2019年高考数学解密题(含解析)空间中的平行与垂直
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1、 空间中的平行与垂直高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率空间点、线、面位置关系的基本问题2018 课标全国92016 课标全国14ZXXK平行与垂直关系的证明来源:Z+xx+k.Com2018 课标全国182017 课标全国182016 课标全国19平面图形的翻折与存在性问题空间点、线、面位置 关系既是高考的必考点,也是考查的难点,其在高考中的命题形式较为稳定,以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明2016 课标全国19 考点 1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一 位置关系的判断调研 1 设 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,给出下列四个命题:若 mn,
2、m ,则 n ; 若 m,m,则 ;若 mn,m ,则 n ; 若 m,m 则 其中真命题的个数为A1 B2C3 D4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断 显然正确;对于,由 m,m ,不一定得到 , 和 的关系不确定;对于,n 可能在平面 内,所以不正确;对于,由 m,m,可知 ,所以不正确故选 A调研 2 设 表示三条直线, 表示三个平面,则下列命题中不成立的是A若 ,则 B若 ,则C若 是 在 内的射影, ,则D若 ,则【答案】D技巧点拨空间中点、线、面的位置关系的 判定方法:(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例(2)可以借助长方体,在理
3、解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义题组二 位置关系的判断与其他知识相结合调研 3 已知 表示两个不同的平面, 表示一条直线,且 ,则 是, ll的lA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意, , ,则 或 ,所以充分条件不成立;又当 ,ll l时,不能得到 ,所以必要条件不成立,故选 Dl l调研 4 已知 l 为平面 内的一条直线, , 表示两个不同的平面,则“ ”是“l ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 l 为平面 内的一条直线且 l,则 ,反过来
4、则不一定成立,所以“”是“l”的必要不充分条件,故选 B考点 2 平行与垂直关系的证明题组一 平行的判定及性质调研 1 如图,四棱锥 中, 平面为线段 上一点, 为的中点(1)证明:(2)求四面体 的体积【答案】 (1)见解析;(2) 453【解析】 (1)由已知得 ,取 的中点 ,连接 ,=23=2 由 为 中点知 ,即又 ,即 故四边形 为平行四边形,于是/ 因为 所以 调研 2 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA 1平面 ABC,BCAB,点 M,N 分别是线段A1C1,A 1B 的中点设平面 MNB1 与平面 BCC1B1 的交线为 l,求证:MNl【答案】见解析【解析】可先
5、证明 MN平面 BCC1B1,然后利用线面平 行的性质定理即可得证方法 1:如图,连接 C1B,在 中,点 M,N 分别为 A1C1,A 1B 的中点, 所以AMNC 1B又 MN平面 BCC1B1,C 1B平面 BCC1B1,所以 MN平面 BCC1B1又 MN平面 MNB1,平面 MNB1平面 BCC1B1=l,所以 MNl 方法 2:取 A1B1 的中点 P,连接 MP,NP,如图所示在 中, 点 M,P 分别为 A1C1,A 1B1 的中点,所以 MPC 1B1C又 MP平面 BCC1B1,C 1B1平面 BCC1B1,所以 MP平面 BCC1B1同理可证 NP平面 BCC1B1因为
6、MPNP=P,MP 平面 MNP,NP 平面 MNP,所以平面 MNP平面 BCC1B1因为 MN平面 MNP,所以 MN平面 BCC1B1又 MN平面 MNB1,平面 MNB1平面 BCC1B1=l,所以 MNl 题组二 垂直的判定及性质调研 3 如图,在直三棱柱 中, , , , 分别1AC90AC1=BAMN是 , 的中点AC1B(1 )求证: 平面 ;MN 1B(2 )求证: 1A【答案】 (1)见解析;(2)见解析【解析】 (1)如图,取 的中点 ,连接ABP1,.MB因为 分别是 的中点,所以 且,MP,C,C.2P在直三棱柱 中, , ,11 1又因为 是 的中点,所以 且 ,N
7、B,PMBN所以四边形 是平行四边形,所以 ,1P1而 平面 , 平面 ,所以 平面 MA11A 1AB(2 )因为三棱柱 为直三棱柱,所以 平面 ,1ABC1B1AC又因为 平面 ,所以平面 平面 , 1B1A1AB1C又因为 ,所以 ,90C因为平面 平面 , ,所以 平面 ,111=11平 面 1B1A又因为 平面 ,所以 ,1AB1A1NB如图,连接 ,因为在平行四边形 中, ,所以 ,A1=1AB又因为 ,且 , 平面 ,所以 平面 , 11=N11 N而 平面 ,所以 ABNB调研 4 如图 ,在四棱锥 中,底面 为正方形,平面 底面ACDEEABE, ,点 , 分别是 , 的中点
8、CDEEMA(1 )求证: 平面N B(2 )求证: 平面 ;A(3 )在棱 上求作一点 ,使得 ,并说明理由EPCAD【答案】 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析【解析】 (1)因为点 , 分别是 , 的中点,所以MNAED.MNDE因为四边形 BCDE 为正方形,所以 ,所以BC .BC因为 平面 , 平面 ,所以 平面 NA A(2 )因为平面 底面 , ,所以 平面EDEDE.因为 平面 ,所以BM.BM因为 ,点 是 的中点,所以ABEMAE.BMAE因为 , 平面 , 平面 ,DD所以 平面 .技巧点拨空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用,如下图:在解决平行(垂直)关
9、系的判定时,一般遵循从“低维” 到“高维”的转化;而应用性质定理时,其顺序则正好相反在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用题组三 线面角与二面角调研 5 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB1 ,AC2 ,BC ,D,E 分别是 AC1 和 BB1 的中3点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为A30 B45C 60 D90【答案】A调研 6 如图所示,在四棱锥 中,平面 平面 , ABC, 43BECAB, ,(1)求证: ;(2)若二面角 为 ,求直线 与平面 所成的角的正弦值45掳 【答案】 (1)见解析;(2) 64【解析】 (1)在 中,应用余弦定理
10、得 ,解ACB223cosABC得 =23所以 ,所以 2+2=2因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 又因为 平面 ,所以 (2)因为 平面 平面 ,所以 又 ,平面 平面 ,=所以 是平面 与平面 所成的二面角的平面角,即 因为 ,所以 平面 所以 是直线 与平面 所成的角 因为在 中, ,RtBCE所以在 中, ,tA6sin4BEA即直线 与平面 所成的角的正弦 值为 调研 7 已知 三棱柱 在底面 ABC 上的射影恰为 的中点 , (1)求证: 平面 ;1(2)求二面角 的余弦值1【答案】 (1)见解析;(2) 77【解析】 (1)由题意知 平面 ,且 ,1=1又 平面 平面
11、平面 又 平面 ,11又 平面 ,又 ,且 为平面 内的两条相交直线, 平面 1 1(2)设 与 的交点为 ,则由(1)有 平面 11 1过点 作 于 ,连 ,则 ,故 为所求二面角的平面角 平 面 由 为 中点,得 ,则 1=2 =3又在 中,得 1ABC=22在 中, ,得 ,OE鈭燗 = 77即二面角 的余弦值为 177调研 8 如图,在直三棱柱 中, 是 的中111 点, 是 的中点 1(1 )求异面直线 与 所成的角;1(2 )求证: ;(3 )求二面角 的正切值【答案】 (1) ;(2)见解析;(3) 蟺 3 5(2 )由(1 )可知, ,又因为三棱柱 是直三棱柱,所以 ,得 ;1
12、11又由 与 相似,得 ,1EC G又由 ,所以 (3 )设 是 的中点,过点 作 于 ,连接 ,则 又由平面 平面 ,得 ,则 (或其补角)是二面角11 PQE的平面角由 ,得 ,tan5PE所以二面角 的正切值是 5技巧点拨记住以下几个常用结论:(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例(4)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行(5)垂直于同一条直线的两个平面平行(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直考点 3 平面图形的
13、翻折与存在性问题题组一 翻折问题调研 1 如图,在直角梯形 中, , , ABCDBADC,点 是线段 上异于点 , 的动点, 于点 ,12ABCDECEF将 沿 折起到 的位置,并使 ,则五棱锥 的体积EF PF PFP的取值范围为_【答案】1(0,)3【解析】 , 平面 ,设,PFEAFPFABCE,则01Dx,2,xABCEDFSS则五棱锥 的体积2132,则 ,当 时,336Vxxx 21Vx01x单调递增,故 ,即 的取值范围是 0,0(,)3调研 2 如图,在正方形 ABCD 中,E 、 F 分别是 的中点,G 是 EF 的中点现在沿及 EF 把这个正方形折成一个空间图形,使 三点
14、重合,重合后的点记为下列说法错误的是_ (将符合题意的选项序号填到横线上) 所在平面; 所在平面; AGEFH AHEF 所在平面; 所在平面 G【答案】【解析】根据条件 ,所以 ,故 AG 不可能垂直于平面,所以错误;正确; 若 ,则 ,显然一个三角形中不能有两个直角,错误;若 ,则 中有两个直角,错误,故填AHG调研 3 如图,已知矩形 中, ,将矩形沿对角线 把 折起, ABD使 移动到点 ,且 在平面 上的射影 恰好在 上 1 1 (1)求证: ;(2)求证:平面 平面 ;1(3)求三棱锥 的体积1【答案】 (1)见解析;(2)见解析;(3) 48【解析】 (1)因为 在平面 上的射影
15、 恰好在 上,所以 平面 ,1 又 平面 ,所以 ,又 ,所以 平面 , 1又 平面 ,所以 1(2)因为 是矩形,所以 ,由(1)知 ,所以 平面 ,1又 平面 ,所以平面 平面 1 1(3)因为 平面 ,所以 ,1因为 = = ,所以 ,所以 = = = 1 10 1=811 48调研 4 如图,在矩形 中, 分别为 的中点,现将沿 折起,得四棱锥 螖 (1 )求证:EF /平面 ;(2 )若平面 平面 ,求四面体 的体积 【答案】 (1)见解析;(2) 223【解析】 (1)取线段 的中点 ,连接 , 因为 为 的中点,所以 ,且 , /=12在折叠前,四边形 为矩形, 为 的中点,所以
16、 ,且 /=12,且 ,所以四边形 为平行四边形,故 ,= /又 平面 平面 ,所以 平面 / (2 )在折叠前,四边形 为矩形, 为 的中点, 所以 都是等腰直角三角形,且 ,,ADECB =2所以 ,且 =22又 ,又平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 ,即 为三棱锥 的高 因为 为 的中点,所以 , 所以四面体 的体积 技巧点拨折叠与展开,这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,求解翻折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量题组二 探索性问题调研 5 如图,平行四边形 中, = = ,现将 沿 折起,得到 1 ADC 三棱锥 ,且 ,点 为侧棱 的中点 (1)
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- 2019 年高 数学 解密 解析 空间 中的 平行 垂直
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