2019年高考数学（含解析)之三角函数的图象与性质（跟踪知识梳理）

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1、三角函数的图象与性质跟踪知识梳理考纲解读：1.能画出 xyxytancossin， 的图像；2.了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间 02， 的性质（如 单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等），理解正切函数在区间（ ，）的单调性.考点梳理：1正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数 sinyx,余弦函数 cosyx,正切函数 tanyx的图象与性质性质i tanyx图象定义域RR,2xkZ值域1,1,R最值当2xkZ时，max1y；当 2k时，miny当 2xkZ时，ma1y；当 xk时，miny既无最大值，也无最小值周期性22奇偶性sinsix,奇函数 cossx偶

2、函数 tantax奇函数单调性在 2,2kkZ上是增函数；在 32,2kk上是减函数在,2kZ上是增函数；在 ,上是减函数在 ,2kkZ上是增函数对称性对称中心 ,0kZ对称轴 2x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心 ,02kkZ对称轴 x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心 ,02kZ无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2） （五点法） ，先列表，令 30,2x，求出对应的五个 x的值和五个y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到 sinAh在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 sinyAxh

3、的图像. 2三角函数的定义域与值域（1）定义域： sinyx, cos的定义域为 R, tany的定义域为,2xkZ.（2）值域： sinyx, cos的值域为 1, tanyx的值域为 R.（3）最值： i：当2kZ时， max1；当2kZ时，min1ycosx：当 2kZ时， max1y；当 2kZ时， min1ytay：既无最大值，也无最小值3.三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是 3k， )(；xycos的递增区间是 k2，Z，递减区间是 k2， )(，xytan的递增区间是 2k， )(，（2）复合函数的单调性设 yfu，

4、,gxabumn都是单调函数，则 yfgx在 ,ab上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函 数， “里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表yfuugxyfgx增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增4 .三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为 2xk，对称中心为 (,0) kZ；co的对称轴为 ，对称中心为 2；tanyx对称中心为 ,02kZ.（2）对于 si()Ax和 cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin)y（的图象有无穷多条对称轴，可由方程 2xkZ解出；它还有无穷 多个对称

5、中心，它们是图象与 x轴的交点，可由 ，解得kxZ，即其对称中心为 ,0kZ（3）相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一定经过T2 T2图象的最高点或最低点5.三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意 x，如果有 ()fx= f，则函数 是偶函数，如果有 ()fx=- (f，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于 y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3） ()fx为偶函数 ()|)fx（4）若奇函数 f的定义域包含 0，则 (0f（5） sinyx为奇函数， cosyx为偶函数

6、， tanyx为奇函数.6.三角函数的周期性（1）周期函数的定义来源:Zxxk.Com一般地，对于函数 ()fx，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，都有()fxT，那么函数 ()f就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期（2）最小正周期：对于一个周期函数 ()fx，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做 的最小正周期 （3） sinyx, cos周期为 2, tanyx周期为 .核心能力必练一、选择题1. (2018 河南周口二模,5)将函数 y=sin 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再6x4把图 象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍

7、( 纵坐标不变),则所得图象的解析式为 ( ) A.y=sin B.y=sin 521x51xC.y=sin D.y=sin 来源:Zxxk.Com242 (2017 山东日照一模,5)函数 f(x)=Acos(x+)(A0,0,-0)的图象向右平移 个单位623后与原 图象重合,则 的最小值是( ) A.3 B. C. D. 324234已知 ，则 的值是（ ）,tan4sincoA B C. D 151515755如果 ， ，那么角 的终边在（ ）sinco0sinta02A第一或第三象限 B第二或第四象限C第一或第二象限 D第三或第四象限6已知 ，且 ，则 为（ ）3cos()25|2t

8、anABC D43434347设 ，则 （ ）tansin()cos()2A3 B2 C1 D 18已知 ，且 ，则 （ ）,（ ） 5cos3tan()2=cosA B C D12312131329已知 ，且 ，则 的值为（ tan3,csino9s）A B C D157153710为得到函数 的图象，只需要把函数 的图象上所有的点（ sin(2)4yxcos2yx）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度8 8C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度4 411若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值是（ ）xsincosincyxxA B C D12121212若函数 （ ）

9、，且 ， ， 的最小()sin()3fx0()f()0f|值 是 ，则 的单调递增区间是（ ）2A （ ） B （ ）5,6kkZ,36kkZC （ ） D （ ）2,3 5,1213函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，sinfxAxcosgxAx可以将 的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度12 512C. 向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度14 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，且()sin()fxA20A，对不同的 ， ，若 ，有 ，则0fab1x,ab12()fxf12()3fx（ ）A 在 上是减函数 B 在 上是增函数()fx5,)12()fx5

10、,)12C 在 上是减函数 D 在 上是增函数36 3615已知函数 ，下列结论错误的是（ ）()cos()3fxxRA函数 的最小正周期为 B函数 图象关于点 对)(xf)(xf5(,0)12称C. 函数 在区间 上是减函数 D函数 的图象关于直线)(f0,2 )(f对称6x16如图，某地一天从 6 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，: sin()yAxb则中午 12 点最接近的温度为（ ）A B C D26C27C2829C17函数 满足： ，且sinfxAx33fxfx，则 的一个可能取值是（ ）6ffA. B. C. D.234518某港口水的深度 是时 间 （ ，单位： ）的函

11、数，记作 .下表(m)yt02h()yft是某日水深的数据，经长期观察，曲线 可以近似地看成函数 的图()yftsinAb象.一般情况下，船航行时，船底离海底的距离为 或 以上时认为是安全的（船舶停5m靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为 ，如果该船6.5m希望在同一天内安全进出港，则它最多能在港内停留 的时间为（忽略进出港所需的时间） （ ） /ht03691258214my170370A6 小时 B12 小时 C.16 小时 D18 小时二、填空题19 (2018 广东肇庆二模 ,14)函数 f(x)=Asin(x+)(A, 是常数,A 0,0)的部分图象如图所

12、示,则 来源:f 的值是 . 320将函数 的图象向右平移 （ ）个单位后，所得图象对应3sin(2)yx02的函数为偶函数，则 .21函数 的部分图象如图所示，()si()0,)fAxR则 _.22如图为函数 （ ， ， ）的部分图像，将函数()sin()fxAx0A|2的图象向右平移 个单 位后，得到函数 的图象，则函数 的解析式()yf6()ygx()gx为 23已知函数 ， ，且 在 上单sin04fx63fffx,2调递减，则 24给出下列命题：函数 是偶函数； 5sin(2)yx函数 在闭区间 上是增函数；4,2直线 是函数 图象的一条对称轴；8x5si()4yx将函数 的图象向左

13、平移 单位，得到函数 的图象；co(2)33xy2cos其中正确的命题的序号是： 三、解答题25已知 sincos2tan3taf（1 ）化简 ；f（2 ）当 时，求 的值；31f（3 ）若 是第三象限的角，且 ，求 的值1sin5f26已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合.x（1 ）若终边经过点 ，求 的值；(1,2)Psico（2 ）若角 的终边在直线 上， 求 的值.3yx310sinco27已知函数 .()sin()26fx（1 ）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2 ）指出 的周期和单调减区间；)(f（3 ）说明此函数图象可由 在 上的图象经怎样的变换得到.sin

14、yx0,228已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移2sinfxyfx6个单位，得到函数 的图象1yg（1 ）求 的单调增区间；gx（2 ）已知区间 满足： 在 上至少含有 个零点，在 所有满足上述条,mnyx,mn30件的 中，求 的最小值,29已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，sin0,fxb 2若将 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得 到的图象对应的函数f 63为奇函数gx（1 ）求 的解析式；f（2 ）求 的对称轴及单调区间；fx（3 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范0,3220fxmfxm围来源:30已知函数 （ ， ）的一系列对应值如

15、下表：sinfxABA6354167316fx1来源:Z*xx*k.Com（1 ）根据表格提供的数据求函数 的一个解析式；fx（2 ）根据（1 ）的结果：当 时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围；0,3x3fxmm若 ， 是锐角三角形的两个内角，试比较 与 的大小sinfcosf三角函数的图象与性质跟踪知识梳理考纲解读：1.能画出 xyxytancossin， 的图像；2.了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间 02， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等），理解正切函数在区间（ ，）的单调性 .考点梳理：1正弦、余弦、正切函数的图象与性质 来源:ZXXK

16、（1 ）正弦函数 sinyx,余弦函数 cosyx,正切函数 tanyx的图象与性质性质i tanyx图象定义域RR,2xkZ值域1,1,R最值当2xkZ时，max1y；当 2k时，miny当 2xkZ时，ma1y；当 xk时，miny既无最大值，也无最小值周期性22奇偶性sinsix,奇函数 cossx偶函数 tantax奇函数单调性在 2,2kkZ上是增函数；在 32,2kk上是减函数在,2kZ上是增函数；在 ,上是减函数在 ,2kkZ上是增函数对称性对称中 心 ,0kZ对称轴 2x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心 ,02kkZ对称轴 x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心 ,02

17、kZ无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2 ） （五点法） ，先列表，令 30,2x，求出对应的五个 x的值和五个y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到 sinAh在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 sinyAxh的图像. 2三角函数的定义域与值域（1 ）定义域： sinyx, cos的定义域为 R, tany的定义域为,2xkZ.（2 ）值域： sinyx, cos的值域为 1, tanyx的值域为 R.（3 ）最值： i：当2kZ时， max1；当2kZ时，min1ycosx：当 2kZ时，

18、max1y；当 2kZ时， min1ytay：既无最大值，也无最小值3.三角函数的单调性（1 ）三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是 3k， )(；xycos的递增区间是 k2，Z，递减区间是 k2， )(，xytan的递增区间是 2k， )(，（2 ）复合函数的单调性设 yfu， ,gxabumn都是单调函数，则 yfgx在 ,ab上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“ 里外” 函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外 ”函数增减 性相反，复合函数为减函数，如下表yfuugxyfgx增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增4 .三角函数的对

19、称性（1 ）对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2xk，对称中心为 (,0) kZ；co的对称轴为 ，对称中心 为 2；tanyx对称中心为 ,02kZ.（2 ）对于 si()Ax和 cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin)y（的图象有无穷多条对称轴，可由方程 2xkZ解出；它还有无穷 多个对称中心，它们是图象与 x轴的交点，可由 ，解得kxZ，即其对称中心为 ,0kZ（3 ）相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一定经过T2 T2图象的最高点或最低点5.三角函数的奇偶性（1 ）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意 x，如果

20、有 ()fx= f，则函数是偶函数，如果有 ()fx=- f，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2 ）奇偶函数 的性质：来源:（1 ）定义域关于原点对称；（2 ）偶函数的图象关于 y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3 ） ()fx为偶函数 ()|)fx（4 ）若奇函数 f的定义域包含 0，则 (0f（5 ） sinyx为奇函数， cosyx为偶函数， tanyx为奇函数.6.三角函数的周期性（1 ）周期函数的定义来源:Zxxk.Com一般地，对于函数 ()fx，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，都有()fxT，那么函数 ()f就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周

21、期（2 ）最小正周期：对于一个周期函数 fx，如果它所有的周期中存在一个最小的正 数 ，那么这个最小的正数 就叫做 ()的最小正周期 （3 ） sinyx, cos周期为 2, tanyx周期为 .核心能力必练一、选择题1. (2018 河南周口二模,5)将函数 y=sin 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再6x4把图 象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍( 纵坐标不变),则所得图象的解析式为 ( ) A.y=sin B.y=sin 521x51xC.y=sin D.y=sin 24【答案】B2 (2017 山东日照一模,5)函数 f(x)=Acos(x+)(A0,0,-0)的图象向右平

22、移 个单位63后与原 图象重合,则 的最小值是( ) A.3 B. C. D. 32423【答案】A已知 ，则 的值是（ ）,tan4sincoA B C. D 15151575【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ， ，3tanta4,23sin54cos5所以 ，故选 Csico155如果 ， ，那么角 的终边在（ ）ns0inta02A第一或第三象限 B第二或第四象限C第一或第二象限 D第三或第四象限【答案】A【解析】由 ，可知角 的终边位于第二象限或第四象限，由sinco0，可知角 的终边位于第二象限或第三象限，所以sita，则 ，所以角 的终边在第一22,kkZ,42kkZ2或第三象限

23、，故选 A 来源:Z,xx,k.Com6已知 ，且 ，则 为（ ）3cos()5|tanABC D4343434【答案】C【解析】 ，又 ，所以 在第四象限，3cos()sin,i025|2.4,ta57设 ，则 （ ）3nsi()cos()n2A3 B2 C1 D 1【答案】B【解析】 sin()cos()sincotan32.28已 知 ，且 ，则 （ ）,（ ） 5cos13ta()2=cosA B C D123213132【答案】C9已知 ，且 ，则 的值为（ 2tan3,2cos3in9s）A B C D1571537【答案】A【解析】因为 ,所以 ，所以2tantan32tan3，

24、故选 A. cos3i9scosi1199t510为得到函数 的图象，只需要把函数 的图象上所有的点（ in(2)4yxcos2yx）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度8 8C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度4 4【答案】B【解析】 ， 只需将 的图象向右平移 个单位cos2in4yxcos2yx8长度，故选 B.11若 是三角形的最小内角，则函数 的最小值是（ ）xsincsincyxxA B C D121212【答案】A12若函数 （ ） ，且 ， ， 的最小()2sin()3fx0()2f()0f|值是 ，则 的单调递增区间是（ ）2A （ ） B （ ）5,6k

25、kZ,36kkZC （ ） D （ ）2,35,12【答案】A【解析】由题意可知 ，所以 ，所以 ，所以 ，142T()sin()3fx由 得 ，所以 的单调2,3kxkZ52,66kxkZfx递增区间为 （ ）.故选 A5,613函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，sinfxAxcosgxAx可以将 的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度12 512C. 向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【答案】B14函数 （ ， ）的部分图象如图所示，且()sin(2)fxA20A，对不同的 ， ，若 ，有 ，则()0fab1x,ab12()fxf12()3fx（ ）A

26、在 上是减函数 B 在 上是增函数()fx5,)12()fx5,)12C 在 上是减函数 D 在 上是增函数36 36【答案】B【解析】由图可知，121212,sin3xabAxfx所以 在 上递增，故选 B.3sin,sin,3f f12,515已知函数 ，下列结论错误的是（ ）来源:ZXXK()co(2)fxxRA函数 的最小正周期为 B函数 图象关于点 对)(xf5(,0)12称C. 函数 在区间 上是减函数 D函数 的图象关于直线)(xf0,2 )(f对称6【答案】C【解析】由题意，知函数 的最小正周期 ，故 A 正确；令 ，得()fx2T23x，所以函数 的图象关于点 对称，故 B

27、正确；由 ， 得12x5(,0)10，所以函数 在区间 上是减函数，故 C 错；令 ，得63)(xf63xk， ，所以函数 的图象关于直线 对称，故 D 正确，故选 CkxZf 6x16如图，某地一天从 6 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，: sin()yAxb则中午 12 点最接近的温度为（ ）A B C D26C27C2829C【答案】B来源:故选 B. 17函数 满足： ，且sinfxAx33fxfx，则 的一个可能取值是（ ）6ffA. B. C. D.2345【答案】B【解析】因为 满足： ，所以 的图象关于()sin()fxAx()()3fxfx)(xf对称，又 ，所以 的

28、图象关于 对称，所以(,0)36f6，所以 ，即 ，4Tn2341TnZ2341nZ，所以 的一个可能取值是 .故选 B.123Z18某港口水的深度 是时间 （ ，单位： ）的函数，记作 .下表(m)yt024h()yft是某日水深的数据，经长期观察，曲线 可以近似地看成函数 的图()yftsinAb象.一般情况下，船航行时，船底离海底的距离为 或 以上时认为是安全的（船舶停5m靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为 ，如果该船6.5m希望在同一天内安全进出港，则它最多能在港内停留 的时间为（忽略进出港所需的时间） （ ） /ht03691258214my170370

29、A6 小时 B12 小时 C.16 小时 D18 小时【答案】C二、填空题19 (2018 广东肇庆二模 ,14)函数 f(x)=Asin(x+)(A, 是常数,A 0,0)的部分图象如图所示,则 f 的值是 . 3【答案】 6220将函数 的图象向右平移 （ ）个单位后，所得图象对应3sin()yx02的函数为偶函数，则 .【答案】 512【解析】由题意得 为偶函数，所以 ，又3sin2()3yx2()3kZ，所以 .025121函数 的部分图象如图所示，()sin()0,)2fxAxxR则 _.【答案】 36【解析】由题图可知 ，52,21463TA，又 ，所以 ，2sin133fkZ26

30、因此 .6A22如图为函数 （ ， ， ）的部分图像，将函数()sin()fxAx0A|2的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，则函数 的解析式()yf6()ygx()gx为 【答案】 sin(2)6gx23已知函数 ， ，且 在 上单i04fx63fffx,2调递减，则 【答案】 1【解析】由 ， ，可得 的图象关于sin04fx63fffx对称，所以 ，又 在 上单4x,14,2kkZZf,2调递减，所以 ， .,2TT24给出下列命题：函数 是偶函数； 5sin()yx函数 在闭区间 上是增函数；4,2直线 是函数 图象的一条对称轴；8x5si()4yx将函数 的图象向左平移 单位

31、，得到函数 的图象；co(2)33xy2cos其中正确的命题的序号是： 【答案】三、解答题25已知 sincos2tan3taf（1 ）化简 ；f（2 ）当 时，求 的值；31f（3 ）若 是第三象限的角，且 ，求 的值1sin5f【答案】 （1） （2） （3）cof265【解析】 （1） sinstantaco2f.sincotstasi（2 ）当 时， . 31311cocos2f（3 ） 是第三象限的角，且 ， ，故sin56526cos5f26已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合.x（1 ）若终边经过点 ，求 的值；(1,2)Psinco（2 ）若角 的终边在直线 上，求 的

32、值.3yx310sico【答案】 （1） （2 ）05【解析】 （1）由题知 ， ，,1yx521r则 ， ，所以 .25sinyr51cosrx52cosin27已知函数 .()3sin()326xf（1 ）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2 ）指出 的周期和单调减区间；)(xf（3 ）说明此函数图象可由 在 上的图象经怎样的变换得到.sinyx0,2【答案】 （1）详见解析 （2）周期为 4，单调减区间为 +4k， +4k， 238kZ（3 ）详见解析【解析】 （1）令 ，26xX0 2322 x3353813y3 6 3 0 3（3 ） 的图象可由 在 上的图象先向左平移

33、个单3sin326xfsinyx0,26位，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，然后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 3倍，再沿 轴向上平移 3 个单位，最后向两边延伸 .y28已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平2sinfxyfx6移 个单位，得到函数 的图象1yg（1 ）求 的单调增区间；gx（2 ）已知区间 满足： 在 上至少含有 个零点，在所有满足上述条,mnyx,mn30件的 中，求 的最小值,【答案】 （1） ， （2）5,21kkZ43【解析】 （1）由已知得 ，1sin166gxf x2sin13x由 ， 得， ， ，223kxkZ51212kxkZ故 的单

34、调增区间为 ， g5,129已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，sin0,fxb 2若将 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的图象对应的函数f 63为奇函数gx（1 ）求 的解析式；f（2 ）求 的对称轴及单调区间；fx（3 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围0,3x220fxmfxm【答案】 （1） （2）对称轴为 ，增区间为sin3f 12kxZ，减区间为 （3）5,2kkZ7,1kk13,2【解析】 （1）因为 ，所以 ， ，22sin2fxb又 为奇函数，且 ，所以 ， ，sin36gxxb03故 .i23f（2 ）令 ，解得 ，所以对称轴为,xkZ,1

35、2kxZ， 1令 ，解得 ，所以增区间2,3kxk5,12kxk为 ，令 ，解得 5,12Z32,Z，所以减区间为 .712kxk 7,1kk30已知函数 （ ， ）的一系列对应值如下表：sinfxAxB0A63541673fx1（1 ）根据表格提供的数据求函数 的一个解析式；fx（2 ）根据（1 ）的结果：当 时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围；0,3x3fxmm若 ， 是锐角三角形的两个内角，试比较 与 的大小sinfcosf【答案】 （1） （2） ；2sin13fx 31,sincoff【解析】 （1）由题表可得 ， ，126T1由 解得 故 ，3,AB2,Asinfx又当 时， ， ，即 ，6x1ysi16sin16， ，即 ， ，2kZ23kZ取 ，得 ，因此0k3sin1fx（2 ） ， ， ，2sin1fx0,32,3tx由图知，若 在 上有两个不同的解，则 ，iut,3 ,1u方程 在 上恰好有两个不同的解，则32sin12fxxum0,3，即实数 的取值范围是 1,m 1,