2019年高考数学（含解析)之平面向量及其应用

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1、平面向量及其应用1在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， (2,4)， (1,3)，则 ( )AB AC DA A(2,4) B(3,5)C (1,1) D(1，1)2在等腰梯形 ABCD 中， 2 ，M 为 BC 的中点，则 ( )AB CD AM A. B 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 34AB 14AD 12AB 34AD 3已知向量 ， ，则ABC( )BA (12， 32) BC ( 32， 12)A30 B45 来源:C 60 D1204将 (1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60得到 ，则 ( )OA OB OB A. B. 来源:Z。xx。k.

2、Com(1 32 ， 1 32 ) (1 32 ， 1 32 )C. D.( 1 32 ， 1 32 ) ( 1 32 ， 1 32 )5 ABC 外接圆的半 径等于 1，其圆心 O 满足 ( )，| | |，则向量 在AO 12AB AC AO AC BA 方向上的投影等于( ) BC A B32 32C. D3来源:Z#xx#k.Com326已知 A，B ，C 是圆 O 上的不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若 OC OA (R，R)，则 的取值范围是 ( )OB A(0,1) B(1 ， )C (1， D(1,0)27已知非零向量 m，n 满足 4|m|3| n|，cos

3、m，n ，若 n(t mn)，则实数 t 的13值为( )A4 B4 来源:Zxxk.ComC. D94 948如图 33，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， 2 ，则 等于( )BF FO FD FE 图 33A B34 89C D14 499设向量 a( a1，a 2)，b(b 1，b 2)，定义一种向量积：a b(a 1，a 2)(b1，b 2)(a 1b1，a 2b2)已知向量 m ，n ，点 P 在 ycos x 的图象上运动，点 Q 在(12， 4) (6， 0)yf(x)的图象上运动，且满足 mOP n(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x) 在区间OQ 上的最大值

4、是( ) 6， 3A4 B2C 2 D22 310已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ，a(1， )，| a2b|2 ，则|b| _.3 3 311已知非零向量 与 满足 0, 且| |2 ，点 D 是ABC 中 BCAB AC (AB |AB |AC |AC |)BC AB AC 3边的中点，则 _.AB BD 12在如图 32 所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) 上，若 c 与 xayb(x，y 为非零实数) 共线，则 的值为_ xy来源:图 3213已知向量 与 的夹角为 120，且| |3，| |2.若 ，且 ，AB AC AB AC AP AB A

5、C AP BC 则实数 的值为_14已知点 O 是 边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则 _ _.OB OC 15设向量 a( sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x .3 0， 2(1)若|a|b|，求 x的值；(2)设函数 f(x)ab ，求 f(x)的最大值16已知向量 a，b 满足|a| 2，|b|1，且对一切实数 x，| ax b|ab|恒成立，则 a，b 夹角的大小为_ _17已知在ABC 中，AB 4，AC 6，BC ，其外接圆的圆心为 O，7则 _.AO BC 18已知非零向量 a，b，c 满足| a|b| |ab|， ca，cb ，则 的最大值为23

6、 |c|a|_1在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， (2,4)， (1,3)，则 ( )AB AC DA A(2,4) B(3,5)C (1,1) D(1，1)【答案】C 【解析】 (2,4)(1,3)(1,1)DA CB AB AC 2在等腰梯形 ABCD 中， 2 ，M 为 BC 的中点，则 ( )AB CD AM A. B 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 来34AB 14AD 12AB 34AD 【答案】B 【解析】因为 2 ，所以 2 .又 M 是 BC 的中点，所以AB CD AB DC ( ) ( ) ( ) ，故选 B.AM 12AB AC 12

7、AB AD DC 12AB AD 12AB 34AB 12AD 3已知向量 ， ，则ABC( )BA (12， 32) BC ( 32， 12)A30 B45C 60 D12 0【答案】A 【解析】因为 ， ，所以 .又因为 BA (12， 32) BC ( 32， 12) BA BC 34 34 32 BA | | |cosABC11cosABC ，所以 cosABC .又 0ABC180，所以BC BA BC 32ABC 30.故选 A.4将 (1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60得到 ，则 ( )OA OB OB A. B.(1 32 ， 1 32 ) (1 32 ， 1 32 )C

8、. D.( 1 32 ， 1 32 ) ( 1 32 ， 1 32 )5 ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O 满足 ( )，| | |，则向量 在AO 12AB AC AO AC BA 方向上的投影等于( ) BC A B32 32C. D3来源:32【答案】C 【解析】由 ( )可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为外接圆的直径，所以AO 12AB AC | | | | |.又因为| | |1 ，故OAC 为等边三角形，即 AOC60，由圆OA OB OC AO AC 周角定理可知ABC30 ，且| | ，所以 在 方向上的投影为AB 3 BA BC | |cosABC cos 30

9、 ，故选 C.BA 3 326已知 A，B ，C 是圆 O 上的不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若 OC OA (R，R)，则 的取值范围是 ( )OB A(0,1) B(1 ， )C (1， D(1,0)2【答案】B 【解析】由题意可得 k k k (01，即 的取值范围是(1，)，故选 B.1k7已知非零向量 m，n 满足 4|m|3| n|，cosm，n ，若 n(t mn)，则实数 t 的13值为( )A4 B4C. D94 94【答案】B 【解析】n (tmn) ，n(t mn) 0，即 tmn|n| 20 ，t|m |n|cosm，n|n| 20.又 4|m|3|

10、 n|，t |n|2 | n|20 ，34 13解得 t4.故选 B.8如图 33，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， 2 ，则 等于( )BF FO FD FE 图 33A B34 89C D14 49【答案】B 【解析】 2 ，圆 O 的半径为 1，BF FO | | ，FO 13 ( )( ) 2 ( ) 201 .FD FE FO OD FO OE FO FO OE OD OD OE (13) 899设向量 a(a 1，a 2)，b( b1，b 2)，定义一种向量积： ab( a1，a 2)(b1，b 2)(a 1b1，a 2b2)已知向量 m ，n ，点 P 在 yco

11、s x 的图象上运动，点 Q 在(12， 4) (6， 0)yf(x)的图象上运动，且满足 mOP n(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x) 在区间OQ 上的最大 值是( ) 6， 3A4 B2C 2 D22 3【答案】A 【解析】因为点 P 在 ycos x 的图象上运动，所以设点 P 的坐标为(x 0，cos x0)，设 Q 点的坐标为(x ，y)，则 m n( x，y) (x0，cos x0) (x，y )OQ OP (12， 4) (6， 0)Error!(12x0 6， 4cos x0)即Error! y4cos ，(2x 3)即 f(x) 4cos ，(2x 3)当 x 时，6，

12、 3由 x 2x 02x ，6 3 3 23 33所以 cos 124cos 4，12 (2x 3) (2x 3)所以函数 yf (x)在区间 上的最大值是 4，故选 A.6， 310已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ，a(1， )，| a2b|2 ，则|b| _.3 3 3【答案】2 【解析】由题意得 |a| 2，则| a2b| 2| a|24|a|b|cos a ，b12 324|b| 22 242cos |b|4|b |212，解得| b|2(负舍 )311已知非零向量 与 满足 0, 且| |2 ，点 D 是ABC 中 BCAB AC (AB |AB |AC |AC |)BC AB

13、AC 3边的中点，则 _.AB BD 12在如图 32 所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) 上，若 c 与 xayb(x，y 为非零实数) 共线，则 的值为_ xy图 32【答案】65【解析】设 e1，e 2 为水平方向(向右)与竖直方向( 向上)的单位向量，则向量ce 12e 2，a 2e 1e 2，b2e 12e 2，由 c 与 xayb 共线，得 c (x ay b)，e 12e 22 (xy)e 1(x2y) e2，Error!Error! 则 的值为 .xy 6513已知向量 与 的夹角为 120，且| |3 ，| |2.若 ，且 ，AB AC A

14、B AC AP AB AC AP BC 则实数 的值为_【答案】 712【解析】 ， 0，AP BC AP BC ( ) 0 ，AB AC BC 即( )( ) 2 2 0.AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB 向量 与 的夹角为 120，| |3 ，| | 2，AB AC AB AC (1)32cos 12094 0，解得 .71214已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则 _.OB OC 【答案】 16【解析】ABC 是正三角形， O 是其中心，其边长 ABBC AC 1 ，AO 是BAC 的平分线，且 AO ， ( )( ) 211cos 33 O

15、B OC AB AO AC AO AB AC AO AC AO AB AO 60 1cos 30 1cos 30 2 . 33 33 ( 33) 1615设向量 a( sin x，sin x)，b(cos x， sin x)，x .3 0， 2(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab ，求 f(x)的最大值来源:Z_xx_k.Com解 (1)由|a| 2( sin x)2(sin x)24sin 2 x，3|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a |b|，得 4sin2x1.4 分又 x ，从而 sin x ，0， 2 12所以 x .6 分6(2)f(x)ab

16、sin xcos xsin 2 x3 sin 2x cos 2x 来源:32 12 12sin ，9 分(2x 6) 12当 x 时，sin 取最大值 1.3 0， 2 (2x 6)所以 f(x)的最大值为 .12 分3216已知向量 a，b 满足|a| 2，|b|1，且 对一切实数 x，|axb|ab|恒成立，则 a，b 夹角的大 小为_来源:ZXXK解析：|axb| ab| 恒成立a 22x abx 2b2a22abb 2 恒成立x 22a bx12ab0恒成立， 4(ab)24(1 2ab)0 (ab1) 20，ab1，cos a，b ，又a，b0，故 a 与 b 的夹角的大小为 .ab|a|b| 12 23答案： 2317已知在ABC 中，AB 4，AC 6，BC ，其外接圆的圆心为 O，7则 _.AO BC 18已知非零向量 a，b，c 满足| a|b| |ab|， ca，cb ，则 的最大值为23 |c|a|_解析：设 a， b，则 ab.OA OB BA 非零向量 a，b，c 满足|a|b| |ab|，OAB 是等边三角形设 c，OC 则 ca， c b. ca，cb ，AC BC 23点 C 在ABC 的外接圆上，当 OC 为ABC 的外接圆的直径 时， 取得最大值，为 .|c|a| 1cos 30 233答案：233