2019年高考数学解密题（含解析）之 等差数列、等比数列

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1、 等差数列、等比数列高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率等差数列2018 新课标全国 42018 新课标全国 II 172017 新课标全国 42017 新课标全国 II 152016 新课标全国 32016 新课标全国 17等比数列2018 新课标全国 172017 新课标全国 32017 新课标全国 142016 新课标全国 152016 新课标全国 III 17等差数列与等比数列的综合从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前 n 项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前 n 项和及性质综合

2、考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.2017 新课标全国 III 9 考点 1 等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算调研 1 已知等差数列a n中， +a8=16， =1，则 的值为246aA15 B17C 22 D64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得 2a5=a2+a8=16，解得 a5=8，等差数列a n的公差d=a5a4=81=7，a 6=a5+d=8+7=15.故选 A【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题由等差数列的性质可得 a5，进而可

3、得数列的公差，而 a6=a5+d，代入化简可得调研 2 设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，S n2 Sn=36，则 n=A5 B6C7 D8【答案】D题组二 等比数列基本量的计算调研 3 在各项均为正数的等比数列a n中，若 ，则 a6 的值是28641,2a_【答案】4【解析】设公比为 q(q0)，a 2=1，则由 得 ，即8642a642q，解得 q2=2，420q .462a调研 4 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则nanS243,15S6A B31 32C D6 64【答案】C【解析】方法一：很明显数列的公比 ，1q则由 ，得 ，即 ，所以243

4、,15S214()35aq124aq6S.631()()6aq故选 C.方法二：很明显数列的公比 ，1q设等比数列的前 n 项和为 ，由题意可得： ，解得：nSA24315SAq，214Aq据此有： .663146SqA本题选择 C 选项.【名师点睛】一是在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 或 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.技巧点拨等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差( 比) 数列基

5、本运算的解题思路：(1)设基本量 a1 和公差 d(公比 q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组) ，然后求解，注意整体计算，以减少运算量考点 2 等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明调研 1 已知数列 满足 =1， ，则 =_na1112nnaan【答案】 2【解析】数列 满足 ， ，则 常数 ，na1112nnaa12(na)所以数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列n1则 ，所以 ，12na1na故答案为 .【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等差数列的定义，等差数列的通项公式，属于中档题.根据递推公式可得 ，由等差数列的定

6、义及通项公式可求出 .12nana调研 2 设数列a n的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN *，S n 是 a 和 an2n的等差中项(1)证明：数列a n为等差数列；(2)若 bn=n5，求a nbn的最大项的值并求出取最大值时 n 的值【答案】(1)见解析；(2) 当 n=2 或 n=3 时，a nbn的最大项的值为 6.【解析】(1)由已知可得 2Sn=a a n，且 an0，2n当 n=1 时，2a 1=a a 1，解得 a1=1；21当 n2 时，有 2Sn1=a a n1，2n 1所以 2an=2Sn2Sn1=a a a nan1，2n 2n 1所以 a a

7、=ana n1，即 (ana n1)(anan1)=ana n1，2n 2n 1因为 ana n10，所以 anan1=1(n2)故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)由(1)可知 an=n，设 cn=anbn，则 cn=n(n5)=n 25n= 2 ，(n 52) 254因为 nN *，所以当 n=2 或 n=3 时，a nbn的最大项的值为 6.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法：定义法： 或 是等差数列； 1()nad*N1(2,)nadn*Nna定义变形法：验证是否满足 ； 1n等差中项法： 为等差数列； 122()nn*通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；

8、,apq)na前 n 项和公式法： 为常数 为等差数列2(nS注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得12,nna即可；22nna（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明调研 3 已知数列 满足 ，且 ，则 _na*12naN（ ） 13a8【答案】 654【解析】由 可得 ，即数列 是以12n12nnn为首项，以 为公比的等比数列，即13a11818652,2, .24nnnaa【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法，属中档题.由 可得1na，由此求出数列的通项公式，即可得到 .112nna 8a调研 4 设数列a n的前

9、 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n1 =4an2.(1)设 bn=an1 2an，证明：数列b n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式【答案】(1)见解析；(2) an=(3n1)2n2.【解析】(1)由 a1=1 及 Sn1 =4an2，得 a1a 2=S2=4a12.a 2=5，b 1=a22a1=3.又Error!，得 an1 =4an4an1，a n1 2an=2(an2an1)b n=an1 2an，b n=2bn1，故b n是首项 b1=3，公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知 bn=an1 2an=32n1， = ，an 12n 1an2n34故 是首项为 ，公差

10、为 的等差数列an2n 12 34 = ( n1) = ，an2n12 343n 14故 an=(3n1)2n2.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法： 为常数且 数列 是等比数列1naq(0)qna（2）等比中项法： 数列 是等比数列212(,nnna*N（3）通项公式法： 数列 是等比数列)tn（4）前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列nSAq(0,1)q是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意：（1 ）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为

11、等比数列还需要 .10naq 10a考点 3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研 1 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则nSna135a5SA9 B11C 5 D7【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，135a1532a1353aa31所以 ，故选 C.532S【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质，得到，所以得到 ，从而求得 ，之后应用等差数列的求1532a1353aa31a和公式，得到结果.调研 2 若a n是等差数列，首项 a10，a 2 016a 2 0

12、170，a 2 016a2 0170成立的最大正整数 n 是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C【解析】因为 a10，a 2 016a 2 0170，a 2 016a2 0170，a 2 0170 成立的最大正整数 n 是 4 1 2017032.题组二 等比数列性质的应用调研 3 已知等比数列 中， ， ， 为方程 的两根，则na0n1a92106x20580=aA32 B64C 256 D 6【答案】B【解析】 ， 为方程 的两根，则 ，数列 是等比数列，1a92106x19ana则 ，又 ，所以 .22085019na2058064故选 B.【名师点睛】本题主要

13、考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可得 ，196a再利用等比中项的性质求 .20580a调研 4 已知数列a n是等比数列，S n 为其前 n 项和，若 a1a 2a 3=4，a 4a 5a 6=8，则S12=A40 B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列 S3，S 6S3，S 9S6，S 12S9 是等比数列，即数列4,8，S 9S6，S 12S9 是等比数列，因此 S12=481632=60 ，选 B技巧点拨等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差

14、数列性质的注意点：（1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若 ，则mnpqqpnmaa(,n，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列a n的前 n 项)q*N和 Sn 中的 n 为奇数时，才有 Sn=na 中 成立.应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mn= pq，则 aman=

15、apaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.考点 4 等差数列与等比数列的综合调研 1 已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若 a3，a 4，a 8 成等比数列，则Aa 1d0，dS 40 Ba 1d0，dS 40【答案】B【解析】由 a =a3a8，得(a 12d)(a 17d)=(a 13d) 2，整理得 d(5d3a 1)=0，又 d0，a 1=24d，则 a1d= d20，2n当 n=1 时，2a 1=a a 1，解得 a1=1；21当 n2 时，有 2S

16、n1=a a n1，2n 1所以 2an=2Sn2Sn1=a a a nan1，2n 2n 1所以 a a =ana n1，即 (ana n1)(anan1)=ana n1，2n 2n 1因为 ana n10，所以 anan1=1(n2)故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)由(1)可知 an=n，设 cn=anbn，则 cn=n(n5)=n 25n= 2 ，(n 52) 254因为 nN *，所以当 n=2 或 n=3 时，a nbn的最大项的值为 6.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法：定义法： 或 是等差数列； 1()nad*N1(2,)nadn*Nna定义变形法：验证是

17、否满足 ； 1n等差中项法： 为等差数列； 122()nn*通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列； ,apq)na前 n 项和公式法： 为常数 为等差数列2(nS注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得12,nna即可；22nna（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明调研 3 已知数列 满足 ，且 ，则 _na*12naN（ ） 13a8【答案】 654【解析】由 可得 ，即数列 是以12n12nnn为首项，以 为公比的等比数列，即13a11818652,2, .24nnnaa【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法

18、，属中档题.由 可得1na，由此求出数列的通项公式，即可得到 .112nna 8调研 4 设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n1 =4an2.(1)设 bn=an1 2an，证明：数列b n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式 【答案】(1)见解析；(2) an=(3n1)2n2.【解析】(1)由 a1=1 及 Sn1 =4an2，得 a1a 2=S2=4a12.a 2=5，b 1=a22a1=3.又Error!，得 an1 =4an4an1，a n1 2an=2(an2an1)b n=an1 2an，b n=2bn1，故b n是首项 b1=3，公比为 2 的等比数列

19、.(2)由(1)知 bn=an1 2an=32n1， = ，an 12n 1an2n34故 是首项为 ，公差为 的等差数列an2n 12 34 = ( n1) = ，an2n12 343n 14故 an=(3n1)2n2.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法： 为常数且 数列 是等比数列1naq(0)qna（2）等比中项法： 数列 是等比数列212(,nnna*N（3）通项公式法： 数列 是等比数列)tn（4）前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列nSAq(0,1)q是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意：（1 ）若要判

20、定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .10naq 10a考点 3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研 1 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则nSna135a5SA9 B11C 5 D7【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，135a1532a1353aa31所以 ，故选 C.532S【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质，得到，所以得到 ，从而求得 ，之后应用等差数列的求153

21、2a1353aa31a和公式，得到结果.调研 2 若a n是等差数列，首项 a10，a 2 016a 2 0170，a 2 016a2 0170成立的最大正整数 n 是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C题组二 等比数列性质的应用调研 3 已知等比数列 中， ， ， 为方程 的两根，则na0n1a92106x20580=aA32 B64C 256 D 6【答案】B【解析】 ， 为方程 的两根，则 ，数列 是等比数列，1a92106x19ana则 ，又 ，所以 .22085019na2058064故选 B.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可

22、得 ，196a再利用等比中项的性质求 .20580a调研 4 已知数列a n是等比数列，S n 为其前 n 项和，若 a1a 2a 3=4，a 4a 5a 6=8，则S12=A40 B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列 S3，S 6S3，S 9S6，S 12S9 是等比数列，即数列4,8，S 9S6，S 12S9 是等比数列，因此 S12=481632=60 ，选 B技巧点拨等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：（1）熟练掌握等差数列性质

23、的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若 ，则mnpqqpnmaa(,n，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列a n的前 n 项)q*N和 Sn 中的 n 为奇数时，才有 Sn=na 中 成立.应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mn= pq，则 aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2

24、）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.考点 4 等差数列与等比数列的综合调研 1 已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若 a3，a 4，a 8 成等比数列，则Aa 1d0，dS 40 Ba 1d0，dS 40【答案】B【解析】由 a =a3a8，得(a 12d)(a 17d)=(a 13d) 2，整理得 d(5d3a 1)=0，又 d0，a 1=24d，则 a1d= d20，又S 4=4a16d= d，dS 4= d20，故选 B53 53 23 23调研 2 已知公差不为 0 的等差数列 ，满足：

25、成等比数列.n1437,（1 ）求数列 的通项公式及其前 n 项和 ；n S（2 ）令 ，求数列 的前 项和 .*21nbaNnbnT【答案】 （1） ；（2） .,nnS41n【解析】 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1d由于 成等比数列，即 ，43,a243又 ，37所以 解得 ，121,daad13,2ad由于 ，11,2nnnS所以 .2,nna（2 ）因为 ，1所以 ，4n因此 11nbn故 12 1423nnTbn .41所以数列 的前 项和 .nb4nT【名师点睛】 （1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果；（2 ）通过裂项可知 bn= ，利用裂

26、项相消法求和即可14考点 5 等差数列与等比数列的创新问题题组一 等差数列与等比数列的新定义问题调研 1 设 Sn 为数列a n的前 n 项和，若 (nN *)是非零常数，则称该数列为“和等比数S2nSn列”若数列c n是首项为 2、公差为 d(d0)的等差数列，且数列c n是“和等比数列”，则d=_.【答案】4数列新定义型创新题的一般解题思路：(1)阅读审清“新定义”；(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义” 的相关知识；(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论题组二 等差数列与等比数列的文化背景问题调研 2 九章算术卷第六 均输中，提到如下问题：

27、“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列在这个问题中的中间两节容量分别是A 升、 升 B 2 升、3 升 67413C 升、 升 D 升、 升2 67【答案】D【解析】设从上而下，记第 节的容量为 升，故 ，iia1234a，设公差为 ，则有 ，解得 ，故 ，7894ad1346d176d576a，63故选 D调研 3 古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“ 一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天

28、分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的尺数为A B 2031 35C D85 2【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为 2，前 5项的和为 5，设首项为 ，前 n 项和为 ，1anS则由题意得 ， ， ，55123Sa1532301a即该女子第 3 天所织布的尺数为 故选 A0【名师点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为 2，由题意求出数列的首项后可得第 3 天织布

29、的尺数1 （ 陕西省汉中市汉中中学 2019 届高三数学第三次月考）设 为等比数列 的前 项nSna和， ，则2580a52SA B1 8C 5 D11【答案】A【解析】数列 为等比数列，设公比为 ,由 得 ,解得naq2580a3280aq.2q则 .5155222 31aqS故选 A.【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和.计算过程中先化简后代值可大大简化计算过程.由 可求出数列公比 ,再利用等比数列前 项和公式2580a2qn求 .52S2 （ 安徽省蚌埠市第一中学 2019 届高三上学期期中考试数学试题）已知数列 为等差na数列，且 ，则 的值为17134a21tanA B3 3C D【答案】B【解析】由数列 为等差数列，可知 .na1372a所以 ，有 .1713747所以 .28tatatnta3故选 B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.由等差数列的性质可知，解得 ，又 ，从而得解.17137aa7217tantan3 （ 湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（一）数学试题）在数列 中，na，数列 是以 3 为公比的等比数列，则 等于1n 32019logA2017 B2018 C 2019 D2020【答案】B【解析】 ，数列 是以 3 为公比的等比数列，1ana