2019年高考数学解密题（含解析）之 不等式

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1、 不等式高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率不等式的性质与一元二次不等式2018 课标全国22018 课标全国122016 课标全国12016 课标全国8线性规划2018 课标全国132018 课标全国142017 课标全国52016 课标全国16基本不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.2018 天津 132017 山东 7考点 1 不等式的性质与一元二次不等式题组一 不等式

2、的性质调研 1 若非零实数 ， ， 满足 ，则下列一定成立的不等式是abcabcA Bacb abcC D 1【答案】C【名师点睛】本题考查不等式性质，考查简单推理能力.根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同的.调研 2 已知非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是ab， bA B3ab 2abC D1 1122logl【答案】A【解析】利用排除法： 时， 与 都不成立，可排除1,2ab2ab112llab选项 B，D ；时， 不成立，可排除选项 C.1,2abab故选 A.【名师点睛】特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和

3、方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.n技巧点拨不等式的一些常用性质：(1)有关倒数的性质ab，ab0 b0,0 .ac bd0b0，m 0，则 (bm0)； ， 0)bab ma m bab ma m aba mb m aba mb m题组二 一元二次不等式调研 3 已知函数 的值域为0,+),若关于 x 的不等式2(,)fxabR的解集为 ,则实数 c 的值

4、为 . fxc,6m【答案】9【解析】因为 的值域为0,+),所以 =0,即 ,所以 的解集fx24ab2204axc为 ,6m易得 m,m+6 是方程 的两根,由根与系数的关系，得2204axc,解得 c=9.2264a调研 4 若不等式(a 2+4a-5)x2-4(a-1)x+30 恒成立,则 a 的取值范围是 . 【答案】1,19) 技巧点拨1一元二次不等式 ax2bxc 0(或0)，如果 a 与 ax2bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整

5、式不等式( 一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论考点 2 线性规划题组一 线性目标函数的最值及范围问题调研 1 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是,xy105xy2zxyA B8 7C D6 4【答案】B【解析】画出不等式组 表示的可行域（如图阴影部分所示） 105xy由 得 平移直线 ，结合图形可得，当直线2zxy2xz2yxz经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值y由 解得 ，故点 105xy23xy,3A min27z故选 B【名师点睛】画出可行域，将 变形为 ，然后平移直线2zxy2xz找到最优解后可求得 z 的最小值求目标函

6、数 的最值时，2yxz 0aby 将函数 转化为直线的斜截式的形式： ，通过求直线的截距 的最aby zyxzb值间接求出 z 的最值，解题时要分清 z 与截距 间是正比还是反比的关系b调研 2 已知不等式组 表示的平面区域为 (其中 是变量).若目标函2403xy,xy数 的最小值为6，则实数 的值为6(0)zaxyaA B632C3 D12【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由 得60zaxy，则直线斜率 ，平移直线 ，由图象可知，当直线6axzy06a6axy经过点 时，直线的截距最小，此时 最小，为6，由 ，得Az240xy，即 ，此时 ，解得 ，故选 C

7、20xy,0206a3a技巧点拨求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.题组二 非线性目标函数的最值及范围问题调研 3 设 x,y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值是70315xyA B52 34C D43 25【答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(三角形 ABC 及其内部)，可得 A(2,1)，B(3,4) ，C(5,2). 可看作区域内

8、的点( x,y)与原点 O 连线的斜率，则yx=kOCzkOB= .可得 z 的最大值为 .故选 C254343调研 4 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是_ xy、 2yx2zxy【答案】8【解析】作出约束条件 所对应的可行域（如图 ） ，2yxABC而 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为 或2zxy OC，所以 的最大值为 ，故答案为 .OA2zxy8技巧点拨常见的非线性目标函数的几何意义(1) 表示点(x ，y )与原点(0，0) 的距离；2(2) 表示点(x，y)与点( a，b)的距离；2)ab(3) 表示点(x，y)与原点(0 ，0)连线的斜率；(4) 表示

9、点(x ，y)与点(a，b)连线的斜率yb题组三 线性规划的实际应用调研 5 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原 料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原料 1 千克，每桶甲产品的利润是 300 元， 每桶乙产品的利润是 400 元，公司在要求每天消耗 原料都不超过 12 千克的条件下，生,产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为A1800 元 B2100 元C 2400 元 D2700 元【答案】C【解析】设分别生产甲、乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元，则根据题意可得xyz，目标函数为 ，作出不等式组表示的平面区域，如图213,0,

10、xyN304z所示，作直线 ，然后把直线向可行域平移，可得 时， 最大，最:3040lxy0,6xyz大值为 .2z故选 C.调研 6 某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品的有关数据如下表:因素 产品 A 产品 B 备注研制成本、搭载费用之和/万元20 30计划最大投资金额 300 万元产品质量 /千克 10 5 最大搭载质量 110 千克预计收益 /万元 80 60 则使总预计收益达到最大时,A,B 两种产品的搭载件数分别为A9,4 B8,5C9,5 D

11、8,4【答案】A【解析】设“神舟十一号” 飞船搭载新产品 A,B 的件数分别为 x,y,最大收益为 z 万元,则目标函数为 z=80x+60y.根据题意可知,约束条件为 ，即 .203015,xyxyN230,xyN不等式组所表示的可行域为如下图中阴影部分(包含边界)内的整数点,作出目标函数对应的直线 l,显然直线 l 过点 M 时,z 取得最大值.由 ，解得 ，故 M(9,4).230xy94xy所以目标函数的最大值为 zmax=809+604=960,此时搭载产品 A 有 9 件,产品 B 有 4 件.故选 A技巧点拨对于线性规划的实际问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，

12、不妨用列表法利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误题组四 线性规划与其他知识的交汇调研 7 若不等式组 表示的区域为 ，不等式 表示的区102xy214xy域为 ，向 区域均匀随机撒 颗芝麻，则落在区域 中的芝麻数约为360A B14 10C D50 5【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中ABC 及其内部，不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：214xy由图可得， 点坐标为 点坐标为 坐标为 点坐标为 .A31(,)2B31(,)2C(0,1)D1(,)2区域 即 的面积为

13、，区域 的面积为圆BC 94S的面积，即 ，其中区域 和区域 不相交的部分面积即空21()4xy24r白面积 ，所以区域 和区域 相交的部分面积21()16Sr白，所以落入区域 的概率为 .所以均匀随机撒346交 326SP交颗芝麻，则落在区域 中芝麻数约为 .36036014P故本题正确答案为 A.【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型，以线性规划为背景，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；计算出可行域的面积，二，画目标函数所对应的区域，为一个圆，计算出面319()224S积，即 ，注意圆有一部分没在可行域内，得到公共部分的面积xy，由几何概型的面积公式可得

14、.3416S交 326SP交调研 8 已知点 O 是坐标原点，点 A(1，2)，若点 M(x，y) 是平面区域 上的12xy一个动点， ( ) 0恒成立，则实数 m 的取值范围是 . OA OA MA 1m【答案】 (,0,3U【解析】因为 (1，2)， (x，y )，所以 ( ) x 2y.OA OM OA OA MA OA OM 所以不等式 ( ) 0恒成立等价于x 2y 0，即 x2y 恒成立OA OA MA 1m 1m 1m设 zx 2y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数 zx2y 表示的直线经过点 D(1,1)时取得最小值，最小值为 1213；当目标函数 zx2

15、y 表示的直线经过点 B(1,2)时取得最大值，最大值为 1225.所以 x2y3,5，于是要使 x2y 恒成立，只需 3，解得 m 或 m1，b1，若 axb y3，ab2 ，则 的最大值为31xy_【答案】1【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值) 、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .技巧点拨基本不等式的常用变形(1)ab2 (a0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立ab(2)a2b 22ab，ab 2(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成

16、立(a b2 )(3) 2(a，b 同号且均不为零)，当且仅当 ab 时，等号成立ba ab(4)a 2(a0)，当且仅当 a1 时，等号成立；a 2(a1，y1， ，又 ， ， 成等比数列，22log0,lxy2logx142ly，21log6y由基本不等式可得 ，当且仅当 时取等22llllxyxy22loglxy号，故 ，即 ，故 xy 的最小值为 .21logxy本题选择 A 选项【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ”，若忽略了某个条件，就会出现错误1 （山东省临沂市第十九中学 2019 届

17、高三上学期第六次质量调研考试数学试题）已知函数的定义域为集合 ，集合 ，则 为21yxA|21,BxnZABA B,3 3,C D2 （河北省衡水中学 2018 届高三十五模数学试题） 已知 ，则下列选项中错误30cab的是A B bacC D0cln0ab3 （ 2018 年普通高校招生全国卷一 (A)【衡水金卷】高三信息卷(四) 数学试题）设， ，若 是 的必要不充分条件，则实34:2xp22:1qxmxpq数 的取值范围为mA B,13,1C D20,20,4 （贵州省铜仁市第一中学 2017-2018 学年高三上学期第二次月考数学试题）已知关于 x的不等式 x24ax6a 20)的解集

18、为( x1,x2)，则 x1x 2 的最小值是1aA B3 3C D26 45 （广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学 2019 届高三上学期第三次联考数学试题）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是034xy32xyA0 B2 C 5 D66 （天津市十二校 2018 年高三二模联考数学试题）已知 ， 满足不等式组xy则目标函数 的最小值为10,3,xy23zxyA B 2C D4 57 （山东省济南外国语学校 2019 届高三 12 月月考数学试题）正项等比数列 中，存在na两项 使得 ，且 ，则 的最小值是,mna14mna6542a1mnA B232C D7 68 （吉林省四平市

19、 2018 届高三质量检测数学试题） 若 满足约束条件 且向,xy21xy量 ,则 的取值范围是3,2xyababA B54， 752，C D72， 4，9 （河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学试题）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于 ，广告的总播放时长不少60min于 ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 ， 表30min xy示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周

20、播出甲、乙两套连续剧的次数分别为A6 ，3 B5 ，2C 4，5 D2，710 （四川省乐山市 2019 届高三第一次调查研究考试数学试题）已知实数 ， 满足xy， 且 ，则 的最大值为 _0xy140xy1xy11 (江西省南康中学 2019 届高三上学期第五次月考数学试题) 设正数 满足,xy，则 的最小值为_.,23xy195xy12 （四川省内江市 2019 届高三第一次模拟考试数学试题）设 ， 满足约束条件xy，则 的最小值为_.13xy2zxy13 （江西省南昌市第十中学 2019 届高三上学期第二次月考数学试题）已知 的三ABC个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若ABCa

21、bc，且 ，则 面积的最大值为_.3sinsinac3ABC14 （安徽省江淮十校 2018 届高三第三次（4 月）联考数学文试题）已知实数 ， 满足xy不等式组 ，若直线 把不等式组表示的平面区域分成面积2013xy1ykx相等的两部分，则 _k15 （河北省武邑中学 2018 届高三上学期期末考试数学试题）已知实数 满足,xy，则 的最小值为_2041xy2yx16 （衡水金卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试分科综合卷数学（二）模拟试题）已知 满足 ，则 的取值范围是_ ,xy2yx53y17 （陕西省彬州市 2018-2019 学年上学期高 2019 届高三年级第一次教学质量监

22、测试卷数学试题）如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线分别交 两边GABC G,ABC于 两点，且 ， ，则 的最小值为_ ,MNxNy3xy1 （ 2018 新课标全国理科） 已知集合 ，则20AxARA B 2x 12xC D |1|x |x2 （ 2018 新课标全国理科 ）设 ， ，则0.2log3a2log0.3bA B0ab 0abC D3（2016 新课标全国理科） 设集合 ， ，则2|43Ax|23xBA B3(,)2 (,)2C D(1,) 3(,)4 （ 2017 新课标全国理科） 设 ， 满足约束条件 ，则 的xy230xy2zxy最小值是A B15 9C D5 （

23、2016 新课标全国理科） 某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A 和 产 品 B 需 要 甲 、 乙 两 种 新 型 材 料 .生 产 一 件 产 品 A 需 要 甲 材 料 1.5 kg， 乙 材 料 1 kg， 用 5 个 工 时 ； 生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材料 0.5 kg， 乙 材 料 0.3 kg， 用 3 个 工 时 ， 生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2100 元 ， 生 产 一 件 产 品B 的 利 润 为 900 元 .该 企 业 现 有 甲 材 料 150 kg， 乙 材 料 90 kg， 则 在 不 超 过 600 个 工 时 的 条件

24、 下 ， 生 产 产 品 A、 产 品 B 的 利 润 之 和 的 最 大 值 为 元 .6 （ 2018 新课标 I 理科）若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值xy210xy32zxy为_7 （ 2018 新课标 II 理科）若 满足约束条件 则 的最大值为,xy2503xy， zxy_不等式高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率不等式的性质与一元二次不等式2018 课标全国22018 课标全国122016 课标全国12016 课标全国8线性规划2018 课标全国132018 课标全国142017 课标全国52016 课标全国16基本不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的

25、性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.2018 天津 132017 山东 7考点 1 不等式的性质与一元二次不等式题组一 不等式的性质调研 1 若非零实数 ， ， 满足 ，则下列一定成立的不等式是abcabcA Bacb abcC D 1【答案】C【解析】A. 若 ， 不一定为正，则 不一定成立，故 A 错；abcacbB.同 A，当 不一定为正时， 不一定成立，故 B 错；C.由 ，故 C 正确；D.举反例： ， ， ， ，故 D 错

26、误，1ab2c1ab综上可知选 C【名师点睛】本题考查不等式性质，考查简单推理能力.根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同的.调研 2 已知非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是ab， bA B3ab 2abC D1 1122logl【答案】A【名师点睛】特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（4）解方程、求

27、解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.n技巧点拨不等式的一些常用性质：(1)有关倒数的性质ab，ab0 b0,0 .ac bd0b0，m 0，则 (bm0)； ， 0)bab ma m bab ma m aba mb m aba mb m题组二 一元二次不等式调研 3 已知函数 的值域为0,+),若关于 x 的不等式2(,)fxabR的解集为 ,则实数 c 的值为 . fxc,6m【答案】9【解析】因为 的值域为0,+),所以 =0,即 ,所以 的解集fx24ab2204axc为 ,6m易得 m,m+6 是方程 的两根,由根与系数的关系，得2204axc,解得 c=9.2264a调研 4 若

28、不等式(a 2+4a-5)x2-4(a-1)x+30 恒成立,则 a 的取值范围是 . 【答案】1,19) 技巧点拨1一元二次不等式 ax2bxc 0(或0)，如果 a 与 ax2bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式( 一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论考点 2 线性规划题组一 线性目标函数的最值及范围问题调研 1 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是,xy105xy2zxyA B8 7C D6 4【答案】B【解析

29、】画出不等式组 表示的可行域（如图阴影部分所示） 105xy由 得 平移直线 ，结合图形可得，当直线2zxy2xz2yxz经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值y由 解得 ，故点 105x3xy2,3 min237z故选 B【名师点睛】画出可行域，将 变形为 ，然后平移直线2zxy2xz找到最优解后可求得 z 的最小值求目标函数 的最值时，2yxz 0aby 将函数 转化为直线的斜截式的形式： ，通过求直线的截距 的最aby zyxzb值间接求出 z 的最值，解题时要分清 z 与截距 间是正比还是反比的关系b调研 2 已知不等式组 表示的平面区域为 (其中

30、是变量).若目标函2403xy,xy数 的最小值为6，则实数 的值为6(0)zaxyaA B632C3 D12【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由 得60zaxy，则直线斜率 ，平移直线 ，由图象可知，当直线6axzy06a6axy经过点 时，直线的截距最小，此时 最小，为6，由 ，得Az240xy，即 ，此时 ，解得 ，故选 C20xy,0206a3a技巧点拨求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确

31、定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.题组二 非线性目标函数的最值及范围问题调研 3 设 x,y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值是70315xyA B52 34C D43 25【答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(三角形 ABC 及其内部)，可得 A(2,1)，B(3,4) ，C(5,2). 可看作区域内的点( x,y)与原点 O 连线的斜率，则yx=kOCzkOB= .可得 z 的最大值为 .故选 C254343调研 4 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是_ xy、 2yx2zxy【答案】8【解析】作出约束条件 所对应的可行域（如

32、图 ） ，2yxABC而 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为 或2zxy OC，所以 的最大值为 ，故答案为 .OA2zxy8技巧点拨常见的非线性目标函数的几何意义(1) 表示点(x ，y )与原点(0，0) 的距离；2(2) 表示点(x，y)与点( a，b)的距离；2)ab(3) 表示点(x，y)与原点(0 ，0)连线的斜率；(4) 表示点(x ，y)与点(a，b)连线的斜率yb题组三 线性规划的实际应用调研 5 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原 料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原料 1 千克，每桶甲

33、产品的利润是 300 元， 每桶乙产品的利润是 400 元，公司在要求每天消耗 原料都不超过 12 千克的条件下，生,产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为A1800 元 B2100 元C 2400 元 D2700 元【答案】C【解析】设分别生产甲、乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元，则根据题意可得xyz，目标函数为 ，作出不等式组表示的平面区域，如图213,0,xyN304z所示，作直线 ，然后把直线向可行域平移，可得 时， 最大，最:3040lxy0,6xyz大值为 .2z故选 C.调研 6 某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A,B,要根据该产品的研制成本

34、、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品的有关数据如下表:因素 产品 A 产品 B 备注研制成本、搭载费用之和/万元20 30计划最大投资金额 300 万元产品质量 /千克 10 5 最大搭载质量 110 千克预计收益 /万元 80 60 则使总预计收益达到最大时,A,B 两种产品的搭载件数分别为A9,4 B8,5C9,5 D8,4【答案】A【解析】设“神舟十一号” 飞船搭载新产品 A,B 的件数分别为 x,y,最大收益为 z 万元,则目标函数为 z=80x+60y.根据题意可知,约束条件为 ，即 .203015,xyxyN230,xyN不等式组所表示的可行

35、域为如下图中阴影部分(包含边界)内的整数点,作出目标函数对应的直线 l,显然直线 l 过点 M 时,z 取得最大值.由 ，解得 ，故 M(9,4).230xy94xy所以目标函数的最大值为 zmax=809+604=960,此时搭载产品 A 有 9 件,产品 B 有 4 件.故选 A技巧点拨对于线性规划的实际问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误题组四 线性规划与其他知识的交汇调研 7 若不等式组 表示的区域为 ，不等式 表示的

36、区102xy214xy域为 ，向 区域均匀随机撒 颗芝麻，则落在区域 中的芝麻数约为360A B14 10C D50 5【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中ABC 及其内部，不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：214xy由图可得， 点坐标为 点坐标为 坐标为 点坐标为 .A31(,)2B31(,)2C(0,1)D1(,)2区域 即 的面积为 ，区域 的面积为圆BC 94S的面积，即 ，其中区域 和区域 不相交的部分面积即空21()4xy24r白面积 ，所以区域 和区域 相交的部分面积21()16Sr白，所以落入区域 的概率为 .所以均匀随机撒346交 326SP交颗芝麻，则

37、落在区域 中芝麻数约为 .36036014P故本题正确答案为 A.【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型，以线性规划为背景，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；计算出可行域的面积，二，画目标函数所对应的区域，为一个圆，计算出面319()224S积，即 ，注意圆有一部分没在可行域内，得到公共部分的面积xy，由几何概型的面积公式可得 .3416S交 326SP交调研 8 已知点 O 是坐标原点，点 A(1，2)，若点 M(x，y) 是平面区域 上的12xy一个动点， ( ) 0恒成立，则实数 m 的取值范围是 . OA OA MA 1m【答案】 (,0,3U【解析】

38、因为 (1，2)， (x，y )，所以 ( ) x 2y.OA OM OA OA MA OA OM 所以不等式 ( ) 0恒成立等价于x 2y 0，即 x2y 恒成立OA OA MA 1m 1m 1m设 zx 2y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数 zx2y 表示的直线经过点 D(1,1)时取得最小值，最小值为 1213；当目标函数 zx2y 表示的直线经过点 B(1,2)时取得最大值，最大值为 1225.所以 x2y3,5，于是要使 x2y 恒成立，只需 3，解得 m 或 m1，b1，若 axb y3，ab2 ，则 的最大值为31xy_【答案】1【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值) 、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .技巧点拨基本不等式的常用变形