2019年高考数学（含解析)之三角函数与解三角形热点问题（专项训练）

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1、三角函数与解三角形热点问题（专项训练）1.已知函数 f(x)sin x 2 sin23x(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最小值 .0，232.(2019济南调研)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin A4bsin B，ac (a2b 2c 2).5(1)求 cos A 的值；(2)求 sin(2BA)的值.3.已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR ).3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)2，c5，cos B ，求ABC

2、中线 AD 的长.174.(2018湘中名校联考)已知函数 f(x)cos x(cos x sin x).3(1)求 f(x)的最小值；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f(C)1，S ABC ，c ，求334 7ABC 的周长.5.已知ABC 中内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B， )，n(cos 32B，2 cos1)，B 为锐角且 mn .(1)求角 B 的大小；(2)如果 b2，求 SABC 的最大值 .6.(2019上海徐汇区二模)已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足(abc)(sin Bs

3、in Csin A)bsin C.(1)求角 A 的大小；(2)设 a ，S 为ABC 的面积，求 S cos Bcos C 的最大值.3 3三角函数与解三角形热点问题（专项训练）1.已知函数 f(x)sin x 2 sin23x(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间 上的最小值 .0，23解 (1)因为 f(x)sin x cos x3 32sin ，(x 3) 3所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为 0x ，所以 x .23 3 3当 x ，即 x 时，f(x) 取得最小值.3 23所以 f(x)在区间 上的最小值为 f .0，23 (23) 32.(2019济南

4、调研)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin A4bsin B，ac (a2b 2c 2).5(1)求 cos A 的值；(2)求 sin(2BA)的值.解 (1)由 asin A4bsin B，及 ，得 a2b.asin A bsin B由 ac (a2b 2c 2)，5及余弦定理，得 cos A .b2 c2 a22bc 55acac 55(2)由(1)，可得 sin A ，代入 asin A4bsin B，255得 sin B .asin A4b 55由(1)知，A 为钝角，所以 cos B .1 sin2B255于是 sin 2B2sin Bcos

5、B ，cos 2B12sin 2B ，45 35故 sin(2BA )sin 2Bcos Acos 2Bsin A .45 ( 55) 35 255 2553.已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR ).3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)2，c5，cos B ，求ABC 中线 AD 的长.17解 (1)f(x) cos 2x sin 2x2sin .3 (2x 6)T . 函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)由(1)知 f(x)2sin ，(2x 6)在ABC 中 f(A)2，si

6、n 1，(2A 6)2A ，A .又 cos B ，sin B ，6 2 3 17 437sin Csin(AB) ，32 17 12 437 5314在ABC 中，由正弦定理 ，得 ，csin C asin A 55314 a32a7，BD .72在ABD 中，由余弦定理得，AD2AB 2BD 22ABBD cos B5 2 25 ，(72)2 72 17 1294因此ABC 的中线 AD .12924.(2018湘中名校联考)已知函数 f(x)cos x(cos x sin x).3(1)求 f(x)的最小值；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f(C)1，S

7、 ABC ，c ，求334 7ABC 的周长.解 (1)f(x) cos x (cos x sin x)cos 2x sin xcos x sin 2x sin .3 31 cos 2x2 32 12 (2x 6)当 sin 1 时，f(x)取得最小值 .(2x 6) 12(2)f(C) sin 1， sin ，12 (2C 6) (2C 6) 12C(0，)， 2C ，2C ，C .6 (6，136) 6 56 3S ABC absin C ， ab3.12 334又(ab) 22abcos 72ab ，3(ab) 216，即 ab4，abc4 ，7故ABC 的周长为 4 .75.已知ABC

8、 中内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B， )，n(cos 32B，2 cos1)，B 为锐角且 mn .(1)求角 B 的大小；(2)如果 b2，求 SABC 的最大值 .解 (1)mn，2sin B cos 2B，(2cos2B2 1) 3sin 2B cos 2B，即 tan 2B .3 3又B 为锐角，2B(0 ，)，2B ，B .23 3(2)B ，b2，3由余弦定理 b2a 2c 22ac cos B，得 a2c 2ac40.又 a2c 22ac，代入上式，得 ac4，故 SABC acsin B ac ，12 34 3当且仅当 ac2 时等号成立，

9、即 SABC 的最大值为 .36.(2019上海徐汇区二模)已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C.(1)求角 A 的大小；(2)设 a ，S 为ABC 的面积，求 S cos Bcos C 的最大值.3 3解 (1)(ab c )(sin Bsin Csin A )bsin C，根据正弦定理，知(ab c)(bca) bc ，即 b2c 2a 2bc .由余弦定理，得 cos A .b2 c2 a22bc 12又 A(0，)，所以 A .23(2)根据 a ，A 及正弦定理323得 2，bsin B csin C asin A 332b2sin B，c 2sin C.S bcsin A 2sin B2sin C sin Bsin C.12 12 32 3S cos Bcos C sin Bsin C cos Bcos C3 3 3 cos(BC ).3故当 BC 时，S cos Bcos C 取得最大值 .6 3 3