2018-2019学年上海市闵行区高一（下）期末数学试卷（含答案解析）
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1、2018-2019 学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷一.填空题1 （3 分）方程 cosxsin 的解为 x 2 （3 分）设a n为等差数列，若 a1+a5+a9，则 a2+a8 3 （3 分）求值： 4 （3 分）函数 yarccos（sinx ） ， 的值域是 5 （3 分）设数列a n的前 n 项和 Sn，若 a11，S n 0（n N*） ，则a n的通项公式为 6 （3 分）利用数学归纳法证明不等式“1+ + + （n2，n N*
2、） ”的过程中，由“nk” 变到“nk+1”时，左边增加了 项7 （3 分）若 f（x ）2sinx 1 在区间a，b（a，bR 且 ab）上至少含有 30 个零点，则 ba 的最小值为 8 （3 分）设数列a n的通项公式为 an ，则 （a 1+a2+an） 9 （3 分）已知数列a n中，其前 n 项和为 Sn， ，则 S9 10 （3 分）对于正项数列a n，定义 为a n的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为 ，则数列a n的通项公式为 11 （
3、3 分）ABC 中，sin 2Asin 2B+sin2Csin BsinC，则 A 的取值范围为 12 （3 分）关于 x 的方程 x24 arctan（cosx）+a 20 只有一个实数根，则实数 a 13 （3 分）等差数列a n前 n 项和为 Sn，已知（a 22） 3+2013（a 22）sin ， （a 20132） 3+2013（a 20132）cos ，则 S2014 14 （3 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，若数列a n的各项按如下规律排列： ， ， ， ， ， ， ， ，
4、， ， ， ，有如下运算和结论：第 2 页（共 20 页）a24 ；数列 a1，a 2+a3，a 4+a5+a6，a 7+a8+a9+a10，是等比数列；数列 a1，a 2+a3，a 4+a5+a6，a 7+a8+a9+a10，的前 n 项和为 Tn ；若存在正整数 k，使 Sk10，S k+110，则 ak 其中正确的结论是 （将你认为正确的结论序号都填上）二.选择题15 （3 分）已知a n、b n都是公差不为 0 的等差数列，且2，S na 1+a2+an，则 的值为（ ）A2 B1 C1 D不存在16 （3 分）设a n是公比为 q（0|q|
5、1）的无穷等比数列，若a n的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列a 2n1 是（ ）A公比为 的等比数列B公比为 的等比数列C公比为 或 的等比数列D公比为 或 的等比数列17 （3 分）函数 图象的一条对称轴在 内，则满足此条件的一个 值为（ ）A B C D18 （3 分）若数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列命题：（1）若数列a n是递增数列，则数列S n也是递增数列；（2）数列S n是递增数列的充要条件是数列a n的各项均为正数；（3）若a n是等差数列（公差 d0） ，则 S1S2Sk0 的充要条件是 a1a2ak0（4）若a n是等比数列，则
6、S1S2Sk0（k2，k N）的充要条件是 an+an+10其中，正确命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个第 3 页（共 20 页）三.解答题19已知函数 f（x ）x 2+（2n）x2n 的图象与 x 轴正半轴的交点为 A（a n，0） ，n1，2，3，（1）求数列a n的通项公式；（2）令 为正整数） ，问是否存在非零整数 ，使得对任意正整数 n，都有 bn+1b n？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由20已知函数 f（x ）2 sinxcosx+3sin2x+cos2x2，xR；（1）求函数 f（x ）在（0，）上的单调递增区间；（2）在ABC 中，
7、内角 A、B、C 所对边的长分别是 a，b，c，若 f（A）2，C ，c 2，求ABC 的面积 SABC 的值；21已知函数 f（x ）2sin（x） ，其中常数 0（）令 1 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由（） 令 2，将函数 yf（x ）的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg（x ）的图象对任意 aR，求 yg（x）在区间 a，a+10 上的零点个数的所有可能22已知数列a n满足：a 11，a n+1 ，b na 2n2；（1）求 a2、a 3、a 4；（2）求证：数列b n为等比数列，并求其通项公式；（3）求和 Tna 2+a4+a2n；23已知a n，b n
8、为两非零有理数列（即对任意的 iN*，a i，b i 均为有理数） ， dn为一无理数列（即对任意的 iN*，d i 为无理数） （1）已知 bn2a n，并且（a n+bndna ndn2） （1+d n2）0 对任意的 nN*恒成立，试求d n的通项公式（2）若d n3为有理数列，试证明：对任意的 nN*， （a n+bndna ndn2） （1+d n2）1 恒第 4 页（共 20 页）成立的充要条件为 （3）已知 sin2 （0 ） ，d n ，试计算 bn第 5 页（共 20 页）2018-2019 学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1 （3
9、分）方程 cosxsin 的解为 x 2k （k Z） 【分析】由诱导公式可得 cosxsin cos cos （ ） ，由余弦函数的周期性可得：x2k （kz） 【解答】解：因为方程 cosxsin cos cos （ ） ，所以 x2k （kz） ，故答案为：2k （kz） 【点评】本题考查了解三角方程，属简单题2 （3 分）设a n为等差数列，若 a1+a5+a9，则 a2+a8 【分析】根据等差数列的性质即可求出【解答】解：a 1+a5+a93a 5，a 5 ，a 2+a82a 5 ，故答案为：【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题3 （3
10、分）求值： 【分析】利用反三角函数的定义、同角三角函数的基本关系求得 sinarccos（ ）的值【解答】解：由题意，sinarccos（ ） 故答案为： 【点评】本题主要考查反三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题第 6 页（共 20 页）4 （3 分）函数 yarccos（sinx ） ， 的值域是 【分析】先将 sinx 看作整体求出其取值范围，再利用反余弦函数的性质求解【解答】解：当 时， sinx 1，由于反余弦函数是定义域 1，1 上的减函数，且 arccos（ ） ，arccos1 0，所以值域为 故答案为： 【点评
11、】本题考查反三角函数的运用，主要考查了三角函数，反三角函数的单调性及值域，属于基础题5 （3 分）设数列a n的前 n 项和 Sn，若 a11，S n 0（n N*） ，则a n的通项公式为 a n 【分析】n2 时，a nS nS n1 ，化为：a n+13a nn1 时，1a 1 a2，解得a22不满足上式利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：n2 时，a nS nS n1 an+1 ，化为：a n+13a nn1 时，1a 1 a2，解得 a22不满足上式数列a n在 n2 时成等比数列n2 时，a n23 n2 a n 故答案为：a n 【点评】本题考查了数列递推关系
12、、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （3 分）利用数学归纳法证明不等式“1+ + + （n2，n N*） ”的过程中，由“nk” 变到“nk+1”时，左边增加了 2 k 项第 7 页（共 20 页）【分析】 ，最后一项为 ，nk+1 时，最后一项为 ，由此可得由 nk 变到nk+1 时，左边增加的项数【解答】解：由题意，nk 时，最后一项为 ，nk+1 时，最后一项为 ，由 nk 变到 nk +1 时，左边增加了 2k+1（2 k+1）+12 k，故答案为：2 k【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7 （3 分）若 f（x ）2sinx
13、1 在区间a，b（a，bR 且 ab）上至少含有 30 个零点，则 ba 的最小值为 【分析】再据函数的零点的定义求得函数 f（x ）的零点，从而得出结论【解答】解：根据 f（x ）2sinx10，即 sinx ，故 x2k + ，或x2k+ ，f（x）2sinx 1 在区间a，b（a，bR 且 ab）上至少含有 30 个零点，不妨假设 a （此时，k0） ，则此时 b 的最小值为 28+ ， （此时，k14） ，ba 的最小值为 28+ ，故答案为： 【点评】本题主要考查函数的零点的定义，属于中档题8 （3 分）设数列a n的通项公式为 an ，则 （a 1+a2+
14、an） 【分析】利用数列的通项公式，求解数列的和，然后求解数列的极限【解答】解：数列a n的通项公式为 an ，则 a1+a2+an1+2+3+ 6+ ，则 （a 1+a2+an） 6+ 第 8 页（共 20 页）故答案为： 【点评】本题考查数列的求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力9 （3 分）已知数列a n中，其前 n 项和为 Sn， ，则 S9 377 【分析】由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解： ，则 S9（1+4+16+64+256）+（3+7+11+15） +36341+36 377故答案为：377【点评】本题考查数列的求和：
15、分组求和，注意运用等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于基础题10 （3 分）对于正项数列a n，定义 为a n的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为 ，则数列a n的通项公式为 【分析】根据“光阴”值的定义，及 ，可得 a1+2a2+nan ，再写一式，两式相减，即可得到结论【解答】解：a 1+2a2+nana 1+2a2+nan a 1+2a2+（n1）a n1 得 故答案为：【点评】本题考查新定义，考查数列的通项，解题的关键是理解新定义，通过再写一式，第 9 页（共 20 页）两式相减得到结论11 （3 分）ABC 中，sin 2Asin 2B+sin
16、2Csin BsinC，则 A 的取值范围为 （0，60 【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出 cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的 cosA 中，得出 cosA 的范围，由 A 为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出 A 的取值范围【解答】解：利用正弦定理化简 sin2Asin 2B+sin2Csin BsinC 得：a 2b 2+c2bc，变形得：b 2+c2a 2bc ，cosA ，又 A 为三角形的内角，则 A 的取值范围是（0，60故答案为：（0，60【点评】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余
17、弦定理是解本题的关键12 （3 分）关于 x 的方程 x24 arctan（cosx）+a 20 只有一个实数根，则实数 a 1 【分析】设 f（x ）x 24arctan（cosx）+a 2，则可判断出 f（x ）为偶函数，又 f（x）只有一个零点，故只能是 x0，将 x0 代入原方程解得 a1【解答】解：设 f（x ）x 24arctan（cosx）+a 2，则 f（x ）（x）24arctan（cos（x） ）+ a2x 24arctan（cos x）+a 2f（x）f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，又依题意 f（x）只有一个零点，故此零点只能是 x0，所以 04arctan （
18、cos0）+ a20，4arctan1+a 20，4 +a20，a 21，a1，故答案为：1【点评】本题考查了反三角函数，函数的奇偶性，函数的零点，属中档题13 （3 分）等差数列a n前 n 项和为 Sn，已知（a 22） 3+2013（a 22）第 10 页（共 20 页）sin ， （a 20132） 3+2013（a 20132）cos ，则 S2014 4028 【分析】将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a2+a2013 的值，利用等差数列的性质及数列的前 n 项和公式求出 n 项和【解答】解：（a 22） 3+2013（a 22）sin ，（a 20
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