2019年中考数学冲刺专题：规律探索型问题（含解析）

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1、操作型问题一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1如图，直线 m，n 相交于 O，所夹的锐角是 53，点 P，Q 分别是直线 m，n 上的点，将直线 m，n 按照下面的程序操作，能使两直线平行的是A将直线 m 以点 O 为中心，顺时针旋转 53B将直线 n 以点 Q 为中心，顺时针旋转 53C将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 53D将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 1272如图，在平面直角坐标系中，对ABC 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点 A 坐标是（a，b），则经过第 2012 次

2、变换后所得的 A 点坐标是A（a，b） B（a，-b）C（-a，b） D（-a，-b）3把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再按如图挖去一个三角形小孔，则展开后图形是A    B    C    D4如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将AOB 绕点 B 逆时 针 旋 转 90后 得 到 AOB 若 反 比 例 函 数 的 图 象 恰 好 经 过kx斜 边 AB 的 中 点 C， ， ，则 k 的值为 4ABOS tan2A3 B4 C6 D85以平行四边形 ABCD 的顶点 A

3、 为原点，直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系，已知 B、D 点的坐标分别为 （1，3），（4，0），把平行四边形向上平移 2 个单位，那么 C 点平移后相应的点的坐标是A（3，3） B（ 5，3） C（3，5） D（5，5）6用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是A甲正确，乙不正确 B甲不正确，乙正确C甲、乙都正确 D甲、乙都不正确7如图，抛物线 y1=-x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，则图中阴影部分的面积是A2 B3 C4 D无法计算8如图，一张三角形纸片 ABC，其中C=90，AC

4、 =4，BC=3现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 A 落在 C 处；将纸片展平做第二次折叠，使点 B 落在 C 处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 A 落在 B 处这三次折叠的折痕长依次记为 a，b，c，则 a，b，c的大小关系是Ac>a>b Bb>a>c Cc >b>a Db>c>a二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）9如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到COD 的位置，则旋转角为_10如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐 标系，ABC 的三个顶

5、点均 在格点（网 格线的交点）上以原点 O 为位似中心，画A 1B1C1，使它与ABC的相似比为 2 ，则点 B 的对应点 B1 的坐标是_Z|X|X|K11在 RtABC 中，C=90 ，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到 RtA'B'C，其中点 B'正好落在 AB 上，A'B'与 AC 相交于点 D，那么BDCD =_12已知：Rt ABC 中，B=90，AB=4，BC =3，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，将AMN 沿直线 MN 折叠， 点 A 落在点 P 处，且点 P 在射线 CB 上，当PNC 为直角三角形时，PN

6、的长为_ 三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 12 分，共 36 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13如图，AEBF ，AC 平分BAE，交 BF 于 C，（1）尺规作图：过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于 O，交 AE 于 D；（保留作图痕迹，不写作法）（2 ）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明XXKZ|X|X|K14如图，33 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 A、B、C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图（1）若乙固定在 E 处，移

7、动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是_ _ _（2）若甲、乙均可在本层移动， 求出黑色方块所构成的拼 图是轴对称图形的概率求出黑色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率15 【问题发现】如图 1，在 Rt ABC 中，AB=AC=2，BAC=90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为_（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B，

8、E，F 三点共线时，直接写出线段 AF 的长操作型问题一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1如图，直线 m，n 相交于 O，所夹的锐角是 53，点 P，Q 分别是直线 m，n 上的点，将直线 m，n 按照下面的程序操作，能使两直线平行的是A将直线 m 以点 O 为中心，顺时针旋转 53B将直线 n 以点 Q 为中心，顺时针旋转 53C将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 53D将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 127【答案】C【解析】将直线 m 以点 O 为中心，顺时针旋转 53，有交点不平行，故错将

9、直线 n 以点 Q 为中心，顺时针旋转 53，有交点不平行，故错误；将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 53，平行，正确；将直线 m 以点 P 为中心，顺时针旋转 127，同位角不相等不平行，故错误，故选 C2如图，在平面直角坐标系中，对ABC 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点 A 坐标是（a，b），则经过第 2012 次变换后所得的 A 点坐标是A（a，b） B（ a，-b） C（-a，b） D（-a，-b）【答案】A【解析】由图可知，经过 3 次对称变换后ABC 又回到原来位置，20193=673，第 2019 次变换后所得的 A 点与第 3 次变换后的点 A 的位置相同

10、，即与原图 形相同，点 A 坐标是（a，b），第 2019 次变换后所得的 A 点坐标（a，b）故选 A3把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再按如图挖去一个三角形小孔，则展开后图形是A    B    C    D【答案】C【解析】由题意，结合图形先得到展开图形中OAB 这一部分，其余部分由对称可得，故选 C4如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将AOB 绕点 B 逆时 针 旋 转 90后 得 到 AOB 若 反 比 例 函 数 的 图 象 恰 好 经 过kx斜 边 AB 的

11、中 点 C， ， ，则 k 的值为4ABOS tan2A3 B4 C6 D8【答案】C【解析】设点 C 坐标为 ，作 交边 于点 D，tanBAO=2，()xy， CDBO''， ，S ABO = ，AO=2，BO=4，2BOAAO2142AAOBA OB，AO=AO=2，BO= BO=4，点 C 为斜边 AB 的中点，CDBO，CD= AO=1，BD = BO=2， ， ，12 2xD413yOCD，故选 C36kxy5以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点，直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系，已知 B、D 点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移 2

12、 个单位，那么 C 点平移后相应的点的坐标是A（3，3） B（ 5，3） C（3，5） D（5，5）【答案】D【 解 析 】 如 图 ， A 为 原 点 ， D（ 4， 0） ， AD=40=4， B（ 1， 3） ， 点 C 的 横 坐 标为 1+4=5， 点 C 的坐标为（5，3），把平行四边形向上平移 2 个单位，3+2=5，所以，点 C 平移后的对应点的坐标是（ 5，5），故选 D6用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是A甲正确，乙不正确 B甲不正确，乙正确C甲、乙都正确 D甲、乙都不正确【答案

13、】C【解析】如图 2 中，直线 m 经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确；图形 3 中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半减去添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确故选 C7如图，抛物线 y1=-x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，则图中阴影部分的面积是A2 B3 C4 D无法计算【答案】A【解析】如图所示，抛物线 y1=-x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，两

14、个顶点的连线平行 x 轴，图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为 2，1，图中阴影部分的 面积 S=2故选A8如图，一张三角形纸片 ABC，其中C=90，AC =4，BC=3现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 A 落在 C 处；将纸片展平做第二次折叠，使点 B 落在 C 处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 A 落在 B 处这三次折叠的折痕长依次记为 a，b，c，则 a，b，c的大小关系是Ac>a>b Bb>a>c Cc>b> a Db>c>a【答案】 D【解析】第一次折叠如图

15、1，折痕为 DE，由折叠的性质得：AE=EC= AC=2，DE AC，ACB=90，DEBC，a=DE= BC= 3= 12 1232第二次折叠如图 2，折痕为 MN，由折叠的性质得：BN=NC= BC= 3= ，MNBC ，ACB=90，13MNAC，b=MN= AC= 4=212第三次折叠如图 3，折痕为 GH，由勾股定理得：AB= =5，由折叠的性质得：234G=BG= AB= 5= ，1252GHAB，AGH =90，A=A，AGH= ACBAGHACB， ，AHCB5243c ，故选 D158cbca二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）9如图，点 A、B、

16、C、D 都在方格纸的格点上，若AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到COD 的位置，则旋转角为_【答案】90【解析】AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到CO D 的位置，对应边 OB、OD 的夹角BOD 即为旋转角， 旋转的角度为 90故答案为：90 10如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上以原点 O 为位似中心，画A 1B1C1，使它与ABC的相似比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是_【答案】（4，2）或（ ， ）42【解析】符合题意与ABC 相似，且相似比为 2 的三角形有 2 个，如图所示，A1B1C1 和A

17、BC均与ABC 的相似比为 2，点 B 的对应点 B1 的坐标是：（4，2），点 B 的对应点 B的坐标是：（ ， ），故答案为：（4，2）或（ ， ）211在 RtABC 中，C=90 ，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到 RtA'B'C，其中点 B'正好落在 AB 上，A'B'与 AC 相交于点 D，那么BDCD =_【答案】0.35【解析】作 CHAB 于 H，先在 RtABC 中，根据余弦的定义得到cosB= =0.6= ，CA35设 BC=3x，则 AB=4x，再根据勾股定理计算出 AC=4x，在 Rt HBC 中，根据余

18、弦的定义可计算出 BH= x，95接着根据旋转的性质得 CA=CA=4x，CB=CB ，A=A，所以根据等腰三角形的性质有 BH=BH= x，则 AB= x，957然后证明ADBADC，再利用相似比可计算 出 BD 与 DC 的比值 =0.35，故答720案为：0.3512已知：Rt ABC 中，B=90，AB=4，BC =3，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，将AMN 沿直线 MN 折叠，点 A 落在点 P 处，且点 P 在射线 CB 上，当PNC 为直角三角形时，PN 的长为_ 【答案】 或2097【解析】在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4， ，2345AC设 AN=

19、PN=x，则 CN=5=x，当NPC =90时，如图 1，NPC =B =90，C= C，NPC ABC， ， ， ，即 PNA54x209x209PN当PNC =90时，如图 2，PNC =ABC =90，C=C，NPC ABC ， ， ， ，PNAB543x207x即 综上，PN 的长为 或 ，故答案为： 或 20792097三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 12 分，共 36 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13如图，AEBF ，AC 平分BAE，交 BF 于 C，（1）尺规作图：过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于 O，交 AE 于 D；（保留作图痕迹，不写作法）

20、（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明【解析】 （1）如图，直线 BO 即为所作（5 分）（2） （AB=AD=BC，任选两条线段证明其相等均可得分 ）AB=AD，证明如下：（6 分）BDAO ，AO 平分BAD，AB=AD （12 分）或 BA=BC，证明如下：（6 分）AEBF，EAC= BCA，AC 平分BAE，EAC= BAC，BCA= BAC，BA=BC（12 分）14如图，33 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 A、B、C 中移动，第二 层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方

21、块构成各种拼图（1）若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是_（2）若甲、乙均可在本层移动 Z+X+X+K求出黑色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率求出黑色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率【解析】 （1） （4 分）23若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有 3 种可能，其中当甲在 A 处和C 处时，共有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在 E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 23故答案为： 23（2）由树状图可知，黑色方块所构成拼图共 9 种情况， （6 分）其中是轴对称图形的有 5 种情况， （7 分）所以“黑色方块所构成的拼

22、图是轴对称图形”的概率为 （8 分）59黑色方块所构成的拼图 是中心对称图形有 2 种情形， （9 分）所以“黑色方块所构成的拼图是中心对称图形”的概率是 2（12 分）15 【问题发现】如图 1，在 Rt ABC 中，AB=AC=2，BAC=90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为_（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B，E，

23、F 三点共线时，直接写出线段 AF 的长【解析】（1）BE= 2AF（4 分）在 Rt ABC 中，AB=AC= 2，根据勾股定理得，BC= AB=2 ，点 D 为 BC 的中点，AD=12BC= ，四边形 CDEF 是正方形，AF=EF=AD= 2，BE=AB=2，BE= AF，故答案为 BE= 2AF（2）无变化（6 分）在 Rt ABC 中，A B=AC=2，ABC= ACB=45，sin ABC =2CAB在正方形 CDEF 中，FEC=12FED=45，在 Rt CEF 中，sinFEC=CFE，CFAEB，（6 分）FCE= ACB=45，FCE-ACE =ACB-ACE，FCA

24、=ECB，ACFBCE，ECBAF= 2，BE= AF，线段 BE 与 AF 的数量关系无变化（8 分）（3）AF= -1 或 3+1（12 分）当点 E 在线段 BF 上时， 由（1）知，CF=EF=CD = 2，在 Rt BCF 中，CF= ，BC =2 ，根据勾股定理得，BF= 6，BE=BF-EF= 6- 2，由（2）知，BE= 2AF，AF= 3-1，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图，在 Rt ABC 中，AB=AC=2 ，ABC=ACB =45，sinABC=2CAB，在正方形 CDEF 中，FEC=12FED =45，在 Rt CEF 中，sinFEC=CFE，CAB，FCE= ACB=45，FCB+ACB =FCB +FCE，FCA=ECB，ACFBCE，BAF= 2，BE= AF，由（1）知，CF=EF=CD = ，在 Rt BCF 中，CF= 2，BC =2 ，根据勾股定理得，BF= 6，BE=BF+EF= 6+ 2，由（2）知，BE= AF，AF= 3+1即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 3-1 或3+1