2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含答案解析)
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1、2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)1 (4 分)设全集 U1,2,3,4,5,若集合 A3 ,4,5,则 UA 2 (4 分)已知扇形的半径为 6,圆心角为 ,则扇形的面积为 3 (4 分)已知双曲线 x2y 21,则其两条渐近线的夹角为 4 (4 分)若(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 8,则 n 5 (4 分)若实数 x,y 满足 x2+y21,则 xy 的取值
2、范围是 6 (4 分)若圆锥的母线长 l5(cm) ,高 h4(cm) ,则这个圆锥的体积等于 7 (5 分)在无穷等比数列a n中, (a 1+a2+an) ,则 a1 的取值范围是 8 (5 分)若函数 f(x )ln 的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1) ,且 BA,则实数 a 的取值范围为 9 (5 分)行列式 中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f(x) ,则y1+ f(x )的零点是 10 (5 分)已知复数 z1cosx+2
3、f(x)i ,z 2( sinx+cosx)+i (x R,i 为虚数单位)在复平面上,设复数 z1,z 2 对应的点分别为 Z1,Z 2,若 Z 1OZ290,其中 O 是坐标原点,则函数 f(x)的最小正周期 11 (5 分)当 0xa 时,不等式 + 2 恒成立,则实数 a 的最大值为 12 (5 分)设 d 为等差数列a n的公差,数列b n的前 n 项和 Tn,满足 Tn+ (1)nbn(nN*) ,且 da 5b 2,若实数 mPk x|ak2 xa k+3(kN *,k3) ,则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数
4、列T n的前 n 项和,对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为 二、选择题(本题共有 4 题,满分 20 分)13 (5 分)下列函数中既是奇函数,又在区间1,1 上单调递减的是( )第 2 页(共 18 页)Af(x)arcsin x Bylg|x|Cf(x)x Df(x )cos x14 (5 分)某象棋俱乐部有队员 5 人,其中女队员 2 人,现随机选派 2 人参加象棋比赛,则选出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为( )A B C D15 (5 分)已知 f(x )log sin
5、x,(0, ) ,设 af ( ) ,bf() ,c f( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( )Aacb Bbca Ccba Dabc16 (5 分)已知函数 f(x )m2 x+x2+nx,记集合 Ax|f(x)0,xR,集合Bx| ff(x )0,x R,若 AB,且都不是空集,则 m+n 的取值范围是( )A0,4) B1,4) C 3,5 D0 ,7)三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)17 (14 分)如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,PAAB1,AD 2,点 F是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动(1)求三棱锥 EP
6、AD 的体积;(2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AFPE18 (14 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosB (1)若 sinA ,求 cosC;(2)已知 b4,证明 519 (14 分)上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是(5x +1 )元,其中 1x10(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,求 x 的取值范围;第 3 页(共 18 页)(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润20 (16 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含
7、y 轴)一点,抛物线 C:y 24x 上存在不同的两点 A,B,满足 PA,PB 的中点均在抛物线 C 上(1)求抛物线 C 的焦点到准线的距离;(2)设 AB 中点为 M,且 P(x P,y P) ,M (x M,y M) ,证明:y Py M;(3)若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,求PAB 面积的最小值21 (18 分)记无穷数列a n的前 n 项中最大值为 Mn,最小值为 mn,令 ,其中 nN*(1)若 an2 n+cos ,请写出 b3 的值;(2)求证:“数列a n是等差数列”是“数列b n是等差数列”的充要条件;(3)若对任意 n,有|a n|2018 ,且|b n|
8、1,请问:是否存在 KN*,使得对于任意不小于 K 的正整数 n,有 bn+1b n 成立?请说明理由第 4 页(共 18 页)2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)1 (4 分)设全集 U1,2,3,4,5,若集合 A3 ,4,5,则 UA 1 ,2 【分析】利用补集定义直接求解【解答】解:全集 U1,2,3,4,5,集合 A3 ,4 ,5, UA1,2故答案为:1,2【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用2 (4 分)已知扇
9、形的半径为 6,圆心角为 ,则扇形的面积为 6 【分析】先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】解:根据扇形的弧长公式可得 l r 6 2,根据扇形的面积公式可得 S lr 266故答案为:6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键,属于基础题3 (4 分)已知双曲线 x2y 21,则其两条渐近线的夹角为 90 0 【分析】由双曲线方程,求得其渐近线方程,求得直线的夹角,即可求得两条渐近线夹角【解答】解:双曲线 x2y 211 的两条渐近线的方程为:yx,所对应的直线的倾斜角分别为 90,双曲线 x2y 21 的两条渐近线的夹角为 90,故答案为:90
10、【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查直线的倾斜角的应用,属于基础题4 (4 分)若(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 8,则 n 3 【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得 n 的值【解答】解:(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 2n8,则 n3,第 5 页(共 18 页)故答案为:3【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题5 (4 分)若实数 x,y 满足 x2+y21,则 xy 的取值范围是 , 【分析】三角换元后,利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得【解答】因为 x2+y21,所以可设 xcos ,y sin,则 xyco
11、ssin sin2 , 故答案为 , 【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6 (4 分)若圆锥的母线长 l5(cm) ,高 h4(cm) ,则这个圆锥的体积等于 12cm 3 【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径,那么圆锥的体积 底面半径 2高,把相应数值代入即可求解【解答】解:圆锥的高是 4cm,母线长是 5cm,圆锥的底面半径为 3cm,圆锥的体积 32412 cm3故答案为:12cm 3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形7 (5 分)在无穷等比数列a n中, (a 1+a2+an) ,则 a1 的取值范围是 【分析】无穷等比数列
12、a n中, ,推出 0| q|1,然后求出首项 a1 的取值范围【解答】解:因为无穷等比数列a n中, ,所以| q|1, ,所以 ,1q1 且 q0第 6 页(共 18 页)0a 11 且 a1故答案为: 【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用,解题时要注意极限逆运算的合理运用8 (5 分)若函数 f(x )ln 的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1) ,且 BA,则实数 a 的取值范围为 1,0 【分析】先化简集合 A,由 BA,得 ,得1a0【解答】解: 0,(x+1) (x1)0,1x1,A(1,1) ;BA , ,1a0,实数 a 的取值范围为1, 0故答案为1,0【点
13、评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,难度中档9 (5 分)行列式 中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f(x) ,则y1+ f(x )的零点是 1 【分析】将行列式按第 3 行第 2 列展开,由 f(x )A 32 (42 x44 x)2 x+2(12 x) ,令 y1+f(x)12 x+2(12 x)0,解得:x1,即可求得 y1+ f(x)的零点【解答】解:第 3 行第 2 列的元素的代数余子式A32 42 x+44x2 x+2(12 x) ,f(x)2 x+2(12 x) ,y1+f(x)12 x+2(12 x) ,令 y0,即 2x+2(1
14、2 x)1,第 7 页(共 18 页)解得:2 x , x1故答案为:1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义,考查函数的零点的定义,属于中档题10 (5 分)已知复数 z1cosx+2f(x)i ,z 2( sinx+cosx)+i (x R,i 为虚数单位)在复平面上,设复数 z1,z 2 对应的点分别为 Z1,Z 2,若 Z 1OZ290,其中 O 是坐标原点,则函数 f(x)的最小正周期 【分析】由已知求得 Z1,Z 2 的坐标,结合Z 1OZ290 可得 f(x)的解析式,降幂后利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期【解答】解:由题意,Z 1(cos x,2f(x)
15、) , ,Z 1OZ290, ,即 2f(x) ,f(x) 则函数 f(x)的最小正周期为 故答案为:【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数周期的求法,是基础的计算题11 (5 分)当 0xa 时,不等式 + 2 恒成立,则实数 a 的最大值为 2 【分析】想法求出左边式子的最小值,首先把分式形式乘以 a2,变形为 2+ + + ,利用均值不等式得出式子的最小值【解答】解:( + )a 2( + )x +(ax ) 2( + )x 2+2x( ax)+(ax) 2第 8 页(共 18 页)2+ + + + 2+4+2 8 + 2'0a2【点评】考查了对式子的配凑变形
16、,均值定理的应用,思路不太好想,有一定难度12 (5 分)设 d 为等差数列a n的公差,数列b n的前 n 项和 Tn,满足 Tn+ (1)nbn(nN*) ,且 da 5b 2,若实数 mPk x|ak2 xa k+3(kN *,k3) ,则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数列T n的前 n 项和,对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为 3,4 【分析】求得 n1,2,3,4,5 时,数列b n的前 5 项,即可求出通项公式,再求得d 和首项 a1,得到等差数列a n的通项公式,求得 n1, 2,3,4,H 2n1 的特点,结合 k3,4,5,6,集合
17、的特点,即可得到所求取值【解答】解:T n+ (1) nbn(n N*) ,可得 n1 时,T 1+ b 1T 1,解得 b1 ,T2+ b 2 +b2+ b 2,T3+ b 3 +b2+b3+ ,即 b2+2b3 ,T4+ b 4 +b2+b3+b4+ ,即 b2+b3 ,解得 b2 ,b 3 ,同理可得 b4 ,b 5 ,b 2n1 ,da 5b 2,可得 da 1+4d ,第 9 页(共 18 页)解得 a1 ,d ,a n ,设 Hn 是数列T n的前 n 项和,若对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,由于 H1T 1 b1 ,H 3T 1+T2+T3 ,H 5T 1+T2+
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