2017-2018学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018 学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷一、一、选择题：本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ）A B C D2 （3 分）二次根式 中字母 a 的取值范围是（  ）Aa0 Ba0 Ca0 Da23 （3 分）已知反比例函数 y （k0） ，当 x 时 y2则 k 的值为（  ）A1 B4 C D14 （3 分）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的 设这种电子产品的价格在

2、这两年中平均每年下降 x，则根据题意可列出方程（  ）A12x B2（1x） C （1x） 2 Dx （1x）5 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近几次数学综合测试成绩的平均数与方差：衡量指标 甲 乙 丙 丁平均数（分） 115 110 115 103方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成好且发挥稳定的同学参加竟赛，应该选择（  ）A甲 B乙 C丙 D丁6 （3 分）给出下列化简（ ） 22： 2； 12 ； ，其中正确的是（  ）A B C D7 （3 分）一张矩形纸片 ABCD，已知 AB3，AD2，小明按所给图步骤折叠

3、纸片，则线段 DG 长为（  ）第 2 页（共 23 页）A2 B C2 D18 （3 分）已知点 P（a，m） ，Q （b，n）是反比例函数 y 图象上两个不同的点，则下列说法不正确的是（  ）Aam2 B若 a+b0，则 m+n0C若 b3a，则 n m D若 ab ，则 mn9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2x2mx40 的一个根为 m，则 m 的值是（  ）A2 B2 C2 或2 D任意实数10 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，A 是锐角，E 为边 AD 上一点，ABE 沿着 BE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 CD 上，连接

4、EF，BF，给出下列结论：若 A70 ，则ABE35；若点 F 是 CD 的中点，则 SABE S 菱形 ABCD下列判断正确的是（  ）A， 都对 B ，都错 C 对， 错 D错，对二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分11 （3 分）当二次根式 的值最小时，x     12 （3 分）对一种环保电动汽车性能抽测，获得如下条形统计图根据统计图可估计得被抽检电动汽车一次充电后平均里程数为     第 3 页（共 23 页）13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x +m0 没有实数根，则实数 m 取值范围是 &n

5、bsp;   14 （3 分）已知边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点 P， Q 同时从点 A 出发，以相同的速度分别沿 AB C 和 ADC 的路线运动，则当 PQ cm 时，点 C 到 PQ 的距离为      15 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y1 的图象与直线 y2x+1 交于点A（1， a） 则：（1）k 的值为     ；（2）当 x 满足     时，y 1y 216 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BAC120 ，S ABC 8 ，点 M，P，N 分别是边 A

6、B，BC ，AC 上任意一点，则（1）AB 的长为     （2）PM+PN 的最小值为     三、解答题：本题有 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤17 （6 分）计算：第 4 页（共 23 页）（1） 2（2） （ ）（ + ）18 （6 分）选用适当的方法解下列方程：（1） （x+2） 29（2）2x（x3）+x 319 （7 分）为选拔参加八年级数学“拓展性课程”活动人选，数学李老师对本班甲、乙两名学生以前经历的 10 次测验成绩（分）进行了整理、分析（见图）：学生 平均数 中位数 众数 方差甲 83.7 a 86

7、13.21乙 83.7 82 b 46.21（1）写出 a，b 的值；（2）如要推选 1 名学生参加，你推荐谁？请说明你推荐的理由20 （7 分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度 h（米）适用公式h20t5t 2（1）经多少秒后足球回到地面？（2）试问足球的高度能否达到 25 米？请说明理由21 （8 分）如图，在ABC 中，ACB 90，点 D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，连接 DE 并延长至点 F，使 EF2DE，连接 CE、AF（1）证明：AFCE；（2）当B30时，试判断四边形 ACEF 的形状并说明理由第 5 页（共 23 页）22 （8 分）记面积为 18c

8、m2 的平行四边形的一条边长为 x（cm ） ，这条边上的高线长为y（cm） （1）写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围；（2）在如图直角坐标系中，用描点法画出所求函数图象；（3）若平行四边形的一边长为 4cm，一条对角线长为 cm，请直接写出此平行四边形的周长23 （10 分）正方形 ABCD 中，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 EFAE 交射线 CB 于点 F，连结 CE（1）已知点 F 在线段 BC 上若 ABBE，求DAE 度数；求证： CEEF（2）已知正方形边长为 2，且 BC2BF ，请直接写出线段 DE 的长第 6 页（共 23 页）2017-201

9、8 学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、一、选择题：本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意故选：C【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关

10、键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合2 （3 分）二次根式 中字母 a 的取值范围是（  ）Aa0 Ba0 Ca0 Da2【分析】根据被开方数是非负数，可得答案【解答】解：由题意，得2a0，解得 a0，故选：B【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键3 （3 分）已知反比例函数 y （k0） ，当 x 时 y2则 k 的值为（  ）第 7 页（共 23 页）A1 B4 C D1【分析】当 x 时 y2，代入解析式可得 k【解答】解：当 x 时 y2k（2） 1故选：A【点评

11、】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答4 （3 分）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的 设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降 x，则根据题意可列出方程（  ）A12x B2（1x） C （1x） 2 Dx （1x）【分析】设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降 x，该电子产品两年前的价格为 a 元，根据该电子产品两年前的价格及今年的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降 x，该电子产品两年前的价格为 a 元，根据题意得

12、：a（1x） 2 a，即（1x） 2 故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键5 （3 分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近几次数学综合测试成绩的平均数与方差：衡量指标 甲 乙 丙 丁平均数（分） 115 110 115 103方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成好且发挥稳定的同学参加竟赛，应该选择（  ）A甲 B乙 C丙 D丁第 8 页（共 23 页）【分析】根据平均数和方差的意义解答【解答】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，从方差看，甲方差小，发挥最稳定，所以要从中选择一名成绩好

13、且发挥稳定的同学参加竞赛，应该选择甲，故选：A【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键6 （3 分）给出下列化简（ ） 22： 2； 12 ； ，其中正确的是（  ）A B C D【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式2，故 正确；原式 2，故 正确；原式 2 ，故 错误；原式 ，故 错误；故选：C【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型7 （3 分）一张矩形纸片 ABCD，已知 AB3，AD2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 DG 长为（  ）A2 B C2 D1【分析】首先根据折叠的

14、性质求出 DA、CA和 DC的长度，进而求出线段 DG 的长度【解答】解：AB3，AD 2，DA2，CA1，DC1，第 9 页（共 23 页）D45，DG DC ，故选：B【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出 DC的长度8 （3 分）已知点 P（a，m） ，Q （b，n）是反比例函数 y 图象上两个不同的点，则下列说法不正确的是（  ）Aam2 B若 a+b0，则 m+n0C若 b3a，则 n m D若 ab ，则 mn【分析】根据题意得：am bn2，将 B，C 选项代入可判断，根据反比例函数图象的性质可直接判断 D 是错误的【解答】解：点 P（a，m）

15、，Q （b，n）是反比例函数 y 图象上两个不同的点ambn2若 a+b0，则 abbmbnmn 即 m+n0，若 b3a，am3ann m故 A，B，C 正确若 a0b 则 m0，n0mn故 D 是错误的故选：D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是灵活运用反比例函数图象的性质解决问题9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2x2mx40 的一个根为 m，则 m 的值是（  ）A2 B2 C2 或2 D任意实数第 10 页（共 23 页）【分析】根据一元二次方程的解的定义把 xm 代入方程 2x2mx 40 得2m2m 240，然后解关于 m 的方程即可【解答】

16、解：把 xm 代入方程 2x2mx40 得 2m2m 240，解得 m2 或m2故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解10 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，A 是锐角，E 为边 AD 上一点，ABE 沿着 BE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 CD 上，连接 EF，BF，给出下列结论：若 A70 ，则ABE35；若点 F 是 CD 的中点，则 SABE S 菱形 ABCD下列判断正确的是（  ）A， 都对 B ，都错 C 对， 错 D错，对【分析】只要证明 BFBC，可得ABFBFC C70，即可得出ABE

17、35；延长 EF 交 BC 的延长线于 M，只要证明DEF CMF ，推出 EFFM ，可得 S 四边形BCDES EMB ，S BEF SMBE ，推出 SABE S 菱形 ABCD【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABCD，CA70，BABFBC，BFCC70，ABF BFC70，ABE ABF 35，故 正确如图，延长 EF 交 BC 的延长线于 M，第 11 页（共 23 页）四边形 ABCD 是菱形，F 是 CD 中点，DFCF，DFCM， EFDMFC，DEFCMF，EFFM，S 四边形 BCDES EMB ，S BEF SMBE ，S BEF S 四边形 BCDE，S ABE

18、 S 菱形 ABCD故 正确；故选：A【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分11 （3 分）当二次根式 的值最小时，x 3 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案【解答】解：二次根式 的值最小，2x60，解得：x3故答案为：3【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键12 （3 分）对一种环保电动汽车性能抽测，获得如下条形统计图根据统计图可估计得被抽检电动汽车一次充电后平均里程数为 165.125 千米 第 12 页

19、（共 23 页）【分析】根据加权平均数定义列式计算可得【解答】解：估计被抽检电动汽车一次充电后平均里程数为165.125（千米），故答案为：165.125 千米【点评】此题考查了条形统计图的知识以及加权平均数注意能准确分析条形统计图并掌握加权平均数的计算公式是解此题的关键13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x +m0 没有实数根，则实数 m 取值范围是 m1 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于 0 列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可得到 m 的范围【解答】解：根据方程没有实数根，得到b 24ac44m0，解得：m1故答案为：m1【点评】此题考查了根的判别式，

20、根的判别式大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于 0，方程没有实数根14 （3 分）已知边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点 P， Q 同时从点 A 出发，以相同的速度分别沿 AB C 和 ADC 的路线运动，则当 PQ cm 时，点 C 到 PQ 的距离为 或   【分析】如图 1，当 P 在 AB 上，Q 在 AD 上时，根据题意得到 AQAP，连接 AC，根据正方形的性质得到DAB90，ACBD ，求得 AC AB4 ，推出APQ 是等腰直角三角形，得到AQPQAM45，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论，如图 2

21、，当 P 在 BC 上，Q 在 DC 上时，则 CQCP，同理，CM 【解答】解：点 P，Q 同时从点 A 出发，以相同的速度分别沿 ABC 和 ADC的路线运动，如图 1，当 P 在 AB 上，Q 在 AD 上时，则 AQAP，连接 AC，四边形 ABCD 是正方形，第 13 页（共 23 页）DAB90，ACBD ，AC AB 4 ，AQAP，APQ 是等腰直角三角形，AQPQAM45，AMAC，PQ cm，AM PQ ，CMACAM ；如图 2，当 P 在 BC 上，Q 在 DC 上时，则 CQCP ，同理，CM ，综上所述，点 C 到 PQ 的距离为 或 ，故答案为： 或 【点评】本题

22、考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键15 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y1 的图象与直线 y2x+1 交于点A（1， a） 则：（1）k 的值为 2 ；第 14 页（共 23 页）（2）当 x 满足 x 2 或 0x 1 时，y 1y 2【分析】 （1）将 A 点坐标分别代入两个解析式，可求 k（2）由两个解析式组成方程组，求出交点，通过图象可得解【解答】解：（1）函数 y1 的图象与直线 y2x +1 交于点 A（1，a） a1+12，A（1，2）2k2（2）函数 y1 的图象与直线 y2x +1 相交 x+1x 11，x 22y 1y

23、 2x2 或 0x 1【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，关键是熟练利用图象表达意义解决问题16 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BAC120 ，S ABC 8 ，点 M，P，N 分别是边 AB，BC ，AC 上任意一点，则（1）AB 的长为 4   （2）PM+PN 的最小值为 2   【分析】 （1）过点 A 作 AG BC，垂足为 G，依据等腰三角形的性质可得到第 15 页（共 23 页）BAC30，设 ABx，则 AG ，BC x，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可；（2）作点 A 关于 BC 的对称点 A，取 CNCN，则

24、PNPN，过点 A作ADAB，垂足为 D，当 N、P、M 在一条直线上且 MNAB 时，PN+ PM 有最小值，其最小值MNDA 【解答】解：（1）如图所示：过点 A 作 AGBC，垂足为 GABAC， BAC120，ABC30设 ABx，则 AG ，BG x，则 BC x BCAG x x 8 ，解得：x4 AB 的长为 4 故答案为：4 （2）如图所示：作点 A 关于 BC 的对称点 A，取 CNCN，则 PNPN，过点A作 AD AB，垂足为 D当 N、P、M 在一条直线上且 MNAB 时，PN+PM 有最小值最小值MNDA AB2 故答案为：2 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、轴对

25、称最短路径、垂线段的性质，将PM+PN 的长度转化为 AD 的长度是解题的关键三、解答题：本题有 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤17 （6 分）计算：第 16 页（共 23 页）（1） 2（2） （ ）（ + ）【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算【解答】解：（1）原式 2 ；（2）原式523【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18 （6 分）选用

26、适当的方法解下列方程：（1） （x+2） 29（2）2x（x3）+x 3【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1） （x+2） 29，x+23，解得：x 11，x 25；（2）2x（x3）+x 3，2x（x3）+x30，（x3） （2x+1）0，x30，2x+10，x13，x 2 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法19 （7 分）为选拔参加八年级数学“拓展性课程”活动人选，数学

27、李老师对本班甲、乙两第 17 页（共 23 页）名学生以前经历的 10 次测验成绩（分）进行了整理、分析（见图）：学生 平均数 中位数 众数 方差甲 83.7 a 86 13.21乙 83.7 82 b 46.21（1）写出 a，b 的值；（2）如要推选 1 名学生参加，你推荐谁？请说明你推荐的理由【分析】 （1）依据中位数和众数的定义进行计算即可；（2）依据平均数、中位数、方差以及众数的角度分析，即可得到哪个学生的水平较高【解答】解：（1）甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84 和 85，故中位数a （84+85）84.5，乙组数据中出现次数最多的数据为 81，故众数 b81；（2）甲，理

28、由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；或：乙，理由：在 90x100 的分数段中，乙的次数大于甲 （答案不唯一，理由须支撑推断结论） 【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据第 18 页（共 23 页）20 （7 分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度 h（米）适用公式h20t5t 2（1）经多少秒后足球回到地面？（2）试问足球的高度能否达到 25 米？请说明理由

29、【分析】 （1）求出 h0 时 t 的值即可得；（2）将函数解析式配方成顶点式，由顶点式得出足球高度的最大值即可作出判断【解答】解：（1）当 h0 时，20t5t 20，解得：t0 或 t4，答：经 4 秒后足球回到地面；（2）不能，h20t5t 25（t2） 2+20，由50 知，当 t2 时， h 的最大值为 20，不能达到 25 米，故足球的高度不能达到 25 米【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力21 （8 分）如图，在ABC 中，ACB 90，点 D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，连接 DE 并延长至点 F，

30、使 EF2DE，连接 CE、AF（1）证明：AFCE；（2）当B30时，试判断四边形 ACEF 的形状并说明理由【分析】 （1）由三角形中位线定理得出 DEAC，AC2DE，求出 EFAC，EFAC，得出四边形 ACEF 是平行四边形，即可得出 AFCE ；（2）由直角三角形的性质得出BAC60，AC ABAE，证出AEC 是等边三角形，得出 ACCE，即可得出结论【解答】 （1）证明：点 D， E 分别是边 BC，AB 上的中点，第 19 页（共 23 页）DEAC，AC2DE，EF2DE ，EFAC，EFAC，四边形 ACEF 是平行四边形，AFCE；（2）解：当B30时，四边形 ACEF

31、 是菱形；理由如下：ACB90，B30，BAC60，AC ABAE，AEC 是等边三角形，ACCE，又四边形 ACEF 是平行四边形，四边形 ACEF 是菱形【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键22 （8 分）记面积为 18cm2 的平行四边形的一条边长为 x（cm ） ，这条边上的高线长为y（cm） （1）写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围；（2）在如图直角坐标系中，用描点法画出所求函数图象；（3）若平行四边形的一

32、边长为 4cm，一条对角线长为 cm，请直接写出此平行四边形的周长第 20 页（共 23 页）【分析】 （1）根据平行四边形的面积公式，列出函数关系式即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）如图作 DEBC 交 BC 的延长线于 E解直角三角形求出 CD 即可；【解答】解：（1）y （x0） （2）列表如下：函数图象如图所示：（3）如图作 DEBC 交 BC 的延长线于 EBC4，DE ，BD ，BE 6，EC2，第 21 页（共 23 页）CD 此平行四边形的周长8+ 【点评】本题考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

33、常考题型23 （10 分）正方形 ABCD 中，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 EFAE 交射线 CB 于点 F，连结 CE（1）已知点 F 在线段 BC 上若 ABBE，求DAE 度数；求证： CEEF（2）已知正方形边长为 2，且 BC2BF ，请直接写出线段 DE 的长【分析】 （1）先求得ABE 的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得BAE 的度数，然后可求得DAE 度数；先利用正方形的对称性可得到BAE BCE，然后在证明又 BAEEFC，通过等量代换可得到 BCEEFC；（2）当点 F 在 BC 上时，过点 E 作 MNBC ，垂直为 N，交 AD 于 M依

34、据等腰三角形的性质可得到 FNCN ，从而可得到 NC 的长，然后可得到 MD 的长，在 RtMDE中可求得 ED 的长；当点 F 在 CB 的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明EFEC，然后再按照上述思路进行解答即可【解答】解：（1）ABCD 为正方形，ABE 45又ABBE，BAE （18045）67.5DAE9067.522.5证明： 正方形 ABCD 关于 BD 对称，ABE CBE，BAE BCE第 22 页（共 23 页）又ABCAEF90，BAE EFC，BCEEFC，CEEF（2）如下图所示：过点 E 作 MNBC，垂直为 N，交 AD 于 MCEEF，N 是 CF 的中点BC2BF， 又四边形 CDMN 是矩形，DME 为等腰直角三角形，CNDMME，ED DM CN 如下图所示：过点 E 作 MNBC，垂直为 N，交 AD 于 M正方形 ABCD 关于 BD 对称，ABE CBE，BAE BCE又ABF AEF 90，BAE EFC，第 23 页（共 23 页）BCEEFC，CEEFFNCN又BC2BF，FC3，CN ，ENBN ，DE 综上所述，ED 的长为 或【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键