2019年上海市杨浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
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1、2019年上海市杨浦区高考数学二模试卷一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)1 (4 分)函数 f(x )12sin 2x 的最小正周期是 2 (4 分)方程组 的增广矩阵为 3 (4 分)若幂函数 f(x )x k 的图象过点(4,2) ,则 f(9) 4 (4 分)若(1+3x) n 的二项展开式中 x2 项的系数是 54,则 n 5 (4 分)若复数 z 满足(a+bi ) 23+4i(i 为虚数单位,a,bR) ,则 a2
2、+b2 6 (4 分)函数 y1+log a(x+3) (a0 且 a1)的反函数为 f1 (x) ,则 f1 (1) 7 (5 分)函数 的值域是 8 (5 分)哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ,如 83+5,在不超过 13 的素数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率是 (用分数表示) 9 (5 分)若定义域为(,0)(0,+)的函数 是奇函数,则实数 m 的值为 10 (5 分)古希腊数学家阿波罗尼斯在他
3、的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点 A(a,0) ,B(a,0) ,动点 P 满足 (其中 a 和 是正常数,且 1) ,则 P 的轨迹是一个圆,这个圆称之为 “阿波罗尼斯圆” ,该圆的半径为 11 (5 分)若ABC 的内角 A、B、C,其中 G 为ABC 的重心,且 ,则 cosC的最小值为 12 (5 分)定义域为集合1,2,3,12 上的函数 f(x)满足:f(1)1; |f(x +1)f(x )| 1(x1,2,11) ; f(1) 、f(6) 、f(12)成等比数列;这样的不同函数 f(x)的
4、个数为 二.选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)第 2 页(共 19 页)13 (5 分)若 x、y 满足 ,则目标函数 fx+2y 的最大值为( )A1 B2 C3 D414 (5 分)已知命题 :“双曲线的方程为 x2y 2a 2(a0) ”和命题 :“双曲线的两条渐近线夹角为 ”,则 是 的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件15 (5 分)对于正三角形 T,挖去以三边中点为顶点的小正三角形,得到一个新的图形,这样的过程称为一次“镂空操作“,设 T 是一个边长为 1 的
5、正三角形,第一次“镂空操作”后得到图 1,对剩下的 3 个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图 2,对剩下的小三角形重复进行上述操作,设 An 是第 n 次挖去的小三角形面积之和(如 A1 是第1 次挖去的中间小三角形面积,A 2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和) ,S n 是前 n次挖去的所有三角形的面积之和,则 ( )A B C D16 (5 分)已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 ,I 为ABC内部的一点,且 ,若 ,则 x+y 的最大值为( )A B C D三.解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+1876
6、分)17 (14 分)已知函数 f(x )(1+tan x)sin2x(1)求 f(x)的定义域;(2)求函数 F(x )f(x)2 在区间(0,)内的零点18 (14 分)上海地铁四通八达,给市民出行带来便利,已知某条线路运行时,地铁的发车时间间隔 t(单位:分钟)满足:2t 20,tN,经测算,地铁载客量 p(t)与发车第 3 页(共 19 页)时间间隔 t 满足 ,其中 tN(1)请你说明 p(5)的实际意义;(2)若该线路每分钟的净收益为 (元) ,问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?并求最大净收益19 (14 分)我国古代数学名著九章算术中记载了有关特殊几何体的定义:
7、阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,堑堵指底面是直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱(1)某堑堵的三视图,如图 1,网格中的每个小正方形的边长为 1,求该堑堵的体积;(2)在堑堵 ABCA 1B1C1 中,如图 2,AC BC,若 A1AAB2,当阳马 BAA 1C1C的体积最大时,求二面角 C A1BC 1 的大小20 (16 分)已知椭圆 的左右两焦点分别为 F1、F 2(1)若矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上,点 C、D 均在 上,求该矩形绕 y 轴旋转一周所得圆柱侧面积 S 的取值范围;(2)设斜率为 k 的直线 l 与 交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为 M(1
8、,m ) (m0) ,求证: ;(3)过 上一动点 E(x 0,y 0)作直线 ,其中 y00,过 E 作直线 l的垂线交 x 轴于点 R,问是否存在实数 ,使得|EF 1|RF2| |EF2|RF1|恒成立,若存在,求出 的值,若不存在,说明理由21 (18 分)已知数列a n满足:a 11, ,其中 nN*,mR(1)若 a1、m、a 2 成等差数列,求 m 的值;第 4 页(共 19 页)(2)若 m0,求数列a n的通项 an;(3)若对任意正整数 n,都有 an4,求 m 的最大值第 5 页(共 19 页)2019 年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共
9、 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)1 (4 分)函数 f(x )12sin 2x 的最小正周期是 【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理,进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期【解答】解:f(x )12sin 2xcos2x函数最小正周期 T 故答案为:【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法考查了三角函数的基础的知识的应用2 (4 分)方程组 的增广矩阵为 【分析】本题可以先将方程组转化成常数在等于号右边的形式,然后即可根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵【解答】
10、解:由题意,可将题中方程组转化为下面的形式:,方程组的增广矩阵为 ,故答案为: 【点评】本题主要考查增广矩阵的定义,属基础题3 (4 分)若幂函数 f(x )x k 的图象过点(4,2) ,则 f(9) 3 【分析】求出幂函数的解析式,从而求出 f(9)的值即可【解答】解:幂函数 f(x )x k 的图象经过点(4,2) ,4 k2 ;解得 k 故 f(x) ,则 f(9)3,故答案为:3【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,是基础题目第 6 页(共 19 页)4 (4 分)若(1+3x) n 的二项展开式中 x2 项的系数是 54,则 n 4 【分析】根据二项展开式定理求得 x2
11、项的系数,列方程求得 n 的值【解答】解:(1+3x) n 的二项展开式中,x2 项的系数是 3254,化简得 n2n120,解得 n4 或 n3(不合题意,舍去) ,n4故答案为:4【点评】本题考查了二项式定理的应用问题,是基础题5 (4 分)若复数 z 满足(a+bi ) 23+4i(i 为虚数单位,a,bR) ,则 a2+b2 5 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得 a,b 的值,则答案可求【解答】解:由(a+bi) 2 a2b 2+2abi3+4 i,得 ,解得 或 a 2+b25故答案为:5【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是
12、基础题6 (4 分)函数 y1+log a(x+3) (a0 且 a1)的反函数为 f1 (x) ,则 f1 (1) 2 【分析】由题意知 y1+log a(x+3)1,得 x2 即为所求【解答】解:由互为反函数的函数定义域值域互换知,y1+log a(x+3)1,得x+31,x 2故答案为:x2【点评】本题考查反函数性质属于简单题7 (5 分)函数 的值域是 【分析】由二阶行列式展开式先展开二阶行列式,再由反正弦弦数的性质能求出函数的第 7 页(共 19 页)值域【解答】解:函数 arcsinx+2 x,x 1,1,函数 的值域为 故答案为: 【点评】本题考查函数的
13、值域的求法,考查二阶行列式展开式、反正弦弦数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8 (5 分)哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ,如 83+5,在不超过 13 的素数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率是 (用分数表示) 【分析】本题可以列举出从不超过 13 的素数中取两个的所有和的情况,以及和为偶数的情况,代入概率公式即可【解答】解:设 A两素数和为偶数 不超过 13 的素数有 2,3,5,7,11,13从中任取两个,共包含(2,3) , (2,5) , (2,7) , (2,11) , (2,13) , (3,5) , (
14、3,7) , (3,11) ,(3,13) , (5,7) , (5,11) , (5,13) ,(7,11) , (7,13) , (11,13)共 15 个事件 A 包含(3,5) , (3,7) , (3,11) , (3,13) , (5,7) , (5,11) , (5,13) ,(7,11) , (7,13) , (11,13)共 10 个基本事件故 p(A) 本题也可用组合数计算p(A) 故填: 【点评】本题考查了古典概型的概率计算,得到事件 A 包含的基本事件个数和基本事件的总数是计算的关键,属于基础题第 8 页(共 19 页)9 (5 分)若定义域为(,0)(0,+)的函数
15、是奇函数,则实数 m 的值为 1 【分析】根据题意,结合函数的解析式可得当 x0 时,f(x)12 x ,此时x0,有 f(x)2 x +m,结合函数的奇偶性可得 f(x) f (x ) ,即2x +m(12 x ) ,变形可得 m 的值,即可得答案【解答】解:根据题意,函数 ,当 x0 时,f( x)12 x ,此时x0,有 f(x )2 x +m,又由 f(x)为奇函数,则 f(x)f (x) ,即 2x +m(12 x ) ,变形可得:m1;故答案为:1【点评】本题考查函数的奇偶性的定义以及判定,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题10 (5 分)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲
16、线论中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点 A(a,0) ,B(a,0) ,动点 P 满足 (其中 a 和 是正常数,且 1) ,则 P 的轨迹是一个圆,这个圆称之为 “阿波罗尼斯圆” ,该圆的半径为 【分析】设 P(x ,y ) ,由动点 P 满足 (其中 a 和 是正常数,且 1) ,可得 化简整理即可得出【解答】解:设 P(x ,y ) ,由动点 P 满足 (其中 a 和 是正常数,且 1) , 平方化为:x 2+ x+a2+y20第 9 页(共 19 页)该圆的半径 r 故答案为: 【点评】本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11
17、(5 分)若ABC 的内角 A、B、C,其中 G 为ABC 的重心,且 ,则 cosC的最小值为 【分析】将向量 分表表示 ,利用垂直关系建立方程,最后借助重要不等式求解【解答】解:因为 G 为ABC 的重心,所以 ;,因为 ,所以 ,即 ,整理得 ,所以 ,所以 ,故答案为 【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算,属于中档题目,有一定难度12 (5 分)定义域为集合1,2,3,12 上的函数 f(x)满足:f(1)1; |f(x +1)f(x )| 1(x1,2,11) ; f(1) 、f(6) 、f(12)成等比数列;这样的不同函数 f(x)的个数为
18、 155 【分析】分析出 f(x )的所有可能的取值,得到使 f(x)中 f(1) 、f(6) 、f(12)成等比数列时对应的项,再运用计数原理求出这样的不同函数 f(x)的个数即可【解答】解:经分析,f(x )的取值的最大值为 x,最小值为 2x,并且成以 2 为公差的等差数列,故 f(6)的取值为 6,4,2, 0,2,4f(12)的取值为 12,10,8, 6,4,2,0,2,4,6,8,10,第 10 页(共 19 页)所以能使 f(x)中的 f(1) 、f (6) 、f(12)成等比数列时,f(1) 、f(6) 、f (12)的取值只有两种情况:f(1) 1、f(6)2、f
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