2017-2018学年四川省达州市开江县七年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

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1、第 1 页，共 21 页2017-2018 学年四川省达州市开江县七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 下列各种标志中，不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）A. B. (2)3=6 66(23)=32C. D. (2)(2)=422 2(32+1)=22623. 从长度分别为 4、6、7、11 的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 12 13 23 344. 如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序正确的顺序是（ ）篮球运动员投篮时，投

2、出去的篮球的高度与时间的关系去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系李老师使用的是一种含月租的手机计费方式，则他每月所付话费与通话时间的关系周末，小明从家到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系A. B. C. D. 5. 计算：2018 2-20192017 的结果是（ ）A. 1 B. C. 2018 D. 201716. 以下四个说法中：两直线平行，同旁内角相等等腰三角形有一个外角是 80，则这个三角形的底角的度数是 40在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行线段、等腰三角形、长方形、圆、角是轴对称图形其中说法正确的有（ ）A. B.

3、 C. D. 7. 如图，在 RtABC 中，C =90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC 于点 M、N ，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧12交于点 P，射线 AP 交边 BC 于点 D下列说法错误的是（ ）第 2 页，共 21 页A. B. 若 ，则点 D 到 AB 的距离为 2= =2C. 若 ，则 D. =30 = =28. 根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）A. 锄禾日当午，汗滴禾下土 B. 白日依山尽，黄河入海流C. 离离原上草，一岁一枯荣 D. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟9. 如

4、图，正方形 ABCD 的面积为 16cm2，AEF 为等腰直角三角形，E=90 ，AE 和BC 交于点 G，AF 和 CD 交于点 H，则CGH 的周长（ ）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm10. 如图所示，下列语句描述正确的是（ ）若1=3，则 ABDC；若C +1+4=180，则 ADBC；A=C ，ABC=ADC，则 ABDC；若2=4，BD 平分ABC，则 BC=CD；若 ADBC， A=C，则 ABDCA. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）11. PM2.5 是指每立方米大气中直径小于或等于 0.000 0025 米的颗粒粉

5、尘，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，将 0.000 0025 米用科学记数法表示为_米12. 如图所示，把一块含有 45的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上如果2=30，那么1 的度数是_13. 一辆公交车每月的支出费用为 3000 元，乘车平均票价为 1.5 元/人，设每月有 x 人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为 y 元，当每月乘客量达到_人以上时，该公交车才不会亏损14. 如图，要测量河岸相对两点 A，B 的距离，可以从 AB的垂线 BF 上取两点 C，D使 BC=CD，过 D 作DEBF，且 A， C，E 三点在一直线上若测得

6、DE=30 米，则 AB=_米第 3 页，共 21 页15. 如图所示，是一张直角三角形 ABC 纸片，将ABC折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，若ABC 与ACD 的周长分别为 24cm、15cm，则 AE 的长是_16. 如图，已知 AB=AC，D 为BAC 的角平分线上面一点，连接 BD，CD；如图 2，已知 AB=AC，D 、E 为BAC 的角平分线上面两点，连接 BD，CD，BE，CE；如图 3，已知 AB=AC，D、E、F 为 BAC 的角平分线上面三点，连接 BD，CD，BE ，CE，BF，CF；，依次规律，第 n 个图形中有全等三角形的对数是_三、计算题（本大题共

7、2 小题，共 16.0 分）17. 先化简，再求值：（x-2y） 2-（x+y）（y-x）-y（3y-2x ），其中 x=2，y=-118. 如图是一个长为 4a、宽为 b 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）自主探索：（1）仔细观察图形，完成下列问题1）图中的阴影部分的面积为_；2）观察图，请你写出（a+b） 2、（a- b） 2、ab 之间的等量关系是_；知识运用：（2）若 x-y=5，xy= ，根据（ 1）中的结论，求（x+ y） 2 的值；114知识延伸（3）根据你探索发现的结论，完成下列问题：设 A= ，B =x+2y-

8、3234计算（A- B） 2-（A+B） 2 的结果第 4 页，共 21 页四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分）19. 计算：（- ） -2+45（2 224）122a（3a-2）-（18a 3-15a2）3a20. 将正面分别标有数字 1、2、3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上请完成下列各题（1）随机抽取 1 张，求抽到卡片数字是奇数的概率；（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？（3）在（2）的条件下，试求组成的两位数是偶数的概率21. 如图，在正方形网格上有一个ABC，A、B、C 均为小正方形的顶点（1）画ABC 关

9、于直线 a 的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为 1，求所画出的对称图形的面积第 5 页，共 21 页22. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）小明在书店停留了多少分钟？（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？（4）我们认为骑单车的速度超过 300 米/分钟就超越了安全限度问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快

10、，速度在安全限度内吗？23. 如图，在ABE 中，AEB=90，点 F 是边 AE 上的一点，D 是 EF 的中点，过点 F 作 BE 的平行线交 BD 的延长线于点 C若 CF=AF，BE=6cm，DE =3cm，求ABC 的面积第 6 页，共 21 页24. 如图，ACD 中，ACD=60，以 AC 为边作等腰三角形 ABC，AB=AC ，E、F 分别为边 CD、BC 上的点，连结 AE、AF、EF，BAC=EAF=60（1）求证：ABFACE；（2）若 AED=70，求EFC 的度数；（3）请直接指出：当 F 点在 BC 何处时，AC EF？25. ABC 为等腰直角三角形，AB=AC

11、，ADE 为等腰直角三角形，AD=AE，点 D 在直线 BC 上，连接 CE（1）判断：CE、CD、BC 之间的数量关系；CE 与 BC 所在直线之间的位置关系，并说明理由；（2）若 D 在 CB 延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请直接写出结论，若不成立，请说明理由；（3）若 D 在 BC 延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请直接写出结论，若不成立，请写出你发现的结论，并计算：当 CE=10cm，CD=2cm 时，BC 的长第 7 页，共 21 页第 8 页，共 21 页答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是 轴对 称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误；

12、 C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是 轴对 称图形，故本选项正确 故选：D根据轴对称图形的知识求解本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合2.【答案】C【解析】解：A、（ -a2）3=-a6，此选项错误 ； B、6m6（-2m3）=-3m3，此选项错误； C、（x-2y）（-x-2y）=（-2y）2-x2=4y2-x2，此选项正确； D、2a（ab-3b2+1）=2a2b-6ab2+2a，此选项错误； 故选：C 根据幂的乘方、单项式除以单项式法则、平方差公式、 单项式乘以多项式法则依次计算可得本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握幂

13、的乘方法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、单项式乘以多项式法则3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比第 9 页，共 21 页从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从长度分别为 4、6、7、11 的四条线段中任选三条有如下 4 种情况：4、6、7；4、7、11；4、6、11；6、7、11；其中能构成三角形的有 4、6、7；6、7、11 这两种情况，所以能构成三角形的概率是 = ，故选：A4.【答案】D【解析】解：篮球运 动员投篮时 ，投出去的 篮

14、球的高度与时间高应是抛物线形状，故正确； 去超市购买 同一单价的水果，所付费用与水果数量的图象应先从 0 开始，变大，故 正确； 李老师使用的是一种含月租的手机计费方式，则他每月所付话费与通话时间的应先从某一数值开始，变大，故 正确； 周末，小明从家到图书馆，看了一段 时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的图象由 0 开始，逐渐变大，而后不变， 进而减小为 0，故正确； 故选：D本题涉及面广，反映了不同类别问题中，两个量的函数关系，按照 问题与图象对号的方法，选择顺序此题考查函数图象问题，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象5.【答案】A【解析】解：

15、原式=2018 2-（2018+1）（2018-1）=20182-20182+1=1， 故选：A第 10 页，共 21 页原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键6.【答案】C【解析】解：两直线 平行，同旁内角互补，故此选项错误； 等腰三角形有一个外角是 80，则这个三角形的底角的度数是 40，正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误； 线段、等腰三角形、 长方形、圆、角是轴对称图形，正确 故选：C 直接利用等腰三角形的性质以及平行线的性质和轴对称图形的定义分别分析得出答案此题主要考查了等腰三角形的性质

16、以及平行线的性质和轴对称图形的定义，正确把握相关定义是解题关键7.【答案】D【解析】解：如图作 DEAB 于 E由作图可知，DA 平分 CAB，DAC=DAB，故 A 正确，DCAC，DEAB，DC=DE，故 B 正确，若 B=30，则CAB=60，DAC=DAB=30，ADC=B+DAB=60，CDA=CAB，故 C 正确，无法判断 BD=2CD，故 D 错误，第 11 页，共 21 页故选：D根据角平分线的性质定理即可一一判断；本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8.【答案】D【解析】解：A、 锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；

17、B、白日依山尽，黄河入海流是必然事件； C、离离原上草，一岁一枯荣是必然事件； D、春眠不 觉晓 ，处处闻啼鸟是随机事件； 故选：D根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件的定义9.【答案】C【解析】解：延长 CB 至 M，使 BM=DH，连接 AM；如图所示：四边形 ABCD 是正方形，正方形 ABCD的面积为 16cm2，AB=BC=CD=4cm，BAD=ABC=D=90，ABM=90，在ABM 和ADH 中，ABMADH（SAS），AM=AH，BAM=DAH，AEF 是等腰直角三角形，HAG=45，BAG+DAH=4

18、5，MAG=45，在AMG 和AHG 中，第 12 页，共 21 页，AMGAHG（SAS），GM=GH，CGH 的周 长=GH+CG+CH=GM+CG+CH=BM+BG+CG+CH=DH+BG+CG+CH=BC+CD=8故选：C 延长 CB 至 M，使 BM=DH，连接 AM；先证明 ABMADH（SAS），得出AM=AH，BAM=DAH，证出 MAG=HAG，再证 明AMBAHG（SAS）得出 GM=GH，即可求出结果本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，题目的综合性较强，难度较大，证明三角形全等是解决 问题的关键10.【答案】B【解析】解：1= 3， A

19、DBC 故错误 C+1+4=180，则 C+ADC=180 ADBC 故正确 A=C，ABC=ADC，且 A+C+ABC+ADC=360 C+ABC=180 ABDC；故正确 BD 平分ABC 2=3 且2=4 3=4， BC=CD 故正确 ADBC A+ABC=180且A=C ABC+C=180 ABCD 故正确 故选：B 根据平行线的判定方法可对的判断本题考查了平行线的判定，关键是熟练运用平行线的判定解决问题11.【答案】2.510 -6【解析】第 13 页，共 21 页解：0.0000025 米用科学记数法表示为 2.510-6； 故答案为：2.510 -6绝对值小于 1 的正数也可以利

20、用科学记数法表示，一般形式为 a10-n，与 较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10-n，其中 1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定12.【答案】15【解析】解：把一个含有 45的直角三角形的两个 顶点放在直尺的对边上， 2=30，3=45-2=45-30=15，直尺的两边互相平行，1=3=15故答案为：15 先根据直角三角板的性质求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等13.

21、【答案】2000【解析】解：设当每月乘客量达到 x 人以上时，该公交车才不会亏损， 则 1.5x-30000， 解得：x2000， 故答案为：2000设当每月乘客量达到 x 人以上时，该公交车才不会亏损，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可此题主要考查了函数的表示方法，解题的关键首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出关系式即可求解14.【答案】30【解析】第 14 页，共 21 页解：DEBF ，ABBF，ABC=EDC=90，在ABC 和EDC 中，ABCEDC（ASA），AB=DE=30故答案为：30已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑 ASA 证明三角形全等，从而推出线段相等

22、由“角边角”可说明 ABCEDC，所以 DE=BA本题主要考查了全等三角形的应用在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解15.【答案】4.5cm【解析】解：由折叠可得，AD=BD，AE=BE，ABC 与ACD 的周长分别为 24cm、15cm，AC+BC+AB=24cm，AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=15cm，AB=24-15=9cm，AE= AB=4.5cm，故答案为：4.5cm依据折叠可得 AD=BD，依据ABC 与ACD 的周长分别为 24cm、15cm，即可得出 AB=9，再根据 E 是 A

23、B 的中点，即可得到 AE 的长本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等是解答此题的关键16.【答案】(+1)2【解析】解：当有 1 点 D 时，有 1 对 全等三角形；当有 2 点 D、E 时，有 3 对 全等三角形；第 15 页，共 21 页当有 3 点 D、E、F 时，有 6 对全等三角形；当有 4 点时，有 10 个全等三角形；当有 n 个点时，图中有 个全等三角形故答案为： 根据图形得出当有 1 点 D 时，有 1 对全等三角形；当有 2 点 D、E 时，有 3 对全等三角形；当有 3 点 D、E、F 时

24、，有 6 对全等三角形；根据以上结果得出当有 n 个点时，图中有 个全等三角形即可本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度17.【答案】解：原式=x 2-4xy+4y2-y2+x2-3y2+2xy=2x2-2xy，当 x=2，y=-1 时，原式=8+4=12【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18.【答案】（b-a） 2 （a+b） 2=（b-a） 2+4ab【解析】解：（1）、1）图中

25、的阴影部分的面积为（b-a） 2，2）由图 2 知，（a+b） 2、（a-b）2、ab 之间的等量关系是（a+b ）2=（b-a）2+4ab，即（a+b）2=（a-b）2+4ab，故答案为：（b-a） 2、（a+b）2=（b-a）2+4ab；（2）（x+y）2=（x-y）2+4xy=52+4=25+11=36；第 16 页，共 21 页（3）当 A= ，B=x+2y-3 时，原式=A 2-2AB+B2-A2-2AB-B2=-4AB=-4 （x+2y-3）=-（x-2y-3）（x+2y-3）=-（x-3）2-4y2=-（x2-6x+9-4y2）=4y2-x2+6x-9（1）、1）阴影部分为一个正

26、方形，其边长为 b-a，即可求出面积；2）根据大正方形面积的两种不同求法即可得；（2）由（x+y ）2=（x-y）2+4xy，代入计算可得；（3）将 A、B 代入原式=A 2-2AB+B2-A2-2AB-B2=-4AB，进一步利用平方差公式和完全平方公式计算可得此题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算法则与完全平方公式、平方差公式19.【答案】解：（- ） -2+45（2 224）12=4+21026=4+24=20；2a（3a-2）-（18a 3-15a2）3a=6a2-4a-6a2+5a=a【解析】直接利用负 指数幂的性 质以及同底数幂的乘除运算法 则分别计算得出答案；

27、 直接利用单项 式乘以多 项式以及整式除法运算法 则计算得出答案此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键第 17 页，共 21 页20.【答案】解：（1）随机抽取 1 张，抽到卡片数字是奇数的概率为 ；23（2）画树状图得：所以两位数有：12、13、21、23、31、32；（3）因为在所得 6 种等可能结果中，组成的两位数是偶数的有 2 种，组成的两位数是偶数的概率为 = 2613【解析】（1）先求出这组数中奇数的个数，再利用概率公式解答即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （3）由（2）中列举情况结果即可求出组成的两位数

28、是偶数的概率本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比21.【答案】解：（1）如图所示，DEF 即为所求；（2）由图可得，S=42- 21- 31- 41=3.512 12 12【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于直线 a 的对称图形； （2）利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积第 18 页，共 21 页此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键22.【答案】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为 1500，小明家的纵坐标为

29、 0，故小明家到学校的路程是 1500 米；（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从（8 分）到（12 分），故小明在书店停留了 4 分钟（3）一共行驶的总路程=1200+（1200-600）+（1500-600）=1200+600+900=2700 米；共用了 14 分钟（4）由图象可知：06 分钟时，平均速度= =200 米/分，1200668 分钟时，平均速度= =300 米/分，1200600861214 分钟时，平均速度= =450 米/分，15006001412所以，1214 分钟时速度最快，不在安全限度内【解析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，

30、可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得 时间，根据路程与时间的关系，可得速度本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系23.【答案】解：BECF，BEA=90，BED=CFD=90，D 是 EF 的中点，ED=FD=3， （1 分）在BED 与CFD 中，=BEDCFD（ASA）CF=EB=6，CD=BD （4 分）AF=CF，AF=6，第 19 页，共 21 页AD=AF+

31、DF=6+3=9，（5 分）ABC 的面积= ADCF2= 962=54cm2 （7 分）12 12【解析】先证明BEDCFD，得 CF=EB=6，CD=BD，计算 AD 的长，由三角形面积公式得结论此题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题，掌握全等三角形的判定是灵活解决问题的基础和关键24.【答案】（1）证明：BAC=EAF =60，BAC-CAF=EAF-CAF，EAC=BAF，AB=AC，B=ACB=（180-6）2=60，ACD=60，ACD=D，在CAE 和BAF 中，=CAEBAF（2）解：CAEBAF，AE=AF，AEC= AFB，AEF=AFE=（180-60）2=60

32、 ，AEC+AED=AFC+AFB=180，AED=AFC=70，EFC=AFC-AFE=70-60=10（3）解：当 F 点是 BC 的中点时，AC EF理由：CAEBAFAE=AF，CE=BF，BF=CF，CE=CF，ACEF【解析】（1）根据 ASA 即可证明； （2）根据EFC=AFC- AFE，只要求出AFC 、AFE 即可； （3）当 F 点是 BC 的中点时，ACEF，只要 证明 AE=AF，CE=CF 即可；第 20 页，共 21 页本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型25.【答案】解：（1）BC =

33、CE+CD；BCCE，理由如下：ABC 和ADE 是等腰三角形，AB=AC AD=AE，BAC=DAE=90，ABC =BCA=45，BAC-DAC=DAE-DAC，BAD=CAE，在DAB 与EAC 中，= DABEAC（SAS ），BD=CE，B=ACE=45 ，BC=BD+CD，BC=CE+CD，BCE=ACB+ACE=90， ABC=BCA=45，BCCF；（2）CE BC 成立； BC=CD+CE 不成立，结论：CD=CE+ BC，理由如下：ABC 和ADE 是等腰三角形，AB=AC AD=AE，BAC=DAE=90，ABC =BCA=45，BAC-BAE=DAE-BAE，BAD=C

34、AE，在DAB 与EAC 中，= DABEAC（SAS ），BD=CE，ABD =ACE，DC=BD+BC，CD=CE+BC，ABD=ACE=180-ABC=180-45=135，BCE=ACE-ACB=135-450=90，BCCE；（3）CE BC 成立； BC=CD+CE 不成立，结论：CE =BC+CD，同（1）可以得到DAB EAC，BD=CE，ABD =ACE，CE=BD=BC+CD，CE=BC+CD，BC=CE-CD=10-2=8（cm ）【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到ABC= BCA=45，得到 BAD=CAE，利用 SAS 定理证明DAB EAC，根据全等三角形的性质得到第 21 页，共 21 页BD=CE，B=ACE=45，结合图形证明； （2）同（1）的证明方法； （3）同（1）的证明方法，根据得到的结论代入计算即可本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键