2019年中考数学冲刺专题:新定义和阅读理解型问题(含解析)
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1、新定义和阅读理解型问题一、单选题1已知三角形的三边长分别为 a、b、c,求其面积问题,中外数学家曾经进行过深入研究,古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元 50年)给出求其面积的海伦公式 S=,其中 p= ;我国南宋时期数学家秦九韶(约 1202-1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S= ,若一个三角形的三边长分别为 2,3,4,则其面积是( )A B C D2在每个小正方形的边长为 1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳
2、马变换例如,在 44的正方形网格5图形中(如图 1) ,从点 A经过一次跳马变换可以到达点 B, C, D, E等处现有 2020的正方形网格图形(如图 2) ,则从该正方形的顶点 M经过跳马变换到达与其相对的顶点 N,最少需要跳马变换的次数是( )A13 B14 C15 D163已知点 A在函数 ( x0)的图象上,点 B在直线 y2=kx+1+k( k为常数,且1yk0)上若 A, B两点关于原点对称,则称点 A, B为函数 y1, y2图象上的一对“友好点”
3、请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A有 1对或 2对 B只有 1对 C只有 2对 D有2对或 3对4对于实数 a, b,定义符号 mina, b,其意义为:当 a b时,min a, b=b;当 a b时,min a, b=a例如:min=2,1=1,若关于 x的函数 y=min2x1, x+3,则该函数的最大值为( )A B1 C &nbs
4、p; D2343535根据如图所示的程序计算函数 y的值,若输入的 x值是 4或 7时,输出的 y值相等,则b等于( )A9 B7 C9 D76已知: 表示不超过 的最大整数,例: ,令关于 的函数( 是正整数),例: =1,则下列结论错误的是( )A BC D 或 17设 a, b是实数,定义的一种运算如下: ,则下列结论:22abab若 ,则 a=0或 b=0;0 ;cc不存在实数 a, b,满足 ;25a
5、b设 a, b是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当 a=b时, 最大其中正确的是( )A B C D8在ABC 中,若 O为 BC边的中点,则必有:AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG中,已知 DE=4,EF=3,点 P在以 DE为直径的半圆上运动,则 PF2+PG2的最小值为( )A B C34 D109我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为
6、勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若 a=3,b=4,则该矩形的面积为( )A20 B24 C D10阅读理解: , , , 是实数,我们把符号 称为 阶行列式,并且规定:,例如: .二元一次方程组 的解可以利用 阶行列式表示为: ;其中 , .问题:对于用上面的方法解二元一次方程组 时,下面说法错误的是( )A B C &n
7、bsp; D方程组的解为11已知二次函数 y=x 2+x+6及一次函数 y=x+m,将该二次函数在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示) ,请你在图中画出这个新图象,当直线 y=x+m 与新图象有 4个交点时,m 的取值范围是( )A m3 B m2 C2m3 D6m212如图,一段抛物线 y=x 2+4(2x2)为 C1,与 x轴交于 A0,A 1两点,顶点为D1;将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2,顶点为 D2;C 1与 C2组成一个新的图象,垂
8、直于 y轴的直线 l与新图象交于点 P1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2) ,与线段 D1D2交于点 P3(x 3,y 3) ,设x1,x 2,x 3均为正数,t=x 1+x2+x3,则 t的取值范围是( )A6t8 B6t8 C10t12 D10t1213如图,抛物线 与 x轴交于点 A、B,把抛物线在 x轴及其下方的部分记作 ,将 向左平移得到 , 与 x轴交于点 B、D,若直线 与 、 共有 3个不同的交点,则 m的取值范围是 A B  
9、; C D14定义一种对正整数 n的“F”运算:当 n为奇数时,F(n)=3n+1;当 n为偶数时,F(n)= (其中 k是使 F(n)为奇数的正整数),两种运算交替重复进行,例如,取 n=24,则:若 n=13,则第 2018次“F”运算的结果是( )A1 B4 C2018 D4 201815在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时,小林发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6倍,于是她设:S=1+6+62+63+64+65+
10、66+67+68+69然后在式的两边都乘以 6,得:6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610得 6SS=6 101,即 5S=6101,所以 S= ,得出答案后,爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字母“a” (a0 且 a1) ,能否求出 1+a+a2+a3+a4+a2014的值?你的答案是( )A B C Da 20141二、填空题16对于实数 a,b,定义运算“”:ab= ,例如 43,因为43所以 43= =5若 x,y 满足方程组 ,则 xy=_.17观察下列运算过程
11、:S=1+3+3 2+33+32017+32018 ,3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ,得 2S=320191,S= 运用上面计算方法计算:1+5+5 2+53+52018=_18对于任意实数 a、b,定义:ab=a 2+ab+b2若方程(x2)5=0 的两根记为 m、n,则 m2+n2= 19规定: ,如: ,若 ,则 _.20对于实数 a,b,定义运算“”如下:ab=a 2ab,例如,53=5 253=10若(x+1)(x2)=6,则 x的值为_21我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中,给出了著名的秦
12、九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,则该三角形的面积为 S= 现已知ABC 的三边长分别为 1,2, ,则ABC 的面积为_22对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图 1) ,那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高如图 2,菱形 ABCD的边长为 1,边 AB水平放置如果该菱形的高是宽的 ,那么它的宽的值是_23对于任意实数 a、b,定义一种运算:ab=aba+b2例如,25=252+52=ll请根据上述的定义解决问题:若不等式 3x2,则不等式的
13、正整数解是_24如图,把平面内一条数轴 x绕原点 O逆时针旋转角 (090)得到另一条数轴 y,x 轴和 y轴构成一个平面斜坐标系规定:过点 P作 y轴的平行线,交 x轴于点A,过点 P作 x轴的平行线,交 y轴于点 B,若点 A在 x轴上对应的实数为 a,点 B在 y轴上对应的实数为 b,则称有序实数对(a,b)为点 P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知 =60,点 M的斜坐标为(3,2) ,点 N与点 M关于 y轴对称,则点 N的斜坐标为_25如图 1,作BPC 平分线的反向延长线 PA,现要分别以APB,APC,BPC 为内角作正多边形,且边长均为 1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后
14、成为一个图案例如,若以BPC 为内角,可作出一个边长为 1的正方形,此时BPC=90,而 =45是 360(多边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为 1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图 2所示图 2中的图案外轮廓周长是_;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是_26若 为实数,则 表示不大于 的最大整数,例如 , , 等. 是大于 的最小整数,对任意的实数 都满足不等式 . ,利用这个不等式,求出满足 的所有解,其所有解为_27 九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直
15、角三角形,勾(短直角边)长为 5步,股(长直角边)长为 12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是_步28在每个小正方形的边长为 1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H 都是格点,且四边形 EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图例如,在如图 1所示的格点弦图中,正方形 ABCD的边长为 ,此时正方形 EFGH的而积为 5问:当格点弦图中的正方形 ABCD的边长为 时,正方形 EFGH的面积的所有可能值是_(不包括 5) 29刘徽是中国古代卓越的数学家之一,
16、他在九章算术中提出了“割圆术” ,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆 O的半径为 1,若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆 O的面积,则 S=_ (结果保留根号)30定义新运算:ab=a 2+b,例如 32=3 2+2=11,已知 4x=20,则 x=_31设双曲线 与直线 交于 , 两点(点 在第三象限) ,将双曲线在第一象限的一支沿射线 的方向平移,使其经过点 ,将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移,使其经过点 ,平移后的两条曲线相交于点 , 两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸” , 为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径
17、为 6时, 的值为_.32如图,若ABC 内一点 P满足PAC=PCB=PBA,则称点 P为ABC 的布罗卡尔点,三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC 中,CA=CB,ACB=120,P 为ABC 的布罗卡尔点,若 PA=,则 PB+PC=_三、解答题33综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展
18、空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图 1,将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折,使点 B落在矩形 ABCD所在平面内,BC 和AD相交于点 E,连接 BD解决问题(1)在图 1中,BD 和 AC的位置关系为 ;将AEC 剪下后展开,得到的图形是 ;(2)若图 1中的矩形变为平行四边形时(ABBC),如图 2所示,结论和结论是否成立,若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)小红沿对角线折叠一张矩形
19、纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ;拓展应用(4)在图 2中,若B=30,AB=4 ,当ABD 恰好为直角三角形时,BC 的长度为 34如图,在 RtABC 中,以下是小亮探究 与 之间关系的方法:sinA= ,sinB= ,c= ,c= , = ,根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中,探究 、 、 之间的关系,并写出探究过程35如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD的对称中心为坐标原点 O,ADy 轴于点E(点 A在点 D的左侧) ,经过 E、D 两点的函数 y= x2+mx+1(x0
20、)的图象记为 G1,函数 y= x2mx1(x0)的图象记为 G2,其中 m是常数,图象 G1、G 2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD的周长为 L(1)当点 A的横坐标为1 时,求 m的值;(2)求 L与 m之间的函数关系式;(3)当 G2与矩形 ABCD恰好有两个公共点时,求 L的值;(4)设 G在4x2 上最高点的纵坐标为 y0,当 y 09 时,直接写出 L的取值范围36我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形” (1)在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ;在凸四边形 ABCD中,AB=AD 且 CBCD,则该四边形
21、 “十字形” (填“是”或“不是” )(2)如图 1,A,B,C,D 是半径为 1的O 上按逆时针方向排列的四个动点,AC 与 BD交于点 E,ADBCDB=ABDCBD,当 6AC 2+BD27 时,求 OE的取值范围;(3)如图 2,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a0,c0)与 x轴交于 A,C 两点(点 A在点 C的左侧) ,B 是抛物线与 y轴的交点,点D的坐标为(0,ac) ,记“十字形”ABCD 的面积为 S,记AOB,COD,AOD,BOC的面积分别为 S1,S 2,S 3,S 4求同时满足下列三个条件的
22、抛物线的解析式; = ; = ;“十字形”ABCD 的周长为 12 37若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形已知 是比例三角形, , ,请直接写出所有满足条件的 AC的长;如图 1,在四边形 ABCD中, ,对角线 BD平分 , 求证:是比例三角形如图 2,在 的条件下,当 时,求 的值38定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等) ,我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解:(1)如图 1,已知 RtABC 在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使
23、四边形 ABCD是以 AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出 3个即可) ;(2)如图 2,在四边形 ABCD中,ABC=80,ADC=140,对角线 BD平分ABC求证:BD 是四边形 ABCD的“相似对角线” ;(3)如图 3,已知 FH是四边形 EFCH的“相似对角线” ,EFH=HFG=30,连接 EG,若EFG 的面积为 2 ,求 FH的长39对于三个数 a, b, c,用 Ma, b, c表示这三个数的中位数,用 maxa, b, c表示这三个数中最大数,例如: M2,1,0=1, max2,1,0=0, max2,1, a=解决问题:(1)填空: Msin45,cos6
24、0,tan60=_,如果 max3,53 x,2 x6=3,则 x的取值范围为_;(2)如果 2M2, x+2, x+4=max2, x+2, x+4,求 x的值;(3)如果 M9, x2,3 x2= max9, x2,3 x2,求 x的值40阅读短文,解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图 1,菱形 AEFD为ABC 的“亲密菱形”.如图 2,在ABC 中,以点 A为圆心,以任意长为半径作弧,交 AB、AC 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,以大于 MN的长
25、为半径作弧,两弧交于点 P,作射线 AP,交 BC于点 F,过点 F作 FD/AC,FE/AB.(1)求证:四边形 AEFD是ABC 的“亲密菱形” ;(2)当 AB=6,AC=12,BAC=45时,求菱形 AEFD的面积.41小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:求解体验(1)已知抛物线 经过点(-1,0),则 = ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线的表达式是 &n
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