2019年北京市昌平区中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2019 年北京市昌平区中考数学二模试卷一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1 （2 分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）A BC D2 （2 分）2019 年全国两会期间其中某一天产生的信息有 122863 条，热度最高的三个关键词分别是：“健康” “医疗”和“教育” ，请将 122863 用科学记数法表示（ ）A1.2286310 5 B12.286310 4C0.12286310 6 D122.863 103 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A|a| 3 Bcb0

2、Ca+c0 Dbd04 （2 分）二元一次方程组 的解是（ ）A B C D5 （2 分）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（1，4） ，长陵的位置坐标（2，0） ，则定陵的位置坐标为（ ）A （5，2） B （5，2） C （2，5） D （5，2）6 （2 分）如果 m+n2，那么代数式 的值是（ ）A2 B1 C D17 （2 分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，下列说法不一定成立的是（

3、）AS ABC S ADC BS 矩形 NFGDS 矩形 EFMBCS ANF S 矩形 NFGD DS AEF SANF8 （2 分）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校如图是他们从家到学校已走的路程 s（米）和所用时间t（分钟）的关系图则下列说法中正确的是（ ）小明家和学校距离 1200 米；小华乘坐公共汽车的速度是 240 米/分；小华乘坐公共汽车后 7：50 与小明相遇；小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是 100 米/分时

4、，他们可以同时到达学校A B C D二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）9 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，则AOB COD （填“” ， “”或“” ）10 （2 分）代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 11 （2 分）若正多边形的一个内角等于 120，则这个正多边形的边数是 12 （2 分）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共 60 只，这些球除颜色外其余完全相同为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：摸球的次数

5、 n 50 100 300 500 800 1000摸到红球的次数 m 14 33 95 155 241 298摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298请估计：当次数 n 足够大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到 0.1）13 （2 分）某学校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 种14 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 CF6，则 AF 的长为 15 （2 分）今有甲、乙、丙三

6、名候选人参与某村村长选举，共发出 1800 张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票） 候选人投票点甲 乙 丙废票 合计一 200 211 147 12 570二 286 85 244 15 630三 97 41 205 7 350四 250三名候选人 有机会当选村长（填甲、乙、丙） ，并写出你的推断理由 16 （2 分） “五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有 50 升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶 130 公里

7、时，油箱里剩油量为 升三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17 （5 分）计算： +（2019） 04sin45+|2| 18 （5 分）解不等式组：19 （5 分）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行线” 小明的作法如下：在直线 l 上取一点 A，以点 A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B；分别以 P，B 为圆心，以 AP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q（与点 A 不重合） ；作直线 PQ所以直线 PQ 就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成

8、下面的证明证明：ABAP 四边形 ABQP 是菱形（ ） （填推理的依据） PQl20 （5 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x24x +m+1 0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根21 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点E，延长 BC 至 F，使 CF BE，连接 DF（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（2）若 BF8，DF 4，求 CD 的长22 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 （x0）的图象与直线 y2x2交于点为 A（2，m） （

9、1）求 k，m 的值；（2）点 B 为函数 （x 0）的图象上的一点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，当AC2AB 时，求点 C 的坐标四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分）23 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 Q为 CA 延长线上一点，延长 QD 交 BC 于点 P，连接 OD， ADQ DOQ （1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 AQAC，AD2 时，求 BP 的长24 （6 分）近日，某中学举办了一次以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为主题的诗词大会比赛，初一和初二两个年级各有 600 名学生参加

10、为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表分组/分 频数 频率5060 2 6070 4 0.107080 0.208090 14 0.3590100 12 0.30合计 40 1.00请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中 8090 分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 8

11、8.5 89根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为 ；若初一学生样本成绩的中位数为 80，甲同学在比赛中得到了 82 分，在他所在的年级中位居 275 名，根据上述信息推断甲同学所在年级为 （填“初一”或“初二” ） ；若成绩在 85 分及以上为“优秀” ，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为 人25 （6 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点，过点 C 作射线 CG，使 CGAB，连接 ED，并延长 ED 交 CG 于点F，连接 AF设 A，E 两点间的距离为 xcm，A，F 两点间的距离为 y

12、1cm，E，F 两点间的距离为 y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y 2 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1） ，（x，y 2） ，并画出函数 y1，y 2 的图象；（3

13、）结合函数图象，解决问题：当AEF 为等腰三角形时，AE 的长度约为 cm26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+1 与抛物线 yax 2+bx+3a 交于点 A 和点B，点 A 在 x 轴上（1）点 A 的坐标为 （2） 用等式表示 a 与 b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；当 AB 时，结合函数图象，求 a 的取值范围五、解答题（共 2 道小题，每小题 7 分，共 14 分）27 （7 分）在正方形 ABCD 中，AC 是一条对角线，点 E 是边 BC 上的一点（不与点 C 重合） ，连接 AE，将 ABE 沿 BC 方向平移，使点 B 与点 C 重合，得到DCF，

14、过点 E作 EG AC 于点 G，连接 DG，FG （1）如图 1，依题意补全图 1；判断线段 FG 与 DG 之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为 6，当AGD60时，求 BE 的长28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 及以点 C 为圆心，1 为半径的C，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点， Q 为 C 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M 到C 的“圆距离” ，记作 d（MC） （1）点 C 在原点 O 时，记点 A（4， 3）为图形 M，则 d（MO ） ；点 B 与点 A 关于 x 轴对称，记线段 A

15、B 为图形 M，则 d（M O） ；记函数 ykx+4 （k0）的图象为图形 M，且 d（MO）1，直接写出 k 的取值范围；（2）点 C 坐标为（t，0）时，点 A，B 与（1）中相同，记AOB 为图形 M，且d（MC）1，直接写出 t 的值2019 年北京市昌平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1 （2 分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）A BC D【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答【解答】解：A、圆锥俯视图是圆（带圆心） ，故此选项错误；B、长方体俯视图是矩

16、形，故此选项正确；C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；故选：B【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中2 （2 分）2019 年全国两会期间其中某一天产生的信息有 122863 条，热度最高的三个关键词分别是：“健康” “医疗”和“教育” ，请将 122863 用科学记数法表示（ ）A1.2286310 5 B12.286310 4C0.12286310 6 D122.863 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动

17、了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 122863 用科学记数法表示为：1.2286310 5故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A|a| 3 Bcb0 Ca+c0 Dbd0【分析】观察数轴，找出 a、b、c、d 四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论【解答】解：A、a2，|

18、a |2 ，结论 A 错误；B、b0，c 0，cb0，结论 B 正确；C、a2，0c 1，a+c0，结论 C 错误；D、b0，d2，bd0，结论 D 错误故选：B【点评】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键4 （2 分）二元一次方程组 的解是（ ）A B C D【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解： ，+得：3x 6，解得：x2，把 x2 代入得：y0，则方程组的解为 ，故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法5 （2 分）如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（

19、1，4） ，长陵的位置坐标（2，0） ，则定陵的位置坐标为（ ）A （5，2） B （5，2） C （2，5） D （5，2）【分析】根据庆陵的位置坐标（1，4） ，长陵的位置坐标（2，0） ，建立直角坐标系，然后直接写出定陵的位置坐标【解答】解：根据庆陵的位置坐标（1，4） ，长陵的位置坐标（2，0） ，建立直角坐标系，如图所以定陵的位置坐标为（5，2） ，故选：D【点评】本题考查了坐标确定位置，正确建立直角坐标系是解题的关键6 （2 分）如果 m+n2，那么代数式 的值是（ ）A2 B1 C D1【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和

20、分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式【解答】解：原式（ ） m+ n 2，原式 1，故选：B【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键7 （2 分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）AS ABC S ADC BS 矩形 NFGDS 矩形 EFMBCS ANF S 矩形 NFGD DS AEF SANF【分析】根据矩形的性质：

21、矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论【解答】解：ADEGBC ，MNABCD四边形 AEFN 是平行四边形，四边形 FMCG 是平行四边形S AEF S AFN ，S FMC S CGF ，S ABC S ACD ，S 矩形 BEFM S 矩形 NFGD，选项 A、B 、D 是正确的故选：C【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型8 （2 分）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共

22、汽车到了学校如图是他们从家到学校已走的路程 s（米）和所用时间t（分钟）的关系图则下列说法中正确的是（ ）小明家和学校距离 1200 米；小华乘坐公共汽车的速度是 240 米/分；小华乘坐公共汽车后 7：50 与小明相遇；小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是 100 米/分时，他们可以同时到达学校A B C D【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决【解答】解：由图象可得，小明家和学校距离为 1200 米，故正确；小华乘坐公共汽车的速度是 1200（138）240 米/分，故正确；4802402（分） ，8+210（分） ，则小

23、华乘坐公共汽车后 7：50 与小明相遇，故正确；小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是 100 米/分时，小华从家到学校的所用时间为：120010012（分） ，则小华到校时间为 8：00，小明到校时间为 8：00，故正确；故选：D【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）9 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，则AOB COD （填“” ， “”或“” ）【分析】根据 tanAOB 与 tanCOD 的大小比较即可求解【解答】解：根据题意可知 tanAOB2，tan COD2，

24、AOBCOD，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键10 （2 分）代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解： 在实数范围内有意义，x10，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 011 （2 分）若正多边形的一个内角等于 120，则这个正多边形的边数是 6 【分析】多边形的内角和可以表示成（n2）180，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成 120

25、n，列方程可求解此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解【解答】解：解法一：设所求正 n 边形边数为 n，则 120n（n2）180，解得 n6；解法二：设所求正 n 边形边数为 n，正 n 边形的每个内角都等于 120，正 n 边形的每个外角都等于 18012060又因为多边形的外角和为 360，即 60n360，n6故答案为：6【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理12 （2 分）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共 60 只，这些球除颜色外其余完全相同为了估计红球和黑球的个数，七（2

26、）班的数学学习小组做了摸球实验他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：摸球的次数 n 50 100 300 500 800 1000摸到红球的次数 m 14 33 95 155 241 298摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298请估计：当次数 n 足够大时，摸到红球的频率将会接近 0.3 （精确到 0.1）【分析】由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于 0.3 可得；【解答】解：当次数 n 足够大时，摸到红球的频率将会接近 0.3，故答案为：0.3；【点评】考查利用频率估

27、计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率13 （2 分）某学校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 3 种【分析】设可以购买 x 个篮球，y 个排球，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y的二元一次方程，结合 y 为正整数、x 为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解【解答】解：设可以购买 x 个篮球，y 个排球，依题意，得：120x+90y 1200，x10 yy 为正整数，x 为非负整数， ， ， 共有 3 种购买方案故答案为：3【点评】本题考查了二

28、元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键14 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 CF6，则 AF 的长为 3 【分析】由平行四边形的性质得出 ABCD，ABCD，由 E 是边 AB 的中点，得出AE AB CD，证AEFCDF，即可求出 AF 的长【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，AB CD ，E 是边 AB 的中点，AE AB CD，ABCD，AEF CDF， ，CF6，AF3，故答案为：3【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角表的判定与性质等，较基础，解题关键是掌握

29、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质15 （2 分）今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出 1800 张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票） 候选人投票点甲 乙 丙废票 合计一 200 211 147 12 570二 286 85 244 15 630三 97 41 205 7 350四 250三名候选人 甲或丙 有机会当选村长（填甲、乙、丙） ，并写出你的推断理由 第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97583；乙得票数为

30、：211+85+41337；丙得票数为：147+244+205596：59658313，即丙目前领先甲 13 票，所以，第四投票所甲赢丙 14 票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙 13 票以下，则丙当选，故丙可能当选；而 596337259250，若第四投票点的 250 票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长， 【分析】根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案【解答】解：第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97583；乙得票数为：211+85+41337；丙得票数为：147+

31、244+205596：59658313，即丙目前领先甲 13 票，所以，第四投票所甲赢丙 14 票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙 13 票以下，则丙当选，故丙可能当选；而 596337259250，若第四投票点的 250 票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，故答案为：甲或丙，第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97583 ；乙得票数为：211+85+41337；丙得票数为：147+244+205596：59658313，即丙目前领先甲 13 票，所以，第四投票所甲赢丙 14 票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙 1

32、3 票以下，则丙当选，故丙可能当选；而 596337259250，若第四投票点的 250 票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长【点评】此题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键16 （2 分） “五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有 50 升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶 130 公里时，油箱里剩油量为 37 升【分析】找准几个关键点进行分析解答即可【解答】解：由图象可知：当用时 1 小时时，油量剩余 45 升，行驶了 30 公里；当用时在 12.5 小时之间时，可得：每小时行驶的里程为 公里

33、，每小时耗油量为 升当用时 1+12 小时时，此时刚好行驶了 130 公里，此时油箱里的剩油量为：458137 升，故答案为：37【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17 （5 分）计算： +（2019） 04sin45+|2| 【分析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式2 +14 +22 +12 +23【点评】本题

34、主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数等考点的运算18 （5 分）解不等式组：【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解： ，由可得： x4；由可得： x1；所以不等式组的解集为：1x4【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 19 （5 分）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行线” 小明的作法如下：在直线 l 上取

35、一点 A，以点 A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B；分别以 P，B 为圆心，以 AP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q（与点 A 不重合） ；作直线 PQ所以直线 PQ 就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABAP PQ BQ 四边形 ABQP 是菱形（ 四边相等的四边形是菱形 ） （填推理的依据） PQl【分析】 （1）根据要求作出图形即可（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断【解答】解：（1）如图所示（2）：ABAP PQBQ四边形 ABQP 是菱形（四边相等的四边形是菱形） PQl故答案为：PQ，

36、BQ，四边相等的四边形是菱形【点评】本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20 （5 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x24x +m+1 0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根【分析】 （1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的取值范围；（2）由（1）中所求 m 的取值范围，取一个 m 的值，代入方程求解即可【解答】解：（1）一元二次方程有两个不相等实根，164（m+1）0，124m0，m3；（2）当 m1 时，x（x4）0，x 10，x

37、24【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键21 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点E，延长 BC 至 F，使 CF BE，连接 DF（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（2）若 BF8，DF 4，求 CD 的长【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ADBC 且 ADBC，等量代换得到 BCEF，推出四边形 AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）设 BCCDx ，则 CF8x 根据勾股定理即可得到结论【解答】 （1）证明：在菱形 ABCD 中，ADBC 且

38、ADBC，BECF，BCEF，ADEF，ADEF，四边形 AEFD 是平行四边形，AEBC，AEF 90，四边形 AEFD 是矩形；（2）解：设 BCCDx ，则 CF8x在 Rt DCF 中，x 2（8x） 2+42 ，x5，CD5【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键22 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 （x0）的图象与直线 y2x2交于点为 A（2，m） （1）求 k，m 的值；（2）点 B 为函数 （x 0）的图象上的一点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，当AC2AB 时，求点 C 的坐标【分析】 （1）将 A 点代入

39、 yx 2 中即可求出 m 的值，然后将 A 的坐标代入反比例函数中即可求出 k 的值（2）根据题意求得 B 的横坐标，代入反比例函数的解析式求得纵坐标，然后根据待定系数法求得直线 AB 的解析式，即可求得 C 点的坐标【解答】解：（1）直线 y2x2 过点 A（2，m ） ，m2222A（2，2） ， （x0）过点 A（2，2） ，k224；（2）AC2AB，B 点的横坐标为 1 或 3，把 x1 或 3 代入 y 得，y4 或 ，B（1，4） ，或（3， ） ，设直线 AB 为 yax +b，把 A、B 的坐标代入求得解析式为 y2x +6 或 y x+ ，令 x0，则 C（0，6）或 C

40、（0， ） 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出 B 点的坐标四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分）23 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 Q为 CA 延长线上一点，延长 QD 交 BC 于点 P，连接 OD， ADQ DOQ （1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 AQAC，AD2 时，求 BP 的长【分析】 （1）连接 DC，根据圆周角定理得到DCA DOA，由于ADQ DOQ ，得到DCAADQ ，根据余角的性质得到ADQ +ADO 90，于是得到结论；（2）根据切线的判定定理得到

41、PC 是 O 切线，求得 PDPC，连接 OP，得到DPO CPO ，根据平行线分线段长比例定理得到 OP3，根据三角形的中位线的性质得到 AB6，根据射影定理即可得到结论【解答】解：（1）连接 DC， ，DCA DOA，ADQ DOQ，DCAADQ，AC 是O 的直径，ADC90DCA+DAC90，ADQ +DAC90，ADODAO，ADQ +ADO90，DP 是 O 切线；（2）C90，OC 为半径PC 是O 切线，PDPC，连接 OP，DPO CPO ，OPCD，OPAD ，AQAC2OA， ，AD2，OP3，OP 是ACB 的中位线，AB6，CDAB ，C90，BC 2BDBA 24，

42、BC ，BP 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键24 （6 分）近日，某中学举办了一次以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为主题的诗词大会比赛，初一和初二两个年级各有 600 名学生参加为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表分组/分 频数 频率5060 2 0.05 6070 4 0.107080 8

43、 0.208090 14 0.3590100 12 0.30合计 40 1.00请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中 8090 分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为 82.75 ；若初一学生样本成绩的中位数为 80，甲同学在比赛中得到了 82 分，在他所在的年级中位居 275 名，根据上述信息推断甲同学所在年级为 初一 （填“初一”或“初二” ） ；若成绩在 85 分及以上为“优秀” ，请你根据抽取的样本数

44、据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为 270 人【分析】 （1）频数 40.100.208，频率 10.100.200.350.300.05；（2）中位数为（ 82.5+83）282.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为 【解答】解：（1）频数 40.100.208，频率 10.100.200.350.300.05，频数分布直方图补全如下：故答案为 8，0.05；（2） 根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数 20、21 的平均数，落在 8090 分8090 分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5

45、 87 88 88.5 89，中位数为（ 82.5+83）282.75故答案为 82.75；600 名学生，中位数为第 300、301 的中位数，而甲同学在比赛中得到了 82 分，在他所在的年级中位居 275 名，初一学生样本成绩的中位数为 80，8280，该同学为初一，故答案为：初一；初二学生样本中，85 分以上共有 18 人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为故答案为 270【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小25 （6 分）如图，在

46、ABC 中，C90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点，过点 C 作射线 CG，使 CGAB，连接 ED，并延长 ED 交 CG 于点F，连接 AF设 A，E 两点间的距离为 xcm，A，F 两点间的距离为 y1cm，E，F 两点间的距离为 y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y 2 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y 1） ，（x，y 2） ，