 或 x3，由（2）得 g（x）的单调增区间为（，1）和（3，+） ，单调减区间为（1，3） ，函数 g（x）在1 和 3 处取得极值，A（1， ） ，B（3，9） ，直线 AB 的方程为 y ，由 得 x33x 2x +30，令 F（x ）x 33x 2x+30，易得 F（0）30，F（2）30，而 F（x ）的图象在（ 0，2）内是一条连续不断的曲线，故 F（x ）在（ 0，2）内存在零点 x0，即线段 AB 与曲线 g（x ）有异于 A，B 的公共点【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查了分类讨论思想和计，属难题