人教版八年级下学期期末复习《平行四边形》 培优训练（附解析）

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1、八年级下学期期末复习平行四边形 培优训练一选择题1在 ABCD中，已知 AB6， AD为 ABCD的周长的 ，则 AD（  ）A4 B6 C8 D102在平行四边形 ABCD中， AE与 DE交于点 E，若 AE平分 BAD， AE DE，则（  ）A ADE30 B ADE45 C ADC2 ADE D ADC3 ADE3下列说法中能判定四边形是矩形的是（  ）A有两个角为直角的四边形B对角线互相平分的四边形C对角线相等的四边形D四个角都相等的四边形4如图，菱形 ABCD的面积为 96，正方形 AECF的面积为 72，则菱形的边长为（  ）A10 B1

2、2 C8 D165如图，在 Rt ABC中， CD是斜边 AB上的中线，若 A26，则 BDC的度数是（  ）A26 B38 C42 D526如图，在正方形 ABCD中， G为 CD的中点，连结 AG并延长，交 BC边的延长线于点 E，对角线 BD交 AG于点 F，已知 AE12，则线段 FG的长是（  ）A2 B4 C5 D67如图，矩形 ABCD的对角线 AC8 cm， AOD120，则 AB的长为（  ）A2 cm B4 cm C  cm D2 cm8将正方形 ABCD与正方形 BEFG如图摆放，点 G恰好落在线段 AE上已知AB ， AG1，连接

3、 CE，则 CE长为（  ）A B C D3.59如图，在平行四边形 ABCD中， AC与 BD交于点 M，点 F在 AD上，AF6 cm， BF12 cm， FBM CBM，点 E是 BC的中点，若点 P以 1cm/秒的速度从点 A出发，沿 AD向点 F运动：点 Q同时以 2cm/秒的速度从点 C出发，沿 CB向点 B运动，点P运动到 F点时停止运动，点 Q也时停止运动，当点 P运动（  ）秒时，以点P、 Q、 E、 F为顶点的四边形是平行四边形A2 B3 C3 或 5 D4 或 510如图，正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O， E是 AC上的一点，且 A

4、B AE，过点A作 AF BE，垂足为 F，交 BD于点 G点 H在 AD上，且 EH AF若正方形 ABCD的边长为 2，下列结论： OE OG； EH BE； AH2 2； AGAF2 其中正确的有（  ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二填空题11在 Rt ABC中， C90， AC3， BC4，点 D、 E、 F是三边的中点，则 DEF的周长是     12如图， CE、 BF分别是 ABC的高线，连接 EF， EF6， BC10， D、 G分别是 EF、 BC的中点，则 DG的长为     13如图，矩形 ABCD中， DE A

5、C于点 F，交 BC边于点 E，已知 AB6， AD8，则 CE的长为     14如图，在 ABCD中， AD2 AB，点 F是 BC的中点，作 AE CD于点 E，点 E在线段 CD上，连接 EF、 AF，下列结论：2 BAF C； EF AF； S ABF SAEF； BFE3 CEF其中一定正确的是     15如图，在平行四边形 ABCD中， ABC45， AB4 ， BC9，直线 MN平分平行四边形 ABCD的面积，分别交边 AD、 BC于点 M、 N，若 BMN是以 MN为腰的等腰三角形，则 BN     16如图，在正

6、方形 ABCD中， E是对角线 BD上一点， DE4 BE，连接 CE，过点 E作EF CE交 AB的延长线于点 F，若 AF8，则正方形 ABCD的边长为     17如图，在平行四边形 ABCD中，以点 A为圆心， AB长为半径画弧交 AD于点 F，再分别以点 B、 F为圆心，大于 BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP并延长交BC于点 E，连接 EF若四边形 ABEF的周长为 16， C60，则四边形 ABEF的面积是      18如图，将边长为 13的菱形 ABCD沿 AD方向平移至 DCEF的位置，作 EG AB，垂足

7、为点G， GD的延长线交 EF于点 H，已知 BD24，则 GH     19如图，在平行四边形 ABCD中，连接 BD，且 BD CD，过点 A作 AM BD与于点 M，过点D作 DN AB于点 N，在 DB的延长线上取一点 P， PM DN，若 BDC70，则 PAB的度数为     20如图，正方形 ABCD中，点 E、 F分别在 AB、 CD上， DG EF于点 H，交 BC于点 G，点P在线段 BG上若 PEF45， AE CG5， PG5，则 EP     三解答题21如图，已知 ABC是等边三角形，点 D、 F分别在线段

8、 BC、 AB上， DC BF，以 BF为边在 ABC外作等边三角形 BEF（1）求证：四边形 EFCD是平行四边形（2） ABC的边长是 6，当点 D是 BC三等分点时，直接写出平行四边形 CDEF的面积22如图，正方形 ABCD边长为 4，点 O在对角线 DB上运 动（不与点 B， D重合） ，连接OA，作 OP OA，交直线 BC于点 P（1）判断线段 OA， OP的数量关系，并说明理由（2）当 OD 时，求 CP的长（3）设线段 DO， OP， PC， CD围成的图形面积为 S1， AOD的面积为 S2，求 S1 S2的最值23已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这

9、个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在 CFE中， CE12， FCE60， AFE90，以点 C为圆心，以任意长为半径作 AD，再分别以点 A和点 D为圆心，大于 AD长为半径做弧，交 EF于点 B， AB CD（1）求证：四边形 ACDB为 CFE的亲密菱形；（2）求四边形 ACDB的面积24问题探究：如图，在正方形 ABCD中，点 E在边 AD上，点 F在边 CD上，且AE DF线段 BE与 AF相交于点 G， GH是 BFG的中线（1）求证： ABE DAF（2）判断线段 BF与 GH之间的数量关系，并说明理由问题拓展：如图，在矩形 ABCD中， AB4， AD6

10、点 E在边 AD上，点 F在边 CD上，且 AE2， DF3，线段 BE与 AF相交于点 G若 GH是 BFG的中线，则线段 GH的长为      25老师布置了一个作业，如下：已知：如图 1ABCD的对角线 AC的垂直平分线 EF交 AD于点 F，交 BC于点 E，交 AC于点 O求证：四边形 AECF是菱形某同学写出了如图 2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；（2）请你给出本题的正确证明过程26如图，在 ABC中， AB AC， D是 BC上任一点， AD AE且 BAC DAE（1）若

11、ED平分 AEC，求证： CE AD；（2）若 BAC90，且 D在 BC中点时，试判断四边形 A DCE的形状，并说明你的理由27正方形 ABCD，点 E在边 BC上，点 F在对角线 AC上，连 AE（1）如图 1，连 EF，若 EF AC，4 AF3 AC， AB4，求 AEF的周长；（2）如图 2，若 AF AB，过点 F作 FG AC交 CD于 G，点 H在线段 FG上（不与端点重合） ，连 AH若 EAH45，求证： EC HG+ FC28如图，在平行四边形 ABCD中，点 H为 DC上一点， BD、 AH交于点 O， ABO为等边三角形，点 E在线段 AO上， OD OE，连接 B

12、E，点 F为 BE的中点，连接 AF并延长交 BC于点 G，且 GAD60（1）若 CH2， AB4，求 BC的长；（2）求证： BD AB+AE参考答案一选择题1解：四边形 ABCD是平行四边形， CD AB6， AD BC， AD （ AB+BC+CD+AD） ， AD （2 AD+12） ，解得： AD8， BC8；故选： C2解：平行四边形 ABCD， AB CD， BAD+ CDA180， AE DE， DAE+ ADE90， BAE+ EDC90， AE平分 BAD， BAE EAD， ADE EDC，即 ADC2 ADE，故选： C3解： A、有 3个角为直角的四边形是矩形，故错

13、误；B、对角线互相平分的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形，故错误；D、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选： D4解：连接 EF、 BE、 DF四边形 AECF是正方形， AEC90， AEF45又 ABE CBE（ SSS） ， AEB CEB（36090）2135 AEB+ AEF180， B、 E、 F三点共线同理可证 D、 F、 E三点共线， BD过点 E、 F AC272， AC12又 ACBD96， BD16则菱形的边长为 10故选： A5解： ACB90， CD是斜边 AB上的中线， BD CD AD， A DCA26， BDC A+ DCA26+2652

14、故选： D6解：四边形 ABCD为正方形， AB CD， AB CD， ABF GDF， BAF DGF， ABF GDF， ， FG AF， CG AB， AB2 CG， CG为 EAB的中位线， AG AE6， FG AG2故选： A7解： AOD120， AOB60，四边形 ABCD是矩形， AC BD， AO OC 84 cm， BO OD， AO BO4 cm， ABO是等边三角形， AB AO4 cm，故选： B8解：如图 1所示，分别过点 A、 C作 EB的垂线，交 EB的延长线于点 K、 M，过点 B作 BH垂直 AE，交 AE于点 H，设 BH GH a，则有 a2+（1+

15、a） 2 （ ） 2，解得 a1， BG ， AE3， AK EK ， BK ， AKB M90， MBC BAK， BC AB， ABK BCM（ AAS） ， CM ， EM ， CE故选： A9解：四边形 ABCD是平行四边形 AD BC， AD BC ADB MBC，且 FBM MBC ADB FBM BF DF12 cm AD AF+DF18 cm BC，点 E是 BC的中点 EC BC9 cm，以点 P、 Q、 E、 F为顶点的四边形是平行四边形 PF EQ6 t92 t，或 6 t2 t9 t3 或 5故选： C10解：四边形 ABCD是正方形， AC BD， OA OB， AO

16、G BOE90， AF BE， FGB90， OBE+ BGF90， FAO+ AGO90， AGO BGF， FAO EBO，在 AFO和 BEO中， ， AGO BEO（ ASA） ， OE OG故正确； EH AF， AF BE， EH BE， BEH90，如图 1，过 E作 MN CD交 AD于 M，交 BC于 N，则 MN AD， MN BC，四边形 ABCD是正方形， ACB EAM45， ENC是等腰直角三角形， EN CN DM， AD BC， AM EM BN， NBE+ BEN BEN+ HEM90， NBE HEM， BNE EMH（ ASA） ， EH BE，故正确；如

17、图 2，Rt ABC中， AB BC2， AC2 ， AB AE， EC AC AE2 2， AC AB AE， AEB ABE， EBC AEH，由知： EH BE， BCE EAH（ SAS） ， AH CE2 2；故 正确；Rt AME中， AE2， EAM45， AM BN ， NBE BAF， AFB ENB90， ABF BEN， ， AFBE AFAG ABBN2 ，故正确；本题正确的有：，4 个，故选： D二填空题（共 10小题）11解：Rt ABC中， C90， AC3， BC4， AB 5，点 D、 E、 F是三边的中点， DE AC， DF AB， EF BC， DEF的

18、周长 DE+EF+DF AC+ AB+ BC （ AC+AB+BC） （3+4+5）6，故答案为：612解：连接 EG、 FG， CE， BF分别是 ABC的高线， BEC90， BFC90， G是 BC的中点， EG FG BC5， D是 EF的中点， ED EF3， GD EF，由勾股定理得， DG 4，故答案为：413解：四边形 ABCD是矩形， CD AB6， BC AD8， B ADC DCE90， AC 10， DE AC， CFE90， DCF ACD， CDF CAD， ， CF 3.6， ECF ACB， CEF CAB， ， CE 4.5；故答案为：4.514解： F是 B

19、C的 中点， BF FC，在 ABCD中， AD2 AB， BC2 AB2 CD， BF FC AB， AFB BAF， AD BC， AFB DAF， BAF DAF，2 BAF BAD， BAD C， BAF2 C故正确；延长 EF，交 AB延长线于 M，四边形 ABCD是平行四边形， AB CD， MBF C， F为 BC中点， BF CF，在 MBF和 ECF中， ， MBF ECF（ ASA） ， FE MF， CEF M， CE AE， AEC90， AEC BAE90， FM EF， EF AF，故正确； EF FM， S AEF S A FM， S ABF S AEF，故错误；

20、设 FEA x，则 FAE x， BAF AFB90 x， EFA1802 x， EFB90 x+1802 x2703 x， CEF90 x， BFE3 CEF，故正确，故答案为：15解：如图，过点 C作 CE AD于 E，过点 N作 NF AD于 F，过点 B作 BG AD，与 DA的延长线交于点 G直线 MN平分平行四边形 ABCD的面积， AM CN，设 AM CN x，则 EF x， BN9 x ABC45， AB4 ， GB GA4， DE4， MF52 x，在 Rt BGM中， BM24 2+（4+ x） 2，在 Rt NFM中， MN24 2+（52 x） 2， BMN是以 MN

21、为腰的等腰三角形，当 MN MB时，易证 Rt MFNRt MGB（ HL） ，MF MG，即 52 x x+4，解得 x ，即 CN ， BN BC CN9 当 MN BN时， MN2 BN2，4 2+（52 x） 2（9 x） 2，解得 x14， x2 （不符合题意，舍去） ，MN24 2+（52 x） 216+（524） 225， MN5， BN5故答案为 或 516解：如图所示：过点 E作 EM BC， EN AB，分别交 BC、 AB于 M、 N两点，且 EF与 BC相交于点 H EF CE， ABC90， ABC+ HBF180， CEH FBH90，又 EHC BHF， ECH

22、BFH（ AA） ， ECH BFH， EM BC， EN AB，四边形 ABCD是正方形，四边形 ENBM是正方形， EM EN， EMC ENF90，在 EMC和 ENF中 EMC ENF（ AAS） CM FN， EM DC， BEM BDC， 又 DE4 BE， ，同理可得： ，设 BN a，则 AB5 a， CM AN NF4 a， AF8， AF AN+FN，8 a8解得： a1， AB5故答案为：517解：由作法得 AE平分 BAD， AB AF，则12，四边形 ABCD为平行四边形， BE AF， BAF C60，2 BEA，1 BEA30， BA BE， AF BE，四边形

23、AFEB为平行四边形， ABF是等边三角形，而 AB AF，四边形 ABEF是菱形； BF AE， AG EG，四边形 ABEF的周长为 16， AF BF AB4，在 Rt ABG中，130， BG AB2， AG BG2 ， AE2 AG4 ，菱形 ABEF的面积 BFAE 44 8 ；故答案为：8 18解：连接 DE，连接 AC交 BD于 O，如图所示：四边形 ABCD和四边形 DCEF是菱形， OA OC， OB OD B D12， AC BD， AB CD EF， AB AD CD DF CE13， AD CE， OA 5， GAD F，四边形 ACED是平行四边形， DE AC2

24、OA10，在 ADG和 FDH中， ， ADG FDH（ ASA） ， DG DH， EG AB， BGE GEF90， DE DG DH， GH2 DE20，故答案为：2019解：在平行四边形 ABCD中， AB CD， BD CD， BD BA，又 AM BD， DN AB， AMB DNB90，在 ABM与 DBN中 ， ABM DBN（ AAS） ， AM DN， PM DN， AM PM， AMP是等腰直角三角形， MAP APM45， AB CD， ABD CDB70， PAB ABD P25，故答案为：2520解：过点 F作 FM AB于点 M，连接 PF、 PM，如图所示：则

25、FM AD， AM DF， FME MFD90， DG EF， MFE CDG，四边形 ABCD是正方形， B C90， AB BC DC AD， FM DC，在 MFE和 CDG中， ， MFE CDG（ ASA） ， ME CG5， AM DF10， CG PG5， CP10， AM CP， BM BP， BPM是等腰直角三角形， BMP45， PMF45， PEF45 PMF， E、 M、 P、 F四点共圆， EPF FME90， PEF是等腰直角三角形， EP FP， BEP+ BPE90， BPE+ CPF90， BEP CPF，在 BPE和 CFP中， ， BPE CFP（ AAS

26、） ， BE CP10， AB AE+BE15， BP5，在 Rt BPE中，由勾股定理得： EP 5 ；故答案为：5 三解答题（共 8小题）21证明：（1） ABC是等边三角形， ABC60， EFB60， ABC EFB， EF DC（内错角相等，两直线平行） ， DC EF，四边形 EFCD是平行四边形；（2）解：过 E作 EH BC交 CB的延长线于 H， ABC和 BEF是等边三角形， ABC EBF60， EBH180606060， EH BE BF CD，点 D是 BC三等分点，当 CD BC2 时，平行四边形 CDEF的面积2 2 ，当 CD BC4 时，平行四边形 CDEF的

27、面积42 8 ，综上所述，平行四边形 CDEF的面积为 2 或 8 22解：（1） OA OP，理由是：如图 1，过 O作 OG AB于 G，过 O作 OH BC于 H，四边形 ABCD是正方形， ABO CBO， AB BC， OG OH， OGB GBH BHO90，四边形 OGBH是正方形， BG BH， GOH90， AOP GOH90， AOG POH， AGO PHO（ ASA） ， OA OP；（2）如图 2，过 O作 OQ CD于 Q，过 O作 OH BC于 H，连接 OC， OQD90， ODQ45， ODQ是等腰直角三角形， OD ， OQ DQ1， AD CD， ADO

28、CDO， OD OD， ADO CDO（ SSS） ， AO OC OP， OH PC， PH CH OQ1， PC2；（3）如图 3，连接 OC，过 O作 OG BC于 G， OH CD于 H，设 OH x，则 DH x， CH OG4 x， PC2 x，由（2）知： AOD COD， S AOD S COD， S1 S2 S1 S COD S POC x2+4x（ x2） 2+4，当 x2 时， S1 S2有最大值是 423证明：（1）由已知得： AC CD， AB DB，由已知尺规作图痕迹得： BC是 FCE的角平分线， ACB DCB，又 AB CD， ABC DCB， ACB ABC

29、， AC AB，又 AC CD， AB DB， AC CD DB BA，四边形 ACDB是菱形， ACD与 FCE中的 FCE重合，它的对角 ABD顶点在 EF上，四边形 ACDB为 FEC的亲密菱形（2）过点 A作 AG CE于 G四边形 ACDB是菱形 AB AC， AB CD FAB FCE60 E FBA30 CE2 CF  AB2 AF CE12 CF6， CA4在 Rt ACG中，可得 AG ，菱形 ACDB的面积 CDAG4 24 （1）证明：四边形 ABCD是正方形， BAD D90， AB DA，在 ABE和 DAF中， ， ABE DAF（ SAS） ；（2）解：

30、 BF2 GH；理由如下： ABE DAF， ABE DAF， DAF+ BAG BAD90， ABE+ BAG90， BGF ABE+ BAG90，在 Rt BFG中， GH是边 BF的中线， BF2 GH；问题拓展：解：tan ABE ，tan DAF ， ABE DAF， DAF+ BAG BAD90， ABE+ BAG90， AGB90， BGF90，在 Rt BFG中， GH是边 BF的中线， BF2 GH，四边形 ABCD是矩形， C90， BC AD6， CD AB4， CF CD DF1， BF ， GH BF ；故答案为： 25解：（1）能；该同学错在 AC和 EF并不是互相

31、平分的， EF垂直平分 AC，但未证明 AC垂直平分 EF，需要通过证明得出；（2）证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC FAC ECA EF是 AC的垂直平分线， OA OC在 AOF与 COE中， AOF COE（ ASA） EO FO AC垂直平分 EF EF与 AC互相垂直平分四边形 AECF是菱形26解：（1）证明： AD AE， ADE AED又 ED平分 AEC， DEC AED ADE DEC CE AD；（2）四边形 ADCE是正方形，理由如下： AB AC， D是 BC 的中点， AD BC，即 ADC90又 DAE BAC90， ADC+ DAE180 AE

32、CD又 BAC90且 D是 BC的中点， AD CD AE AD AE CD四边形 ADCE是平行四边形 ADC90，四边形 ADCE是正方形27 （1）解：四边形 ABCD是正方形， AB BC CD AD4， B D90， ACB ACD BAC ACD45， AC AB4 ，4 AF3 AC12 ， AF3 ， CF AC AF ， EF AC， CEF是等腰直角三角形， EF CF ， CE CF2，在 Rt AEF中，由勾股定理得： AE 2 ， AEF的周长 AE+EF+AF2 + +3 2 +4 ；（2）证明：延长 GF交 BC于 M，连接 AG，如图 2所示：则 CGM和 CF

33、G是等腰直角三角形， CM CG， CG CF， BM DG， AF AB， AF AD，在 Rt AFG和 Rt ADG中， ，Rt AFGRt ADG（ HL） ， FG DG， BM FG， BAC EAH45， BAE FAH， FG AC， AF H90，在 ABE和 AFH中， ， ABE AFH（ ASA） ， BE FH， BM BE+EM， FG FH+HG， EM HG， EC EM+CM， CM CG CF， EC HG+ FC28解：延长 AH、 BC相交于点 M， ABCD CD AB4， CD AB CH2 DH CD2 CD AB MHC MAB， MCH MBA MCH MBA MH AH， BM2 BC ABO为等边三角形 AOB OAB OBA60， OA AB4 DO H AOB60 ODH OBA60， OHD OAB60 DOH ODH OHD DOH是等边三角形 OH OD DH2 MH AH OA+OH4+26， EM OE+OH+MH10 OD OE2