2019年上海市虹口区高考数学二模试卷(含答案解析)
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1、2019 年上海市虹口区高考数学二模试卷一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)1 (4 分)设全集 UR,若 A x|x3| 1 ,则 UA 2 (4 分)若复数 zi(2i) (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 3 (4 分)已知 , 在第四象限,则 4 (4 分)行列式 的元素 的代数余子式的值等于 5 (4 分)5 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 6 (4 分)已知 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点,点 P 为椭圆 C 上的点,|PF1|8,若 M 为线段 PF1 的中
2、点,则线段 OM 的长为 7 (5 分)若函数 f(x )x|x a|4(aR )有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 8 (5 分)若函数 (kR)为偶函数,则 k 的值为 9 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 10 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点O,如图所示,双曲线 是以 C、F 为焦点的,且经过正六边形的顶点 A、B、D、E,则双曲线 的方程为 11 (5 分)若函数 ,则 f(2019)的值为 12 (5 分)过点 作圆 (mR)的切线,切点分别为 A、 B,则 的最小值为 二.选择题(本大题共
3、 4 题,每题 5 分,共 20 分)13 (5 分)已知 、 是两个不同平面,m 为 内的一条直线,则“m ”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14 (5 分)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB1, ,则 AC 等于( )A1 B2 C D515 (5 分)已知直线 l 经过不等式组 表示的平面区域,且与圆 O:x 2+y216相交于 A、B 两点,则当 |AB|最小时,直线 l 的方程为( )Ay20 Bxy+40 Cx+y20 D3x +2y13016 (5 分)已知等比数列a n的首项为 2,公比为 ,其前 n 项和记为 Sn,若对任
4、意的nN*,均有 A3S n B 恒成立,则 BA 的最小值为( )A B C D三.解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+1876 分)17 (14 分)已知函数 (a0,a1) (1)若函数 f(x )的反函数是其本身,求 a 的值;(2)当 时,求函数 yf (x)+f(x )的最小值18 (14 分)如图,在多面体 ABCA1B1C1 中,AA 1、BB 1、CC 1 均垂直于平面ABC,AA 14,CC 13, BB1ABAC 2,BAC 120(1)求 AB1 与 A1B1C1 所成角的大小;(2)求二面角 AA 1B1C 1 的大小19 (14 分)如图,一块长方
5、形区域 ABCD,AB1,AD2,在边 AD 的中点 O 处有一个可转动的探照灯,其照射角EOF 始终为 ,设AOE,探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为 S(1)求 S 关于 的函数关系式;(2)当 时,求 S 的最大值20 (16 分)设 F 为抛物线 C:y 24x 的焦点,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B两点(1)若 ,求此时直线 l 的方程;(2)若与直线 l 垂直的直线 l1 过点 F,且与抛物线 C 相交于点 M、N ,设线段 AB、MN的中点分别为 P、Q,如图 1,求证:直线 PQ 过定点;(3)设抛物线 C 上的点 S、 T 在其准线上的射影分别为
6、 S1、T 1,若S 1T1F 的面积是STF 的面积的两倍,如图 2,求线段 ST 中点的轨迹方程21 (18 分)设各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn,且a11,a n2S n+Sn1 (nN *,n2) ,数列 bn满足 (nN *) (1)求数列a n、b n的通项公式;(2)设 cn ,T n 是c n的前 n 项和,求正整数 m,使得对任意的nN*,均有 TmT n;(3)设 B x|xk 1b1+k2b2+knbn,且 x0,其中 k1, k2,k n1,1(nN *,n2) ,求集合 B 中所有元素的和2019 年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填
7、空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)1 (4 分)设全集 UR,若 A x|x3| 1 ,则 UA 2,4 【分析】利用补集定义直接求解【解答】解:全集 UR,集合 A x|x3| 1 x|x4 或 x2) , UAx|2 x42 ,4故答案为:2,4【点评】本题考查补集的求法,考查补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2 (4 分)若复数 zi(2i) (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 12i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案【解答】解:由 zi(2i)1+2i,得 故答案为:12i
8、【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3 (4 分)已知 , 在第四象限,则 【分析】由 , 在第四象限,求出 sin ,再由sin ,能求出结果【解答】解: , 在第四象限,sin , sin 故答案为: 【点评】本题考查三角函数值的求法,考查诱愉公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题4 (4 分)行列式 的元素 的代数余子式的值等于 7 【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解【解答】解:行列式 的元素 的代数余子式的值为:(1) 2+1 (4cos 9sin )(29)7故答案为:7【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法,考查代数余子式的定
9、义和性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5 (4 分)5 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 【分析】设 A周六、周日都有同学参加公益活动 ,计算出事件 A 包含的基本事件的个数,除以基本事件的总数可得【解答】解:设 A周六、周日都有同学参加公益活动 ,基本事件的总数为 2532 个,而 5 人都选同一天包含 2 种基本事件,故 A 包含 32230 个基本事件,p(A) 故填: 【点评】本题考查古典概型的概率计算,可以用对立事件来求事件 A 包含的基本事件属于基础题6 (4 分)已知 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点,点 P 为椭
10、圆 C 上的点,|PF1|8,若 M 为线段 PF1 的中点,则线段 OM 的长为 2 【分析】求出椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义转化求解即可【解答】解:F 1、F 2 是椭圆 的两个焦点,可得 F1(3,0) ,F2(3,0) a6点 P 为椭圆 C 上的点,|PF 1|8,则,| PF2|4,M 为线段 PF1 的中点,则线段 OM 的长为: |PF2|2故答案为:2【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查7 (5 分)若函数 f(x )x|x a|4(aR )有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 (4,+ ) 【分析】利用数形结合,通过 a 与 1 的大小讨论,转化求解
11、 a 的范围即可【解答】解:函数 f(x )x|x a|4 有三个不同的零点,就是 x|xa| 4 有三个不同的根;当 a0 时,函数 yx |xa| 与 y4 的图象如图:;函数 f(x)x|x a|4(aR )有 3 个零点,必须 ,解得 a4,当 a0 时,函数 yx|xa| 与y4 的图象如图: :函数 f(x)x|x a|4 不可能有三个不同的零点,综上 a(4,+) 故答案为:(4,+) 【点评】本题考查函数与方程的综合应用,考查数形结合以及分类讨论思想的应用,考查计算能力8 (5 分)若函数 (kR)为偶函数,则 k 的值为 1 【分析】根据题意,由函数奇偶性的定义可得 f(x
12、)f(x) ,即 log3(9 x+1)+kxlog 3(9 x +1)+k(x) ,变形可得 k 的值,即可得答案【解答】解:根据题意,函数 (kR)为偶函数,则有 f(x) f(x ) ,即 log3(9 x+1)+kx log 3(9 x +1)+ k(x) ,变形可得:2kxlog 3(9 x +1)log 3(9 x+1)2x,则有 k1;故答案为:1【点评】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题9 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 【分析】画出三视图对应的几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解:由题
13、意可知几何体的直观图如图:是正方体的一部分,正方体的棱长为2,所以几何体的体积为: 故答案为: 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,画出三视图定义的几何体是解题的关键10 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点O,如图所示,双曲线 是以 C、F 为焦点的,且经过正六边形的顶点 A、B、D、E,则双曲线 的方程为 【分析】求出 B 的坐标,代入双曲线方程,结合焦距求出 a,b 即可得到双曲线方程【解答】解:由题意可得 c1,边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点 O,如图所示,双曲线 是以 C、F 为焦点的,且经过正六边
14、形的顶点 A、B、D、E,可得 B( , ) ,代入双曲线方程可得: ,a 2+b21,解得 a2,b 2 ,所求双曲线的方程为: 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法,是基本知识的考查11 (5 分)若函数 ,则 f(2019)的值为 1 【分析】根据题意,由函数的解析式求出 f(0)与 f( 1)的值,据此依次求出 f(1) 、f(2) 、f(3) 、f(4) 、f(5)的值,分析可得 f(x )f(x+6) , (x1) ,据此可得f(2019)f(3+3366)f(3) ,即可得答案【解答】解:根据题意,函数 ,当 x0 时,f( x)2 x ,则 f
15、(0)2 01,f (1)2 1 2,当 x0 时,f( x)f(x 1)f(x2) ,则 f(1)f(0)f(1)121,f(2)f(1)f(0)112,f(3)f(2)f(1)2(1)1,f(4)f(3)f(2)1(2)1,f(5)f(4)f(3)1(1)2,f(6)f(5)f(4)211,f(5)f(1) ,f(6)f(0) ,则有 f(x)f(x +6) , (x 1) ,则 f(2019)f(3+3366)f(3)1;故答案为:1【点评】本题考查分段函数值的计算,注意分析分段函数的解析式的形式,属于基础题12 (5 分)过点 作圆 (mR)的切线,切点分别为 A、 B,则 的最小值为
16、 【分析】根据圆心到点 P 的距离以及平面向量的数量积定义,求出 PC 的最小值,计算再计算 的最小值【解答】解:圆 C:(x m) 2+(ym +1) 21 的圆心坐标为( m,m1) ,半径为 1,PC ,PAPB ,cosAPC ,cos APB2( ) 211 , (PC 21)( 1 )3+PC 2+ 3+2 3+2,当且仅当 PC 时取等号, 的最小值为 2 3故答案为:2 3【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题,也考查了直线与圆的位置关系应用问题,是中档题二.选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)13 (5 分)已知 、 是两个不同平面,m 为 内的一条直线
17、,则“m ”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】m 不一定得到直线与平面平行,还有一种情况可能是直线和平面相交,需要有另一条和它相交的直线也平行于平面,当两个平面平行时,一个平面上的直线一定平行于另一个平面,一定存在 m【解答】解:、 表示两个不同的平面,直线 m,m ,不一定得到直线与平面平行,还有一种情况可能是直线和平面相交,需要有另一条和它相交的直线也平行于平面,当两个平面平行时,一个平面上的直线一定平行于另一个平面,一定存在 m“m”是“ ”的必要不充分条件故选:B【点评】本题考查条件的判断和平面的基本性质及推论,本题解题的关键是
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