2019年人教版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元测试卷（含答案解析）

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1、人教版九年级下学期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷一选择题（共 12 小题）1已知在 Rt ABC 中，C90，BC5，那么 AB 的长为（  ）A5sinA B5cos A C D2若 0A45，那么 sinAcos A 的值（  ）A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定3tan35cot1，则 等于（   ）A65 B35 C75 D554在 RtABC 中，C90，cosB ，则 tanA（   ）A B C D5在ABC 中，C90，cosA ，那么A 的度数为（  ）A45 B60 C30 D756下面四个数中

2、，最大的是（  ）A Bsin88 Ctan46 D7如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点 O，则 tanAOD 等于（  ）A B2 C1 D8如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度现采取以下措施：在地面选取一点 C，测得BCA45，AC20 米，BAC 60，则这棵乌稔树的高 AB 约为（  ） （参考数据： 1.4， 1.7）第 2 页（共 30 页）A7 米 B14 米 C20 米 D40 米9如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 AC 斜靠在右墙，测

3、得梯子顶端距离地面AB 2 米，梯子与地面夹角 的正弦值 sin0.8梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 2.4 米，则小巷的宽度为（  ）A0.7 米 B1.5 米 C2.2 米 D2.4 米10如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅 AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶一上 D 点处测得条幅顶端 A 的仰角为 36.9，朝着条幅的方向走到台阶下的 E 点处，测得条幅顶端 A 的仰角为 63.5，已知台阶 DE 的坡度为1：2，DC2 米，则条幅 AB 的长度约为（  ）（参考数据：sin36.90.60 ，tan36.9 0.7

4、5，sin63.5 0.89，tan63.5 2.00）A7 米 B8 米 C9 米 D10 米11如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在 A 处观测到楼 H 在北偏东 60方向上，行驶 1 小时后到达 B 处，此时观测到楼 H 在北偏东 30北方向上，那么汽车由 B处到达离楼 H 距离最近的位置 C 时，需要继续行驶的时间为（  ）第 3 页（共 30 页）A60 分钟 B30 分钟 C15 分钟 D45 分钟12如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的正弦值为（  ）A B C D二填空题（共 11 小题）13某建筑物的走廊墙壁上搭了一个长 4m 的梯

5、子，梯子底端正好与地面成 45角，影响了人们的正常行走，为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60，则行路通道被拓宽了     m （结果保留根号）14在ABC 中，AB 2 ，BC 3，tanABC2，以 AC 为腰的等腰ADC 中，ACAD，且 tanADC ，连接 BD则 BD 的长为     152022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了 200 米，若斜坡与水平面的夹角为 ，则他下降的高度为     米 （用含 的式子表示）第 4 页（

6、共 30 页）16如图，在 RtABC 中，ACB90，CD AB ，垂足为 DAF 平分CAB ，交 CB于点 F交 CD 于点 E若 AC6，sinB ，则 DE 的长为     17在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度如图，某一时刻，旗杆 AB的影子一部分落在水平地面 L 的影长 BC 为 5 米，落在斜坡上的部分影长 CD 为 4米测得斜 CD 的坡度 i1： 太阳光线与斜坡的夹角 ADC80，则旗杆 AB 的高度     （精确到 0.1 米） （参考数据：sin500.8 ，tan501.2， 1.732）18周末，张三、李四两

7、人在磁湖游玩，张三在湖心岛 P 处观看李四在湖中划船（如图） ，小船从 P 处出发，沿北偏东 60方向划行 200 米到 A 处，接着小船向正南方向划行一段时间到 B 处在 B 处李四观测张三所在的 P 处在北偏西 45方向上，这时张三与李四相距     米（保留根号）19如图ABC 中，C60，AB14，AC 10，则 BC 的长为     第 5 页（共 30 页）20如图所示，P 为 的边 OA 上一点，且 P 点的坐标为（3，4） ，则 sin+cos     21直角坐标系内，点 A 与点 B（sin60 ， ）关于 y 轴

8、对称，如果函数 的图象经过点 A，那么 k     22如图，在等腰ABC 中，AD 平分BAC，点 E 在 BA 的延长线上，EDEC，DE 交AC 于点 K，若 EC10，tan AED ，则 AK     23在ABC 中，ABC60，BC 8，点 D 是 BC 边的中点，点 E 是边 AC 上一点，过点 D 作 ED 的垂线交边 AC 于点 F，若 AC7CF，且 DE 恰好平分ABC 的周长，则ABC 的面积为     三解答题（共 4 小题）24如图 1，一辆吊车工作时的吊臂 AB 最长为 20 米，吊臂与水平线的夹角AB

9、C 最大为70，旋转中心点 B 离地面的距离 BD 为 2 米（1）如图 2，求这辆吊车工作时点 A 离地面的最大距离 AH（参考数据：sin70第 6 页（共 30 页）0.94，cos700.34，tan702.75） ；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到 40 千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快 20 千米的速度匀速行驶，结果提前 20 分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度25如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处测得山顶 A 的仰角为 30，然后向山脚直行 60 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45，求山高 AD 的长度 （测角仪高度忽略不计）

10、26阅读下列材料：题目：如图 1，在ABC 中，已知A（A45） ，C90，AB1，请用sinA、cosA 表示 sin2A解：如图 2，作 AB 边上的中线 CE，CDAB 于 D，则 CE AB ，CED2A，CDAC sinA，ACABcosA cosA在 Rt CED 中， sin2Asin CED 2ACsinA2cosAsinA根据以上阅读，请解决下列问题：（1）如图 3，在ABC 中，C90，BC1，AB 3 ，求 sinA，sin2A 的值；（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用 sinA 或 cosA 表示 cos2A第 7 页（共 30 页）27楼房 AB 后有一假山，其

11、坡度为 i1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC30 米，与亭子距离 CE18 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）第 8 页（共 30 页）人教版九年级下学期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1已知在 Rt ABC 中，C90，BC5，那么 AB 的长为（  ）A5sinA B5cos A C D【分析】依据 RtABC 中，C90，BC5，可得 sinA ，即可得到 AB 的长的表达式【解答】解：RtABC

12、 中，C90，BC5，sinA ，AB ，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA2若 0A45，那么 sinAcos A 的值（  ）A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定【分析】cosA sin（90A） ，再根据余弦函数随角增大而减小进行分析【解答】解：cosAsin（90A） ，余弦函数随角增大而减小，当 0A45时，sinA cos A，即 sinAcos A0故选：B【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键3tan35cot1，则 等于（  

13、 ）A65 B35 C75 D55【分析】根据同角三角函数的关系 tancot1 解答即可【解答】解：由 tan35cot1，得 35故选：B【点评】本题考查了同角的三角函数的关系中的同角的正切和余切的关系第 9 页（共 30 页）4在 RtABC 中，C90，cosB ，则 tanA（   ）A B C D【分析】直接根据已知表示出三角形各边进而得出答案【解答】解：如图所示：C90，cosB ，设 BC3x，则 AB5x，故 AC4x，则 tanA 故选：C【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确表示出各边长是解题关键5在ABC 中，C90，cosA ，那么A 的度数为（

14、  ）A45 B60 C30 D75【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案【解答】解：C90， cosA ，A60故选：B【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键6下面四个数中，最大的是（  ）A Bsin88 Ctan46 D【分析】利用计算器求出数值，再计算即可【解答】解：A、 2.2361.7320.504；B、sin880.999；C、tan461.036；D、 0.568 故 tan46最大，第 10 页（共 30 页）故选：C【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力7如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，

15、B，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点 O，则 tanAOD 等于（  ）A B2 C1 D【分析】首先连接 BE，由题意易得 BFCF，ACOBHO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 HO：CO1：3，即可得 OF：CF OF：BF1：2，在 RtOBF中，即可求得 tanBOF 的值，继而求得答案【解答】解：如图，连接 BE，与 CD 交于点 F，四边形 BCEH 是正方形，HFCF CH，BFEF BE，CH BE ，BECH，BFCF，ACBH，ACOBHO，HO：COBH：AC1：3，COHF，HO：HF 1 ：2，HOOF ，在 Rt OBF 中，t

16、an BOF 2AOD BOF，tanAOD 2故选：B第 11 页（共 30 页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容8如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度现采取以下措施：在地面选取一点 C，测得BCA45，AC20 米，BAC 60，则这棵乌稔树的高 AB 约为（  ） （参考数据： 1.4， 1.7）A7 米 B14 米 C20 米 D40 米【分析】如图，作 BHAC 于 H设 BHCHx，构建方程即可解决问题【解答】解：如图，作 BH AC 于 HBCH45，BHC90，HCBHBC45，HCHB，设 HC

17、BHxm，A60，AH x，x+ x20，x10（3 ） ，AB2AH 2 10（3 ）14（m ）故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 AC 斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB 2 米，梯子与地面夹角 的正弦值 sin0.8梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面 2.4 米，则小巷的宽度为（  ）第 12 页（共 30 页）A0.7 米 B1.5 米 C2.2 米 D2.4 米【分析】分别在 RtABC，RtDEC 中求出 AC

18、，BC ，CD 即可【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，AB2 米，sin ，0.8 ，AC2.5 米，BC 1.5 米，在 Rt ECD 中， EDC 90，ED2.4 米，EC AC2.5 米，CD 0.7，BDCD+BC0.7+1.5 2.2 米，故选：C【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题10如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅 AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶一上 D 点处测得条幅顶端 A 的仰角为 36.9，朝着条幅的方向走到台阶下的 E 点处，测得条幅顶端 A 的仰角为 63.5，已知台阶 DE

19、 的坡度为1：2，DC2 米，则条幅 AB 的长度约为（  ）（参考数据：sin36.90.60 ，tan36.9 0.75，sin63.5 0.89，tan63.5 2.00）A7 米 B8 米 C9 米 D10 米【分析】要求 AB 的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，作DFAB 于点 F，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于 AB 的等式，从而可以第 13 页（共 30 页）得到 AB 的值【解答】解：作 DFAB 于点 F，如右图所示，由题意可得，DFCB，台阶 DE 的坡度为 1：2，DC 2 米，CE2CD4 米，AFD90，ADF 36.9，D

20、C2 米，tan ADF ，tan36.9 ，即 DF ，又ABE 90，AEB 63.5，CE 4 米，CB DF，tanAEB ，BE ，即 DF4 ， ，解得，AB8 米，故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答11如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在 A 处观测到楼 H 在北偏东 60方向上，行驶 1 小时后到达 B 处，此时观测到楼 H 在北偏东 30北方向上，那么汽车由 B处到达离楼 H 距离最近的位置 C 时，需要继续行驶的时间为（  ）第 14 页（共 30 页）A

21、60 分钟 B30 分钟 C15 分钟 D45 分钟【分析】作 HCAB 交 AB 的延长线于 C，根据题意得到 BABH，根据BHC30得到 BC BH，根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；【解答】解：解：作 HCAB 交 AB 的延长线于 C，由题意得，HAB60，ABH120，AHB30，BABH ，ABH120，CBH60，又 HCAB，BHC30，BC BH，BC AB，从 A 到 B 行驶了 1 个小时，该车继续行驶 30 分钟可使汽车到达离楼 H 距离最近的位置，故选：B【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义和特殊角的三角

22、函数值是解题的关键第 15 页（共 30 页）12如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的正弦值为（  ）A B C D【分析】先求出腰长和底边的等量关系，作三角形的高，在直角三角形中解答【解答】解：等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，设底边为 a，则腰长为 2a作 ADBC 于 D 点，CEAB 于 E 点ABAC2a ，BD a，在 Rt ABD 中，AD ，S ABC BCAD ABCE，CE sinBAC 故选：A【点评】本题主要考查解直角三角形，本题三角形本不是直角三角形，通过作辅助线得到直角三角形，转化解直角三角形二填空题（共 11 小题）13某建筑物的走廊

23、墙壁上搭了一个长 4m 的梯子，梯子底端正好与地面成 45角，影响了人们的正常行走，为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60，则行路通道被拓宽了 2 2  m （结果保留根号）【分析】根据余弦函数分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解【解答】解：ABCD4，B45，CDO 60，第 16 页（共 30 页）OBABcos452 （米） ；ODCDcos60ABsin302（米） 则 BDOB OD2 2（米） 所以拓宽了行路通道 2 2（米） 故答案为：2 2【点评】此题主要考查三角函数的运用能力，关键是根据余弦函数分别求出两次梯子距墙根的距离14在ABC 中，A

24、B 2 ，BC 3，tanABC2，以 AC 为腰的等腰ADC 中，ACAD，且 tanADC ，连接 BD则 BD 的长为    【分析】由已知可得ABC+ADC90，通过解直角三角形可得ACAD ，CD ，构造PABDBC；可得 PA ，PAD90，可得 PD ，再根据手拉手模型可得 PBD ABC，从而得到 ；即可计算 BD 【解答】解：作 AEBC 于 E，AH CD 于 H，作PAB DCB，PBA DBC，PG BD，AB2 ，tan ABC2，tanABC 2，AE2BE，AB 2AE 2+BE2，即（2 ） 25BE 2，BE2，AE4，EC BCBE 3

25、21，第 17 页（共 30 页）AC ，ACAD，AD ，DHHC DC，tanADC ，tanADC ，DH2AH ，AD 2AH 2+DH2，即 175AH 2，AH ，DC4AH ，作PAB DCB，PBA DBC，PG BD，PAB DBC； ，PA ，tanABC 2，tanADC ，ABC+ ADC90，BCD+BAD270， ，PAD36027090，PD ，PAB DCB，PADABC， ，PBDABC， ；第 18 页（共 30 页） ，BD【点评】本题综合考查了三角形相似和解直角三角形，通过旋转构造相似的手拉手模型是解题的关键此题是一个大综合题，难度较大152022 年在

26、北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了 200 米，若斜坡与水平面的夹角为 ，则他下降的高度为 200sin 米 （用含 的式子表示）【分析】如图，设下滑的距离为 AB200 米，下降的高度为线段 AC解直角三角形求出 AC 即可；【解答】解：如图，设下滑的距离为 AB200 米，下降的高度为线段 AC在 Rt ABC 中，ACABsin200sin （米） ，故答案为 200sin【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型第 19 页（共 30 页）16如图，在 RtABC 中，ACB90，CD A

27、B ，垂足为 DAF 平分CAB ，交 CB于点 F交 CD 于点 E若 AC6，sinB ，则 DE 的长为    【分析】先由 AF 平分CAB，CDAB，过点 E 作 EG 垂直于 AC，利用角平分线的性质定理得 EG 等于 DE，易得 RtAED 全等于 RtAEG 以及DCA 等于B，从而求得AD，AG，CG，然后在 RtCEG 中，由勾股定理求出 EG，即为 DE 的长度【解答】解：过点 E 作 EG AC 于点 G，又AF 平分CAB ，CD AB，交 CB 于点 F交 CD 于点 E，EGED ，在 Rt AED 和 RtAEG 中，RtAEDRtAEG（H

28、L） ，AGADACB90，CDAB，B+BACDCA+BAC90，DCAB，AC6，sinB ，sinDCAsinB ， ，AD ，DC ，AGAD ，CGAC AG ，在 RtCEG 中，CE 2EG 2+CG2，第 20 页（共 30 页）（DCED） 2（DCEG） 2EG 2+CG2 ，EG ，DE 故答案为： 【点评】本题综合运用了角平分线的性质定理，全等三角形判断，勾股定理等知识，难度较大17在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度如图，某一时刻，旗杆 AB的影子一部分落在水平地面 L 的影长 BC 为 5 米，落在斜坡上的部分影长 CD 为 4米测得斜 CD 的坡度

29、i1： 太阳光线与斜坡的夹角 ADC80，则旗杆 AB 的高度 12.2m （精确到 0.1 米） （参考数据：sin500.8，tan501.2， 1.732）【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，作 DFCE 于点 F解直角三角形求出EF，CF，即可解决问题【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，作 DFCE 于点 F在DCF 中，CD4m，DF：CF 1： ，tanDCF ，DCF30，CDF60第 21 页（共 30 页）DF2（m） ，CF2 （ m） ，在 Rt DEF 中，因为DEF50，所以 EF 1.67（m ）BEEF+FC +CB1.67+2 +51

30、0.13（m ） ，ABBEtan50 12.2（m） ，故答案为 12.2m【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题18周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛 P 处观看李四在湖中划船（如图） ，小船从 P 处出发，沿北偏东 60方向划行 200 米到 A 处，接着小船向正南方向划行一段时间到 B 处在 B 处李四观测张三所在的 P 处在北偏西 45方向上，这时张三与李四相距 100   米（保留根号）【分析】作 PDAB 于点 D，分别在直角三角形 PAD 和直角三角形 PBD 中求得 PD 和PB 即可求得结论【解答】

31、解：作 PDAB 于点 D，第 22 页（共 30 页）由已知得 PA200 米，APD30，B 45，在 Rt PAD 中，由 cos30 ，得 PDPAcos30200 100 米，在 Rt PBD 中，由 sin45 ，得 PB 100 （米） 故答案为：100 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解19如图ABC 中，C60，AB14，AC 10，则 BC 的长为 16 【分析】过 A 作 ADBC 于 D，解直角三角形求出 CD 和 AD，根据勾股定理求出 BD，即可得出答案【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D，则 ADCADB90，

32、C60，CAD30，CD AC 5，由勾股定理得：AD 5 ，BD 第 23 页（共 30 页）11，BCBD+ CD11+5 16，故答案为：16【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、含 30角的直角三角形性质等知识点，能够正确作出辅助线并求出 CD 和 BD 的长度是解此题的关键20如图所示，P 为 的边 OA 上一点，且 P 点的坐标为（3，4） ，则 sin+cos   【分析】根据正弦和余弦的概念求解【解答】解：P 是 的边 OA 上一点，且 P 点坐标为（3，4） ，PB4，OB 3，OP 5故 sin ，cos ，sin+cos ，故答案为： 【点评】此题考查的是锐

33、角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边21直角坐标系内，点 A 与点 B（sin60 ， ）关于 y 轴对称，如果函数 的图象经过点 A，那么 k    【分析】根据关于 y 轴对称的点的坐标规律确定 A 点坐标；代入函数关系式求解第 24 页（共 30 页）【解答】解：sin60 ，点 B（ ， ） 根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：点 A 为（ ， ） ，函数 的图象经过点 A，k 【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点22如图，在等腰ABC 中，AD 平分BAC，

34、点 E 在 BA 的延长线上，EDEC，DE 交AC 于点 K，若 EC10，tan AED ，则 AK    【分析】过点 K 作 KMEC，过点 D 作 DHAC，设 KMm，BAE，由边角关系推导出 tCM2m，KC m；再证明 DH 是ABC 的中位线，得到 ABACm，在 RtAEC 中，利用勾股定理求得 m3，进而得到AK mKC m m ；【解答】解：过点 K 作 KM EC，过 D 作 DNAC ，设 KMm ，BEDEDEC，ECDEDCB+，ABAC，ACBB，ECAAED，tan ，CM2m，KC m，DNAC，D 是 BC 的中点，第 25 页（共

35、30 页）ND AC，EACEND，ECED，EACDNE（AAS） ，AEND，ADBC，AB AC，ND ABANBN，4AKAC，AK ，K 是 ED 的中点，EK5，在 Rt EKM 中，EM 102m，KMm ，5 2m 2+（10 2m） 2，m3 或 m5（舍）AK ；故答案为 ；【点评】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形正切值的定义；能够通过作高构造直角三角形，熟记性质并准确识图是解题的关键23在ABC 中，ABC60，BC 8，点 D 是 BC 边的中点，点 E 是边 AC 上一点，过点 D 作 ED 的垂线交边 AC 于点 F，若 AC7CF，且 DE 恰好平分

36、ABC 的周长，则ABC 的面积为 10   【分析】如图，取 AC 的中点 M，连接 DM，作 AHBC 于 H设 DMa，AEb想办法证明 DM EMFMaAECF b，2a5b，解直角三角形求出 BH，CH 用 b第 26 页（共 30 页）表示，根据边长的长构建方程求出 b 即可解决问题；【解答】解：如图，取 AC 的中点 M，连接 DM，作 AHBC 于 H设DMa ，AE bBDDC，AMMC，AB2DM 2a，AB+AE+BDEC+DC，EC2a+b， AC2a+2 b，AMMCa+b，EMa，EMDM，MEDMDE ，MED+MFD 90， MDE+MDF90，MFD

37、MDF ，MD MFa，CFAEb，AC7CF，2a+2b7b，2a5b，AB5b，AC 7b，在 Rt ABH 中，B60，BH AB b，AH b，在 Rt ACH 中， CH b，BCBH+ HC8b，8b8，b1，第 27 页（共 30 页）S ABC 8 10 ，故答案为 10 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题三解答题（共 4 小题）24如图 1，一辆吊车工作时的吊臂 AB 最长为 20 米，吊臂与水平线的夹角ABC 最大为70，旋转中心点 B 离地面的距离 BD 为 2 米（1

38、）如图 2，求这辆吊车工作时点 A 离地面的最大距离 AH（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75） ；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到 40 千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快 20 千米的速度匀速行驶，结果提前 20 分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度【分析】 （1）解 RtABC 求出 AC 的长度，便可求得 AH；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时 x 千米，根据快速行驶时间比平时行驶时间少 20 秒，列出分式方程便可【解答】解：（1）根据题意，得 AB20，ABC70，CHBD2，在 Rt ACB 中，ACB 90

39、，ACABsin70200.9418.8，AH20.8答：这辆吊车工作时点 A 离地面的最大距离 AH 为 20.8 米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时 x 千米，由题意，得，第 28 页（共 30 页）解得，x 160，x 240，经检验：x 160，x 240 都是原方程的解，但 x240 符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时 60 千米【点评】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题， （1）题的关键是解直角三角形求出 AC， （2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程25如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处

40、测得山顶 A 的仰角为 30，然后向山脚直行 60 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45，求山高 AD 的长度 （测角仪高度忽略不计）【分析】设 ADxm ，在 Rt ACD 中，根据正切的概念用 x 表示出 CD，在 RtABD 中，根据正切的概念列出方程求出 x 的值即可【解答】解：由题意得，ABD30，ACD45，BC60m，设 ADxm，在 Rt ACD 中， tanACD ，CDADx，BDBC+ CDx+60，在 Rt ABD 中，tan ABD ，x （x+60 ） ，x30（ +1）米，答：山高 AD 为 30（ +1）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角

41、问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键26阅读下列材料：题目：如图 1，在ABC 中，已知A（A45） ，C90，AB1，请用sinA、cosA 表示 sin2A第 29 页（共 30 页）解：如图 2，作 AB 边上的中线 CE，CDAB 于 D，则 CE AB ，CED2A，CDAC sinA，ACABcosA cosA在 Rt CED 中， sin2Asin CED 2ACsinA2cosAsinA根据以上阅读，请解决下列问题：（1）如图 3，在ABC 中，C90，BC1，AB 3 ，求 sinA，sin2A 的值；（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用 sinA

42、 或 cosA 表示 cos2A【分析】 （1）解直角三角形求出 cosA，利用结论中的公式计算即可；（2）利用图 2，根据 cos2A cosCED ，计算即可；【解答】解：（1）如图 3 中，在 RtABC 中，AB3 ，BC 1，C90，AC 2 ，sinA ，cosA ，sin2A2cosAsinA（2）如图 2 中，cos2AcosCED 2AC cosA12（cosA）21【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要用转化的思想思考问题，属于中考常考题型27楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i1： ，

43、山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC30 米，与亭子距离 CE18 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）第 30 页（共 30 页）【分析】过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EH AB 于点 H，根据 CE18 米，坡度为i1： ，分别求出 EF、CF 的长度，在 RtAEH 中求出 AH，继而可得楼房 AB 的高【解答】解：过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EH AB 于点 H，在 Rt CEF 中，i tanECF ，ECF30，EF CE 9 米，CF9 米，BHEF9 米，HEBFBC +CF（30+9 ）米，在 Rt AHE 中，HAE45，AHHE （30+9 ）米，ABAH +HB（39+9 ）米答：楼房 AB 的高为（39+9 ）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键