2019年北京市大兴区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

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1、2019 年北京市大兴区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 Ax| x0，B2，1，0，1，2，那么 AB 等于（ ）A0 ，1，2 B1 ，2 C 2，1 D 2，1，02 （5 分）已知 a3 0.4， ， ，则（ ）Aabc Bacb Ccba Dc ab3 （5 分）若 x，y 满足 则 2xy 的最大值为（ ）A6 B4 C6 D84 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为 16，则判断框内的条件为（ ）An6？ Bn7？ Cn8？ Dn9？5 （5 分）已知

2、抛物线 C：y 2x，直线 l：y kx+1 ，则“k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）已知 a0，b0，若 a+b4，则（ ）Aa 2+b2 有最小值 B 有最小值C 有最大值 D 有最大值7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ ）A B3 C D8 （5 分）有 10 名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有 6 道题，对于每一道题，10 名选手都必须作答，若恰有 n 个人答错，则答对的选手该题每人得 n 分，答错选手该题不得分比赛结束后，关于选

3、手得分情况有如下结论：若选手甲答对 6 道题，选手乙答对 5 道题，则甲比乙至少多得 1 分；若选手甲和选手乙都答对 5 道题，则甲和乙得分相同；若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得 54 分10 名选手的总分不超过 150 分其中正确结论的个数是（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知复数 z 满足 z2+10，则|z| 10 （5 分）已知向量 （1，k） ， （9，k6） ，若 ，则 k 11 （5 分）在ABC 中，a8，b5，面积为 12，则 cos2C 12 （5 分）若直线 2x+y20 与圆（x 1） 2+（y a

4、） 21 相切，则 a 13 （5 分）已知点 O（0，0 ） ，A（1，1） ，点 P 在双曲线 x2y 21 的右支上，则的取值范围是 14 （5 分）如图，单位圆 Q 的圆心初始位置在点（0，1） ，圆上一点 P 的初始位置在原点，圆沿 x 轴正方向滚动当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 的坐标为 ；当圆心Q 位于点（3，1）时，点 P 的坐标为 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）如图，函数 的一个零点是，其图象关于直线 对称（）求 ， 的值；（）写出 f（x ）的单调递减区间16 （13 分）已知等差数列a n和等比数列b

5、n满足 a1b 11，2b 2+b30，a 1+a32b 3（）求a n的通项公式及前 n 项和 Sn；（）求 b1b 2+b3b 4+b2n1 b 2n17 （13 分）随着智能手机的发展，各种“APP” （英文单词 Application 的缩写，一般指手机软件）应运而生某机构欲对 A 市居民手机内安装的 APP 的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取 100 人，获得了他们手机内安装 APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图（）求 a 的值；（）从被抽取安装 APP 的个数不低于 50 的居民中，随机抽取 2 人进一步调研，求这2 人安装 APP 的个数都低于 60

6、的概率；（）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计 A 市使用智能手机的居民手机内安装 APP 的平均个数在第几组（只需写出结论）18 （14 分）如图，四棱锥 PABCD，平面 PAB平面ABCD， PAAB，ABCD， DAB90，PAAD，DC2AB，E 为 PC 中点（）求证：PABC；（）求证：直线 BE平面 PAD；（）求证：平面 PBC平面 PDC19 （14 分）已知椭圆 的离心率为 ，M 是椭圆 C 的上顶点，F1，F 2 是椭圆 C 的焦点， MF1F2 的周长是 6（）求椭圆 C 的标准方程；（）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C

7、 于 A，B 两点，且| PA|PB| ，过 P 作直线 l，使 l 与直线 AB 垂直，证明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标20 （13 分）已知函数 f（x ）ae x 图象在 x0 处的切线与函数 g（x）lnx 图象在 x1处的切线互相平行（）求 a 的值；（）设直线 xt（t0）分别与曲线 yf （x）和 yg（x）交于 P，Q 两点，求证：|PQ|22019 年北京市大兴区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 Ax| x0，B2，1，0，1，2，那么

8、 AB 等于（ ）A0 ，1，2 B1 ，2 C 2，1 D 2，1，0【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 Ax| x0，B2，1，0，1，2，AB2，1，0故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知 a3 0.4， ， ，则（ ）Aabc Bacb Ccba Dc ab【分析】容易得出： ，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解：3 0.43 01， ， ；acb故选：B【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义3 （5 分）若 x，y 满足 则 2xy 的最大值为（ ）A6 B4 C6

9、 D8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z 的几何意义，进行平移，结合图象得到 z2xy 的最大值【解答】解：由 z2xy 得 y2xz，作出 x，y 满足 对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线 y2x z，由图象可知当直线 y2xz 经过 A（4，2）时，直线 y2xz 的截距最小，此时 z 最大即 z2426故选：C【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为 16，则判断框内的条件为（ ）An6？ Bn7？ Cn8？ Dn9？【分析】根据框图运行后输出的结果

10、是 16，从 s0，n1 开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到 s 的值为 16 时看此时的 n 值，此时的 n 值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案【解答】解：框图首先赋值 s0，n1，执行 s0+11，n1+23；判断框中的条件不满足，执行 s1+34，n3+25；判断框中的条件不满足，执行 s4+59，n5+27；判断框中的条件不满足，执行 s9+716，n7+29；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为 16由此看出，判断框中的条件应是选项 C，即 n8故选：C【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环

11、，直到条件满足算法结束，是基础题5 （5 分）已知抛物线 C：y 2x，直线 l：y kx+1 ，则“k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】结合直线和抛物线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：将直线方程代入抛物线方程得 ，即 yky 2+1，ky 2y+10，当 k0 时，方程只有一个解当 k0 时，要使直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点，则14k0，解得 k 且 k0“k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查

12、充分条件和必要条件的判断，利用直线和抛物线的位置关系是解决本题的关键6 （5 分）已知 a0，b0，若 a+b4，则（ ）Aa 2+b2 有最小值 B 有最小值C 有最大值 D 有最大值【分析】根据基本不等式的性质判断即可【解答】解：a0，b0，且 a+b4，a2+b2（a+b） 22ab162ab162 162 ，有最小值，故选：A【点评】本题考察了基本不等式的性质，是一道基础题7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ ）A B3 C D【分析】根据三视图，还原出原图，根据勾股定理可得【解答】解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的 SABC，SD 在俯视图中投成了一个

13、点，故 SD平面 ABCD（ABCD 为俯视图的四个顶点） ，DE平行于正视的视线，故 DE BC，根据题意，DEBE SD2 ，所以 SB 为最长的棱，因为 BDABCD，SD BD，BD 2DE 2+BE28，SB 2 故选：C【点评】本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题8 （5 分）有 10 名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有 6 道题，对于每一道题，10 名选手都必须作答，若恰有 n 个人答错，则答对的选手该题每人得 n 分，答错选手该题不得分比赛结束后，关于选手得分情况有如下结论：若选手甲答对 6 道题，选手乙答对 5 道题，则甲比乙

14、至少多得 1 分；若选手甲和选手乙都答对 5 道题，则甲和乙得分相同；若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得 54 分10 名选手的总分不超过 150 分其中正确结论的个数是（ ）A4 B3 C2 D1【分析】根据题意，只有不对根据题目所给的规则逐项判断【解答】解：甲全对，得到全部题目分数，乙错一道题，比甲少 1 题的分数，且这一题至少为 1 分（至少 1 人答错） ，故甲比乙至少多得 1 分；若选手甲和选手乙都答对 5 道题，如果错的题目是同一题，得分相同，如果错的是不同题目且所错题目得分不同，则他们的得分就不一样故错；若选手甲的总分比其他选手都高，则甲得分最高的情况为，甲答对 6 道题

15、，其他人所有题目全部答错，则甲每题得 9 分，最高 54 分；10 名选手的总得分为 625150故选：B【点评】本题考查了简单的合情推理理解题意，准确把握每个命题的含义，是正确解决问题的关键本题属基础题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知复数 z 满足 z2+10，则|z| 1 【分析】结合复数的运算和性质，求出 zi 或i ，结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解：由 z2+10，得 z21，则 zi 或i，则|z| 1，故答案为：1【点评】本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算求出 z 是解决本题的关键10 （5 分）已知向量 （1，k） ， （

16、9，k6） ，若 ，则 k 【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解： ，k69k0，解得 k 故答案为： 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11 （5 分）在ABC 中，a8，b5，面积为 12，则 cos2C 【分析】利用面积公式即可求出 sinC使用二倍角公式求出 cos2C【解答】解：a8，b5，面积为 12，S absinC20sin C12，sinC cos2C12sin 2C12 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题12 （5 分）若直线 2x+y20 与圆（x 1） 2+（y a） 21 相

17、切，则 a 【分析】利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得【解答】解：因为直线 2x+y20 与圆（x 1） 2+（y a） 21 相切，所以 1，解得 a 故答案为： 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题13 （5 分）已知点 O（0，0 ） ，A（1，1） ，点 P 在双曲线 x2y 21 的右支上，则的取值范围是 （0，+） 【分析】用坐标表示出则 ，利用 P 与双曲线的渐近线的位置关系，即可得出结论【解答】解：设 P（x ，y ） ， x2y 21 （1，1）（x，y）x +y，P 是该双曲线上且在第一象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知 +，P 是该双曲线上

18、且在第四象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知 0，则 的取值范围是（0，+） 故答案为：（0，+） 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14 （5 分）如图，单位圆 Q 的圆心初始位置在点（0，1） ，圆上一点 P 的初始位置在原点，圆沿 x 轴正方向滚动当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 的坐标为 （，2） ；当圆心 Q 位于点（3，1）时，点 P 的坐标为 （3sin3，1cos3） 【分析】当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 向右滚动了圆的半个周长 ，因此点 P 的坐标为（，2） ；当圆心 Q 位于（3，1）时， 3，此时

19、圆心角为 3，点 P 的横坐标为 3sin（ 3）3sin3 ，纵坐标为 1+cos（ 3）1cos3，【解答】解：作辅助线如图，当点 P 第一次滚动到最高点时，点 P 向右滚动了圆的半个周长 ，因此点 P 的坐标为（，2） ；当圆心 Q 位于（3，1）时， 3，此时圆心角为 3，点 P 的横坐标为 3sin（3）3sin3，纵坐标为 1+cos（ 3）1cos3 ，故答案为：（，2） ， （3sin3，1cos3 ） 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）如图，函数 的一个零点是，其图象关

20、于直线 对称（）求 ， 的值；（）写出 f（x ）的单调递减区间【分析】 （）利用函数图象，确定函数周期，求出 和 的值即可，（）结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：（）设 T 为 f（x）的最小正周期，由图可知 ，解得 T（2 分）又 ，所以 2 （4 分）由 ，即 ，（5 分） ，解得 （7 分）（）由（）知， 函数 ysin x 单调减区间是 由 ，kZ（2 分）得 ，kZ（4 分）所以 f（x）的减区间是 （6 分）另解：由 yf（ x）图象可知，当 时函数取得最大值，（2 分）所以，函数 yf（x）在一个周期内的递减区间是 （4 分）函数 f（x）在 R 上的减区间是 （6

21、分）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出 和 的值以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键16 （13 分）已知等差数列a n和等比数列b n满足 a1b 11，2b 2+b30，a 1+a32b 3（）求a n的通项公式及前 n 项和 Sn；（）求 b1b 2+b3b 4+b2n1 b 2n【分析】 （）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，由 2b2+b30，得 ，即 q2可得 bn可得 b34由 a1+a32b 3，得 d，可得 an，S n（）由（）知， 利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（）设等差数列a n的公差为 d，等比数列 bn的公

22、比为 q，由 2b2+b30，得 ，即 q2（2 分）所以 ，所以 b34（3 分）由 a1+a32b 3，得 d3 （4 分）所以 an3n2（5 分）所以 （7 分）（）由（）知， （1 分）所以 b1b 2+b3b 4+b2n1 b 2n1（2） 1+（2） 2（2） 3+（2）4+（2） 2n1 （3 分）1+2+2 2+22n1 （4 分） （5 分）2 2n1（6 分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （13 分）随着智能手机的发展，各种“APP” （英文单词 Application 的缩写，一般指手机软件）应运而生某

23、机构欲对 A 市居民手机内安装的 APP 的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取 100 人，获得了他们手机内安装 APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图（）求 a 的值；（）从被抽取安装 APP 的个数不低于 50 的居民中，随机抽取 2 人进一步调研，求这2 人安装 APP 的个数都低于 60 的概率；（）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计 A 市使用智能手机的居民手机内安装 APP 的平均个数在第几组（只需写出结论）【分析】 （）由频率分布直方图的性质能求出 a（）设事件 A 为“这 2 人手机内安装“APP”的数量都低于

24、 60”被抽取的智能手机内安装“APP ”的数量在50，60）的有 4 人，分别记为 a1，a 2，a 3，a 4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在60 ，70的有 1 人，记为 b1，从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于 50 的居民中随机抽取 2 人进一步调研，利用列举法能求出这 2人安装 APP 的个数都低于 60 的概率（）第 4 组 （或者写成30，40） ） 【解答】 （共 13 分）解：（）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）101，（2 分）得 a0.025 （3 分）（）设事件 A 为“这 2 人手机内安装“APP”的数量

25、都低于 60”（1 分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在50 ，60）的有 0.004101004 人，分别记为 a1，a 2，a 3，a 4，（2 分）被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在60 ，70的有 0.001101001 人，记为 b1，（3 分）从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于 50 的居民中随机抽取 2 人进一步调研，共包含 10 个基本事件，分别为 a1a2，a 1a3，a 1a4，a 1b1，a 2a3，a 2a4，a 2b1，a 3a4，a 3b1，a 4b1，（5 分）事件 A 包含 6 个基本事件，分别为 a1a2，a 1a3，a 1a4，a

26、2a3，a 2a4，a 3a4，（6 分）则这 2 人安装 APP 的个数都低于 60 的概率 （7 分）（）第 4 组 （或者写成30，40） ） （3 分）【点评】本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题18 （14 分）如图，四棱锥 PABCD，平面 PAB平面ABCD， PAAB，ABCD， DAB90，PAAD，DC2AB，E 为 PC 中点（）求证：PABC；（）求证：直线 BE平面 PAD；（）求证：平面 PBC平面 PDC【分析】 （）推导出 PAAB，从而 PA平面 ABCD由此能证明 PABC（）法

27、一：取 PD 中点 F，连接 EF，AF推导出四边形 ABEF 为平行四边形，从而BEAF，由此能证明 BE平面 PAD法二：取 DC 中点 G，连接 BG，EG推导出 EGPD，从而 EG平面 PAD，推导出四边形 ABGD 为平行四边形，从而 BGAD进而 BG平面 PAD，由此能证明平面BGE平面 PAD从而 BE 平面 PAD（）推导出 AFPD BEPD由 PA平面 ABCD，得 PADCADDC从而DC平面 PAD进而 DCAF，DCBE由此能证明 BE平面 PDC，从而平面PBC平面 PDC【解答】 （共 14 分）证明：（）因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 AB

28、CDAB，PAAB，PA 平面 PAB，所以 PA平面 ABCD（2 分）又因为 BC平面 ABCD，（3 分）所以 PABC （4 分）（）方法一：取 PD 中点 F，连接 EF，AF在PCD 中，E，F 分别为 PC，PD 的中点，所以 EFDC 且 （1 分）又因为 ABDC 且 ，所以 ABEF 且 ABEF （2 分）所以四边形 ABEF 为平行四边形（3 分）所以 BEAF（4 分）因为 AF平面 PAD，BE 平面 PAD，所以 BE平面 PAD（5 分）方法二：取 DC 中点 G，连接 BG，EG在PCD 中，E，G 分别为 PC，DC 的中点，所以 EGPD （1 分）又因为

29、 PD平面 PAD，EG平面 PAD，所以 EG平面 PAD（2 分）因为 ABDG 且 ABDG，所以四边形 ABGD 为平行四边形所以 BGAD 又因为 AD平面 PAD，BG平面 PAD，所以 BG平面 PAD（3 分）因为 EG平面 PAD，BG平面 PAD，EG BGG ，所以平面 BGE平面 PAD（4 分）又因为 BE平面 BGE，所以 BE平面 PAD（5 分）（）因为 APAD ，F 为 PD 的中点，所以 AFPD 又因为 BEAF，所以 BEPD （1 分）因为 PA平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PADC（2 分）因为 ABCD，DAB 90，所以 ADDC

30、因为 DCAD，DCPA，ADPAA ，所以 DC平面 PAD（3 分）又因为 AF平面 PAD，所以 DCAF 又因为 BEAF，所以 DCBE （4 分）因为 BEDC，BE PD，DCPD D，所以 BE平面 PDC又因为 BE平面 PDC，所以平面 PBC平面 PDC（5 分）【点评】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （14 分）已知椭圆 的离心率为 ，M 是椭圆 C 的上顶点，F1，F 2 是椭圆 C 的焦点， MF1F2 的周长是 6（）求椭圆 C 的标准方程；（）过动点 P（1，t）作直线

31、交椭圆 C 于 A，B 两点，且| PA|PB| ，过 P 作直线 l，使 l 与直线 AB 垂直，证明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标【分析】 （I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆 C 的方程；（）设出直线 MN 的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可【解答】解：（）由于 M 是椭圆 C 的上顶点，由题意得 2a+2c6，又椭圆离心率为 ，即 ，解得 a2，c1又 b2a 2c 23，所以椭圆 C 的标准方程 证明：（）当直线 AB 斜率存在，设 AB 的直线方程为 ytk（x1） ，联立 ，得（3+4k 2）x 2+8k（t k）x+4（t

32、k） 2120，由题意，0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 因为|PA| PB|，所以 P 是 AB 的中点即 ，得 ，4kt+30又 lAB，且 k0，l 的斜率为 ，直线 l 的方程为 把代入 可得：所以直线 l 恒过定点 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x1，此时直线 l 为 x 轴，也过 综上所述直线 l 恒过点 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键20 （13 分）已知函数 f（x ）ae x 图象在 x0 处的切线与函数 g（x）lnx 图象在 x1处的切线互

33、相平行（）求 a 的值；（）设直线 xt（t0）分别与曲线 yf （x）和 yg（x）交于 P，Q 两点，求证：|PQ|2【分析】 （）分别求得 f（x） ，g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解得 a；（）由题意|PQ| etlnt| ， t0，设 h（x）e xlnx，x0，求得导数和单调性，构造函数和函数零点存在定理，求得最小值，即可得证【解答】解：（）由 f（x ）ae x，得 f（x）ae x，所以 f（0）a，由 g（x）lnx，得 ，所以 g（1）1，由已知 f（0）g（1） ，得 a1，经检验，a1 符合题意（）由题意|PQ| etlnt| ， t0，

34、设 h（x）e xlnx ，x 0，则 ，设 ，则 ，所以 （x ）在区间（0，+ ）单调递增，又 （1）e 10， ，所以 （x）在区间（ 0，+）存在唯一零点，设零点为 x0，则 ，且 当 x（0，x 0）时，h（x）0；当 x（x 0，+） ，h（x）0所以，函数 h（x）在（0，x 0）递减，在（x 0，+）递增，由 ，得 lnx0x 0，所以 ，由于 ，h（x 0）2从而 h（x）2，即 exlnx 2，也就是 etlnt 2，|e tlnt|2，即|PQ |2，命题得证【点评】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调性、最值，考查构造函数和函数零点存在定理，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题