2019年高考数学（含解析)之解题规范与评分细则

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1、解题规范与评分细则1若函数 f(x)2x 3ax 21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_2设函数 f(x) ax2(4 a1)x4 a3e x.(1)若曲线 yf( x)在点(1 ，f (1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x 2 处取得极小值，求 a 的取值范围3已知函数 f(x) .来源:ax2 x 1ex(1)求曲线 yf( x)在点(0 ，1)处的切线方程；(2)证明：当 a1 时，f(x) e0.4.已知函数 f(x)ln(x1) ，其中 a 为常数ax2 xx 12(1)当 10 时，求 g(x)x ln ln

2、(1x)的最大值(1 1x) 1x5设函数 f(x)(x t1)( xt2)(xt3)，其中 t1，t2 ，t3 R，且 t1，t 2，t3 是公差为 d 的等差数列(1)若 t20，d1，求曲线 yf(x) 在点(0 ，f(0)处的切线方程；(2)若 d 3，求 f(x)的极值；(3)若曲线 yf( x)与直线 y (xt2)6 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围3来源 :ZXXK6设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程7.设椭圆 1

3、 (ab0)的右 顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为 ，|AB |x2a2 y2b2 53.13(1)求椭圆的方程(2)设直线 l：ykx( k0) 与椭圆交于 P，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值8设抛物线 C：y 22x，点 A(2,0)，B( 2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.9已知椭圆 M： 1(ab0)的离心率为 ，焦距为 2 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2a2 y2b2 63

4、2M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k 1，求| AB|的最大值；(3)设 P(2,0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D，若 C，D 和点 Q 共线，求 k.( 74， 14)10已知椭圆 C： 1(ab 0) 的左、右顶点分别为 A1，A 2，右焦点为 F2(1,0)，点x2a2 y2b2B 在椭圆 C 上(1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M，N 两点，已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定

5、直线的方程11已知平面直角坐标系内两定点 A(2 ，0)，B(2 ，0)及动点 C(x，y)，ABC 的两边2 2AC，BC 所在直线的斜率之积为 .34(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2)设 P 是 y 轴上的一点，若(1)中轨迹 E 上存在两点 M，N 使得 2 ，求以 AP 为直径MP PN 的圆的面积的取值范围12已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P.( 35， 45)(1)求 sin() 的值；(2)若角 满足 sin() ，求 cos 的值51313已知 ， 为锐角，tan ，cos( ) .43 55(1)求 cos 2 的值；(

6、2)求 tan()的值14在 ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsinBa sinA(ca)sinC.(1)求 B；(2)若 3sinC2sin A，且ABC 的面积为 6 ，求 b.315已知函数 f(x)12 sin cos 2cos 2 ，ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为3x2 x2 x2a，b，c.(1)求 f(A)的取值范围；(2)若 A 为锐角且 f(A) ，2sinAsinB sinC，ABC 的面积为 ，求 b 的值 2 23 3416 2018全国卷 记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17 ，S315.(1)求an 的通项

7、公式；(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值17已知数列a n是等差数列，a 26，前 n 项和为 Sn，b n是等比数列，b2 2， a1b312，S 3b 119.(1)求a n， bn的通项公式；(2)求数列 bncos(an)的前 n 项和 Tn.18已知数列a n满足： (32n1) ，nN *.1a1 2a2 nan 38(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 3 ，求 .ann 1b1b2 1b2b3 1bnbn 119已知数列a n满足：a 11，a n1 an .n 1n n 12n(1)设 bn ，求数列b n的通项公式；ann(2)求数列 an的前 n 项和 S

8、n.20已 知各项均不相等的等差数列a n的前四项和 S414，且 a1，a 3，a 7 成等比数列(1)求数列 an的通项公式(2)设 Tn 为数列 的前 n 项和，若 Tnan1 对一切 nN *恒成立，求实数 的最大1anan 1值21在等差数列a n中，已知 a35，且 a1，a 2，a 5 为递增的等比数列 (1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn的通项公式 (kN *)，求数列b n的前 n 项和 Sn.22如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中 ，AA 1AB，ABC 90，侧面 A1ABB1底面 ABC.(1)求证：AB 1平面 A1BC；(2)若 AC5，BC3 ，

9、A 1AB60，求三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积23如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M 是 AB 的中点(1)证明：BC 1平面 MCA1；(2)若 ABA 1M2 MC2，BC ，求点 C1 到平面 MCA1 的距离224 2018全国卷 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点来源:(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由25如图 1，已知梯形 ABCD 中，A DBC，ABC BAD ，ABBC 2AD4，E、F2分别是 AB、CD 上的点，EF BC，AEx，沿

10、EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面EBCF(如图 2) G 是 BC 的中点，以 F、B 、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x)(1)当 x2 时，求证：BD EG；(2)求 f(x)的最大值；(3)当 f(x)取得最大值时，求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值来源:Z&xx&k.Com1若函数 f(x)2x 3ax 21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_解析：f( x)6x 22ax2x(3 xa)(x0)当 a0 时，f(x )0，f (x)在(0，)上递增，又 f(0) 1， f(x)在(0，)上无零点当 a0

11、 时，由 f(x)0 解得 x ，a3由 f(x) ，则当 x 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时，x 20.所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是 .(12， )3已知函数 f(x) .ax2 x 1ex(1)求曲线 yf( x)在点(0 ，1)处的切线方程；(2)证明：当 a1 时，f(x) e0.4.已知函数 f(x)ln(x1) ，其中 a 为常数ax2 xx 12(1)当 10 时，求 g(x)x ln ln(1x)的最大值(1 1x) 1x解析：(1)函数 f(x)的定义域为 (1，) ，f (x) ，x 1.x

12、x 2a 3x 13当10 时，f(x)0 ，f (x)单调递增，当 2a30，即 a 时，32当12a3 时，f(x)0 ，则 f(x)在( 1,0)，(2a3，)上单调递增，当 01 时，令 g(x)0，解得 x1 ，x2 .d2 13d2 13易得，g (x)在(，x1) 上单调递增，在 x1，x 2上单调递减，在(x2，) 上单调递增所以 g(x)的极大值为g(x1)g 6 0.( d2 13 ) 23d2 1329 3g(x)的极小值为g(x2)g 6 .(d2 13 )23d2 1329 3若 g(x2)0，则由 g(x)的单调性可知函数 yg( x)至多有两个 零点，不合题意若

13、g(x2)27，也就是 |d| ，此时|d|x2，g(|d|)|d| 6 0，且32 10 32|d|0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解析：(1)解：由题意得 F(1,0)，l 的方程为yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x 2，y2)，由Error! 得 k2x2(2k 24) xk 20.16k 2160，故 x1x2 .2k2 4k2所以|AB |AF|BF|(x1 1)(x 21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 yx

14、1.7.设椭圆 1(a b0)的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为 ，|AB |x2a2 y2b2 53.13(1)求椭圆的方程(2)设直线 l：ykx( k0) 与椭圆交于 P，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值解析：(1)解：设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2b 2c 2，可得 2a3b .又c2a2 59|AB| ，从而 a3 ，b2.a2 b2 13所以，椭圆的方程为 1.x29 y24(2)解：设点 P 的坐标为(x 1， y1)，点 M 的坐标为(x2 ，y2)，由题意知，x

15、2x10 ，点 Q 的坐标为(x1 ，y1)由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，可得|PM|2| PQ|，从而 x2x1 2x1(x1)，即 x2 5x1.易知直线 AB 的方程为 2x3y6 ，由方程组Error!消去 y，可得 x2 .63k 2由方程组Error!消去 y，可得 x1 .69k2 4由 x2 5x1，可得 5(3k 2)，两边平方，整理得 18k225k80，解得 k ，9k2 489或 k .12当 k 时，x290，x20.由Error! 得 ky22y4k0，可知 y1y2 ，y1y24.2k直线 BM，BN 的斜率之和为 kBMkBN .y1x1 2 y2x

16、2 2 x2y1 x1y2 2y1 y2x1 2x2 2将 x1 2，x 2 2 及 y1y2 ，y1y2 的表达式代入式分子，可得y1k y2kx2y1x1y2 2(y1 y2) 0.2y1y2 4ky1 y2k 8 8k所以 kBMkBN 0 ，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以 ABMABN .综上，ABMABN.9已知椭圆 M： 1(ab0)的离心率为 ，焦距为 2 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2a2 y2b2 63 2M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k 1，求| AB|的最大值；(3)设 P(2,0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为

17、 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D，若 C，D 和点 Q 共线，求 k.( 74， 14)解析：(1)解：由题意得 Error!解得 a ，b1.3所以椭圆 M 的方程为 y 21.x23(3)解：设 A(x1，y1)，B (x2，y2)，由题意得 x 13y 13 ，x 23y 23.2 2 2 2直线 PA 的方程为 y (x2)y1x1 2由Error! 得(x12) 23 y 1x212y 1x12y 13(x1 2) 20.2 2 2设 C(xC，yC) ，所以 xCx 1 . 12y2 1x1 22 3y2 1 4x2 1 124x1 7所以 xC x1 .4x2 1

18、124x1 7 12 7x14x1 7所以 yC (xC2) .y1x1 2 y14x1 7设 D(xD，yD) ，同理得 xD ，yD . 12 7x24x2 7 y24x2 7记直线 CQ，DQ 的斜率分别为 kCQ，kDQ，则 kCQ kDQ y14x1 7 14 12 7x14x1 7 74y24x2 7 14 12 7x24x2 7 744(y1 y2x1 x2) 因为 C，D，Q 三点共线，所以 kCQkDQ 0.故 y1 y2x1x 2.所以直线 l 的斜率 k 1.y1 y2x1 x210已知椭圆 C： 1(ab 0) 的左、右顶点分别为 A1，A 2，右焦点为 F2(1,0)

19、，点 Bx2a2 y2b2在椭圆 C 上(1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M，N 两点，已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定直线的方程解析 ：(1)由 F2(1,0)，知 c1，由题意得Error!所以 a2，b ，所以椭圆 C 的方程为3 1.x24 y23(2)因为 yk (x4) ，所以直线 l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点 G 在直线 xx 0 上当直线 l 过椭圆 C 的上顶点时，M(0， )，3所以直线 l 的斜率 k ，由Error!得Error!或Err

20、or!所以 N ，34 (85， 335)由(1)知 A1(2,0)，A 2(2,0)，所以直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方程为 y (x2)，所以32 332G ，所以 G 在直线 x1 上(1， 332)当直线 l 不过椭圆 C 的上顶点时，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，由Error!得 (34 k2)x232k 2x64k 2120，所以 (32k 2)24(34k 2)(64k212)0，得 k ，12 12x1x 2 ，x 1x2 ，32k23 4k2 64k2 123 4k2易得直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方

21、程为 y (x2)，当 x1 时，y1x1 2 y2x2 2 得 2x1x25(x 1x 2)80 ，3y1x1 2 y2x2 2所以 0 显然成立，所以 G 在直线 x1 上264k2 123 4k2 532k23 4k2 83 4k23 4k211已知平面直角坐标系内两定点 A(2 ，0)，B(2 ，0)及动点 C(x，y)，ABC 的两边2 2AC，BC 所在直线的斜率之 积为 .34(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2)设 P 是 y 轴上的一点，若(1)中轨迹 E 上存在两点 M，N 使得 2 ，求以 AP 为直径MP PN 的圆的面积的取值范围解析：(1)由已知， kACkB

22、C ，即 ，34 yx 22 yx 22 34所以 3x24 y224，又三点构成三角形，所以 y0，所以点 C 的轨迹 E 的方程为 1(y0)x28 y26(2)设点 P 的坐标为(0 ，t)当直线 MN 的斜率不存在时，可得 M，N 分别是短轴的两端点，得到 t .63当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykx t(k0)，M(x1，y 1)，N (x2，y 2)，则由 2 得 x12x 2. MP PN 联立得Error! 得(34k 2)x28ktx4 t2240，当 0 得 64k2t24(34k 2)(4t224)0 ，整理得 t28k 26.所以 x1x 2 ，

23、x 1x2 ， 8kt3 4k2 4t2 243 4k2由，消去 x1，x 2 得 k2 . t2 612t2 8则Error! 解得 t 26.23不妨取 M(2 ，0) ，可求得 N ，此时 t ，由(1)知 y0，故 t22.2 (2， 322) 2综上， t22 或 2t 26.23又以 AP 为直径的圆的面积 S ，8 t24所以 S 的取值范围是 .136， 52) (52， 72)12已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P.( 35， 45)(1)求 sin() 的值；(2)若角 满足 sin() ，求 cos 的值513解析：(1)解：由

24、角 的终边过点 P ，( 35， 45)得 sin .45所以 sin()sin .45(2)解：由角 的终边过点 P ，( 35， 45)得 cos .35由 sin( ) ，得 cos( ) .513 1213由 ( ) ，得 cos cos( )cos sin( )sin ，来源:Zxxk.Com所以 cos 或 cos .5665 166513已知 ， 为锐角，tan ，cos( ) .43 55(1)求 cos 2 的值；(2)求 tan()的值解析：(1)解：因为 tan ，tan ，43 sin cos 所以 sin cos .43因为 sin2cos 21，所以 cos2 ，9

25、25因此，cos 2 2cos21 .725(2)解：因为 ， 为锐角，所以 (0 ，) 又因为 cos() ，55所以 sin( ) ，1 cos2 255因此 tan()2.因为 tan ，43所以 tan 2 .2tan 1 tan2 247因此，tan()tan2 () .tan 2 tan 1 tan 2tan 21114在 ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsinBa sinA(ca)sinC.(1)求 B；(2)若 3sinC2sin A，且ABC 的面积为 6 ，求 b.3解析：(1)由 bsinBasinA( ca )sinC 及正弦定理，得 b

26、2a 2( ca )c，即 a2c 2b 2ac.由余弦定理，得 cosB ，a2 c2 b22ac ac2ac 12因为 B(0，)，所以 B .3(2)由(1)得 B ，3所以ABC 的面积为 acsinB ac6 ，得 ac24. 来源:ZXXK12 34 3由 3sinC2sinA 及正弦定理，得 3c2a，所以 a 6，c 4.由余弦定理，得 b2a 2c 22accosB361624 28，所以 b 2 .715已知函数 f(x)12 sin cos 2cos 2 ，ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为3x2 x2 x2a，b，c.(1)求 f(A)的取值范围；(2)若 A 为

27、锐角且 f(A) ，2sinAsinB sinC，ABC 的面积为 ，求 b 的值2 23 34解析：(1)f (x) sinxcosx 2sin ，3 (x 6)f(A )2sin ，(A 6)由题意知，0A，则 A ，6 ( 6， 56)sin ，(A 6) ( 12， 1故 f(A)的取值范围为(1,216 2018全国卷 记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17 ，S315.(1)求an 的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值解析：(1)解：设 an的公差为 d，由题意得 3a13d15.由 a17 得 d2.所以an的通项公式为 ana1( n1)d2n9.(

28、2)解：由(1)得 Sn nn 28 n(n4) 216.a1 an2所以当 n4 时，Sn 取得最小值，最小值为16.17已知数列a n是等差数列，a 26，前 n 项和为 Sn，b n是等比数列，b2 2， a1b312，S 3b 119.(1)求a n， bn的通项公式；(2)求数列 bncos(an)的前 n 项和 Tn.解析：(1)数列 an是等差数列，a 26 ，S 3b 13a 2b 118b 119，b 11.b 22，数列b n是等比数列，b n2 n1 .b 34，a 1b312，a 13，a 26，数列a n是等差数列，a n3 n.(2)由(1)得，令 Cnb ncos

29、(an)(1) n2n1 ，C n1 (1) n1 2n， 2，又 C11 ，Cn 1Cn数列 bncos(an)是以1 为首项、2 为公比的等比数列，T n 1(2) n 11 2n1 2 1318已知数列a n满足： (32n1) ，nN *.1a1 2a2 nan 38(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 3 ，求 .ann 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1解析：(1) (321)3，1a1 38当 n2 时，因为 nan (1a1 2a2 nan) (1a1 2a2 n 1an 1) (32n1) (32n2 1)38 383 2n1 ，当 n1， 32n1 也成立

30、，nan所以 an .n32n 1(2)bnlog 3 (2n1) ，ann因为 ，1bnbn 1 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)所以 1b1b2 1b2b3 1bnbn 112(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) .12(1 12n 1) n2n 119已知数列a n满足：a 11，a n1 an .n 1n n 12n(1)设 bn ，求数列b n的通项公式；ann(2)求数列 an的前 n 项和 Sn.解析：(1)由 an1 an ，可得 ，n 1n n 12n an 1n 1 ann 12n又 bn ，b n1 b n ，由 a11，得 b1

31、1，ann 12n累加可得(b 2b 1)(b 3b 2)( bnb n1 ) ，即121 122 12n 1bn b1 1 ，b n2 .12(1 12n 1)1 12 12n 1 12n 1(2)由(1)可知 an2n ，设数列 的前 n 项和为 Tn，n2n 1 n2n 1则 Tn ，120 221 322 n2n 1Tn ，12 121 222 323 n2n得 Tn 2 ，12 120 121 122 12n 1 n2n1 12n1 12 n2n n 22nT n4 .n 22n 1易知数列2n 的前 n 项和为 n(n1) ，S nn (n1)4 .n 22n 120已知各项均不相

32、等的等差数列a n的前四项和 S414，且 a1，a 3，a 7 成等比数列(1)求数列 an的通项公式(2)设 Tn 为数列 的前 n 项和，若 Tnan1 对一切 nN *恒成立，求实数 的最大1anan 1值解析：(1)设数列 an的公差为 d(d0)，由已知得，Error!解得 Error!或Error!(舍去)，所以 ann1.(2)由(1)知 ，1anan 1 1n 1 1n 2所以 Tn (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n 2) .12 1n 2 n2n 2又 Tnan1 恒成立，所以 2 8， 来源:2n 22n (n 4n)而 2 816，当且仅当 n2 时等

33、号成立(n 4n)所以 16，即实数 的最大值为 16.21在等差数列a n中，已知 a35，且 a1，a 2，a 5 为递增的等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn的通项公式 (kN *)，求数列b n的前 n 项和 Sn.解析：(1)设等差数列 an的公差为 d，易知 d0，由题意得，(a 32 d)(a32d) (a3 d)2，即 d22 d0 ，解得 d2 或 d0(舍去)，所以数列 an的通项公式为 ana 3(n3)d2 n1.(2)当 n 2k，kN *时，Snb 1b 2b nb 1b 3b 2k1 b 2b 4b 2ka 1a 2a k(2 02 12 k1

34、) k 22 k1 2 1；k1 2k 12 1 2k1 2 n24 n2当 n2k 1 ，k N *时，n12 k，则 SnS n1 b n1 2 1 2 1 n 124 +n+nn2 2n 342 .-综上，S nError!(kN *)22如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1AB，ABC 90，侧面 A1ABB1底面 ABC.(1)求证：AB 1平面 A1BC； (2)若 AC5，BC3 ，A 1AB60，求三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积解析：(1)证明：在侧面 A1ABB1 中，A 1A AB，四边形 A1ABB1 为菱形，AB 1A 1B.侧面 A1ABB1底面

35、ABC，ABC90 ，CB 平面 A1ABB1AB 1平面 A1ABB1，CBAB 1.又 A1BBCB ，AB 1平面 A1BC.(2)解法一 如图，过 A1 作 A1DAB，垂足为 D.平面 ABC平面 A1ABB1，平面 ABC平面A1ABB1AB ，A 1D平面 ABC，A 1D 为三棱柱 ABCA 1B1C1 的高BC 3 ，AC5，ABC90，AB4 ，又 AA1AB，A 1AB60 ，A 1AB 为等边三角形 ，A 1D AB2 .32 3VABCA 1B1C1S ABC A1D 432 12 .12 3 3解法二 在ABC 中，由 AC5，BC 3，ABC90，可得 AB4.又

36、A1AAB，A 1AB60，ABA 1 是边长为 4 的等边三角形， SABA 1 424 .34 3由(1)知 BC平面 ABA1，VCABA 1 SABA 1BC 4 34 .设三棱柱13 13 3 3ABCA 1B1C1 的高为 h，则 VABCA 1B1C1S ABC h3 3VA 1ABC3VCABA 134 12 .(13S ABCh) 3 323如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M 是 AB 的中点(1)证明：BC 1平面 MCA1；(2)若 ABA 1M2 MC2，BC ，求点 C1 到平面 MCA1 的距离2解：(1)如图，连接 AC1，设 AC1 与 A1C 的交点

37、为 N，则 N 为 AC1 的中点，连接 MN，因为M 是 AB 的中点，所以 MNBC 1，又 MN平面 MCA1，BC 1平面 MCA1，所以 BC1平面MCA1.(2)因为 AB2MC2，M 是 AB 的中点，所以ACB90，在直三棱柱中，A1M2，AM 1，所以 AA1 ，又 BC ，所以 AC ，A 1C ，所以A 1MC90.3 2 2 5设点 C1 到平面 MCA1 的距离为 h，因为 AC1 的中点 N 在平面 MCA1 上，所以点 A 到平面MCA1 的距离也为 h，三棱锥 A1AMC 的体积 V SAMC AA1 ，MCA 1 的面积13 36S A1MMC1 ，则 V S

38、h h ，得 h ，故点 C1 到平面 MCA1 的距离为 .12 13 13 36 32 3224 2018全国卷 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解析：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD ， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM.因为 M 为 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD

39、平面 BMC.(2)解：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.又 MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.25如图 1，已知梯形 ABCD 中，AD BC，ABCBAD ，ABBC 2AD4，E、F 分2别是 AB、CD 上的点，EF BC，AEx，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面EBCF(如图 2) G 是 BC 的中点，以 F、B 、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x)(1)当 x2 时，

40、求证：BD EG；(2)求 f(x)的最大值；(3)当 f(x)取得最大值时，求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值解析：(1)证明：作 DHEF，垂足为 H，连接 BH、GH、EG.平面 AEFD平面 EBCF，平面 AEFD平面 EBCFEF ，DH 平面 EBCF，又EG平面 EBCF，EG DH.AE 2，BG BC2，BEBG.12EH AD BCBG，EFBC ，EBC90，12四边形 BGHE 为正方形，EGBH .又BH、DH平面 DBH，且 BHDHH ，EG 平面 DBH.BD 平面 DBH， EGBD.(3)由(2)知当 f(x)取最大值时，AE2，故 BE2，结合 DHAE，可得BDH 或其补角是异面直线 AE 与 BD 所成的角在 RtBEH 中，BH 2 .DH 平面BE2 EH2 4 4 2EBCF，BH 平面 EBCF，DHBH .在 RtBDH 中，BD 2 ，cosBDH .异面直线 AE 与 BD 所成角BH2 DH2 8 4 3DHBD 223 33的余弦值为 .33