2019高考数学试题汇编之立体几何(解析版)
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1、1专题 04 立体几何1 【2019 年高考全国卷文数】设 , 为两个平面,则 的充要条件是A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C, 平行于同一条直线D, 垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知: 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件,由面面平行性质定理知,若 ,则 内任意一条直线都与 平行,所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要条件,故选 B【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:
2、“若 ,则 ”此类的错误,aba 2【2019 年高考全国卷文数】如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则ABM=EN,且直线 BM,EN 是相交直线BBM EN,且直线 BM,EN 是相交直线CBM =EN,且直线 BM,EN 是异面直线DBMEN,且直线 BM,EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示,作 于 ,连接 ,BD,易得直线 BM,EN 是三角形 EBD 的中线,是EOCDON相交直线.2过 作 于 ,连接 ,MFODBF平面 平面 , 平面 , 平面 , 平面CEA,ECDOEOABCDMF, 与
3、均为直角三角形设正方形边长为 2,易知 ,AB N 3,12ENE,, ,故选 B35,72FBME【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题3 【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 =Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该柱体的体积(单位:cm 3)是A158 B162C182 D324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为 6,底面可以看
4、作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,下底为 6,高为 3,另一个的上底为 2,下底为 6,高为 3,则该棱柱的体积为3.2643612故选 B.【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体积,常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二,一是不能正确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算.4 【2019 年高考浙江卷】设三棱锥 VABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱 VA 上的点(不含端点) 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 ,直线 PB 与平面 ABC 所成的角
5、为 ,二面角 PACB 的平面角为 ,则A , B, C, D, 【答案】B【解析】如图, 为 中点,连接 VG, 在底面 的投影为 ,则 在底面的投影 在线段GACVACOPD上,过 作 垂直于 于 E,连接 PE,BD ,易得 ,过 作 交 于 ,AODEEVG FAC VGF连接 BF,过 作 ,交 于 ,则 ,结合 PFB,H BH,BPFDEBDH, PDB 均为直角三角形,可得 ,即 ;在 RtcoscosPED 中, ,即 ,综上所述,答案为 B.tantanPDEB【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答
6、的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角,未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.45 【2019 年高考全国卷文数 】已知ACB=90,P 为平面 ABC 外一点,PC=2,点 P 到ACB 两边AC,BC 的距离均为 ,那么 P 到平面 ABC 的距离为_ 3【答案】 2【解析】作 分别垂直于 , 平面 ,连接 ,,PDE,ACBOABCO由题意可知 , ,CP=DP平面 ,又 平面 , ,O, , ,3PDE23sinsi2CE,60CBA又易知 , 为 的平分线,OB,4512,
7、CDO又 , 2PC2【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到 在底面上的射影,使P用线面垂直定理,得到垂直关系,利用勾股定理解决注意画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题则很难解决,将几何体摆放成正常视角,是立体几何问题解决的有效手段,几何关系利于观察,解题事半功倍6【2019 年高考全国卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为
8、548 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面,其棱长为_(本题第一空 2 分,第二空 3 分)【答案】26, 21【解析】由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有 9 个面,计 18 个面,第二层共有 8 个面,所以该半正多面体共有 个面1826如图,设该半正多面体的棱长为 ,则 ,延长 与 的延长线交于点 ,延长 交xABExCBFEGBC正方体的棱于 ,由半正多面体对称性可知, 为等腰直角三角形,HG,22, (1)BGECxGxx,12x即该半正多面体的棱长为 21【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物
9、体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形7 【2019 年高考全国卷文数】学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型如图,该模型为长方6体 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心,E,F,G ,H1ABCD分别为所在棱的中点, ,3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑16cm4cAB=CA=,打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_g.【答案】118.8【解析】由题意得, ,21463cm2EFGHS四 边 形四棱锥 OEFGH 的高为 3cm, 31OEFGHV又
10、长方体 的体积为 ,1ABCD3246c所以该模型体积为 ,21mOEFGHV其质量为 0.938.g【名师点睛】本题考查几何体的体积问题,理解题中信息联系几何体的体积和质量关系,从而利用公式求解根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积,再求出模型的质量即可.8【2019 年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1,那么该几何体的体积为_7【答案】40【解析】如图所示,在棱长为 4 的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,11MPDANQCB则几何体的体积 .314240V【名
11、师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体,再根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解9【2019 年高考北京卷文数】已知 l,m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断:lm;m ;l 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_8【答案】如果 l,m,则 lm.【解析】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果 l
12、,m,则 lm,正确;(2)如果 l,lm,则 m,不正确,有可能 m 在平面 内;(3)如果 lm,m,则 l,不正确,有可能 l 与 斜交、l.故答案为:如果 l,m,则 lm.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断,分别作为条件、结论加以分析即可.10【2019 年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个25底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_.【答案】4【解析】由题意,四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 ,借助勾股定理,可知四棱锥25的高
13、为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,一个底面的圆心为四棱锥底512面的中心,故圆柱的高为 ,圆柱的底面半径为 ,故圆柱的体积为 .12214【名师点睛】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.11 【2019 年高考江苏卷】如图,长方体 的体积是 120,E 为 的中点,则三棱锥1ABCD1CEBCD 的体积是 .【答案】10【解析】因为长方体 的体积为 120,所以 ,1ABCD120ABC9因为 为 的中点,所以 ,E1C12EC由长方体的性质知 底面 ,1ABD所以 是三棱锥 的底面 上的
14、高,所以三棱锥 的体积 .EC132VCE1120132ABC【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“ 补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.12 【2019 年高考全国卷文数 】如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N 分别是 BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN平面 C1DE;(2)求点 C 到平面 C1DE 的距离【答案】 (1)见解析;(2) .47【解析】 (1)连结 .1,BME
15、因为M,E 分别为 的中点,所以 ,且 .1,C1 BC 12MEB10又因为N为 的中点,所以 .1AD12NAD由题设知 ,可得 ,故 ,=BC 1=B =MEN因此四边形MNDE为平行四边形, .又 平面 ,所以MN平面 .MN1DE1CD(2)过C作C 1E的垂线,垂足为H .由已知可得 , ,所以DE平面 ,故DECH.B11E从而CH平面 ,故CH的长即为C 到平面 的距离,1 C由已知可得CE=1,C 1C=4,所以 ,故 .17E471H从而点C到平面 的距离为 .1D4【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及的知识点有线面平行的判定,点到平面的距离的求解,在解题的过程
16、中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容,注意平行线的寻找思路,再者就是利用线面垂直找到距离问题,当然也可以用等积法进行求解.13【2019 年高考全国卷文数】如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1上,BEEC 111(1)证明:BE平面 EB1C1;(2)若 AE=A1E,AB =3,求四棱锥 的体积1EBC【答案】 (1)见详解;(2)18.【解析】 (1)由已知得 B1C1平面 ABB1A1,BE 平面 ABB1A1,故 BC又 ,所以 BE平面 1E1E(2)由(1)知BEB 1=90.由题设知 RtABERtA 1B1E,所以 ,145
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