2019年高考数学（含解析)之数列热点问题（解题指导）

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1、数列热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养等比(差)数列的判定与证明2018全国，17；2017 全国， 17；2016全国，17逻辑推理、数学运算通项与求和2018全国，17；2018 全国，17；2016全国，17；2016 全国，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2017全国， 17；2018天津，18；2018 全国 ，17；2018浙江，20数学运算、逻辑推理审题答题指引1.教材与高考对接等比(差)数列的判定与证明【题根与题源】1.(必修 5P50 例 2)根据图 2.42 中的框图 (图略，教材中的图)，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推

2、公式.这个数列是等比数列吗？2.(必修 5P69B6)已知数列a n中，a 15，a 22，且 an2a n1 3a n2 (n3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？【试题评析】(1)题目以程序框图为载体给出递推数列 an，其中 a11，a nan1 (n1).进而由递推公式写出前 5 项，并利用定义判断数列 an是等比数列.12(2)题 目 以 递 推 形 式 给 出 数 列 ， 构 造 数 列 模 型 bn an an 1(n 2)， cn an 3an 1(n2)，利用等比数列定义不难得到b n，c n是等比数列，进而求出数列 an的通项公式.两题均从递推关系入手，

3、考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【教材拓展】 (2019郑州模拟)已知数列a n满足a15，a 25，a n1 a n6a n1 (n2).(1)求证：a n 12a n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式.【链接高考】 (2018全国卷) 已知数列a n满足 a11，na n1 2( n1)a n.设 bn .ann(1)求 b1，b 2，b 3；(2)判断数列b n是否为等比数列，并说明理由；(3)求a n的通项公式.2.教你如何审题等差与等比数列的综合问题【例题】 (2018天津卷)设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn(nN *)；b

4、n是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn(nN *).已知 b11，b 3b 22，b 4a 3a 5，b 5a 42a 6.(1)求 Sn和 Tn；(2)若 Sn(T 1T 2T n)a n4b n，求正整数 n 的值.【审题路线】【自主解答】【探究提高】 1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前 n 项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.2.利用等差(比)数列的通项公式及前 n 项和公式列方程(组)求出等差( 比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前 n 项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.3.对等差、等比数列的

5、综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.【尝试训练】 (2017全国卷) 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前n 项和为 Tn，a 11，b 11，a 2b 22.(1)若 a3b 35，求b n的通项公式；(2)若 T321，求 S3.3.满分答题示范数列的通项与求和【例题】 (12 分)(2017全国卷)设数列 an满足 a13a 2(2n1)a n2n.(1)求a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 .an2n 1【规范解答】4.高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由

6、an满足的关系式，通过消项求得 an，验证 n1 时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项利用裂项相消法求得数列的前 n 项和 Sn.得关键分：(1)a n1 满足的关系式，(2)验证 n1，(3) 对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点 2)，(得分点 5)，( 得分点 7).【构建模板】【规范训练】 (2019芜湖调研 )已知数列a n是等比数列，a 24，a 32 是 a2 和 a4 的等差中项.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn2log 2an1，求数列a nbn的前 n 项和 Tn.数列

7、热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养等比(差)数列的判定与证明2018全国，17；2017 全国， 17；2016全国，17逻辑推理、数学运算通项与求和2018全国，17；2018 全国，17；2016全国，17；2016 全国，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2017全国， 17；2018天津，18；2018 全国 ，17；2018浙江，20数学运算、逻辑推理审题答题指引1.教材与高考对接等比(差)数列的判定与证明【题根与题源】1.(必修 5P50 例 2)根据图 2.42 中的框图 (图略，教材中的图)，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式

8、.这个数列是等比数列吗？2.(必修 5P69B6)已知数列a n中，a 15，a 22，且 an2a n1 3a n2 (n3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？【试题评析】(1)题目以程序框图为载体给出递推数列 an，其中 a11，a nan1 (n1).进而由递推公式写出前 5 项，并利用定义判断数列 an是等比数列.12(2)题 目 以 递 推 形 式 给 出 数 列 ， 构 造 数 列 模 型 bn an an 1(n 2)， cn an 3an 1(n2)，利用等比数列定义不难得到b n，c n是等比数列，进而求出数列 an的通项公式.两题均从递推关系入手，考查

9、等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【教材拓展】 (2019郑州模拟)已知数列a n满足a15，a 25，a n1 a n6a n1 (n2).(1)求证：a n 12a n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式.解：(1)证明 因为 an1 a n6a n1 (n2)，所以 an1 2a n3a n6a n1 3(a n2a n1 )(n2).因为 a15，a 25，所以 a22a 115，所以 an2a n1 0(n2)，所以数列a n1 2a n是以 15 为首项，3 为公比的等比数列 .(2)解 由(1)得 an1 2a n153 n1 53 n，则

10、 an1 2a n53 n，所以 an1 3 n1 2(a n3 n).又因为 a132，所以 an3 n0，所以a n3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.所以 an3 n2(2) n1 ，故 an2(2) n1 3 n.【链接高考】 (2018全国卷) 已知数列a n满足 a11，na n1 2( n1)a n.设 bn .ann(1)求 b1，b 2，b 3；(2)判断数列b n是否为等比数列，并说明理由；(3)求a n的通项公式.解 (1)由条件可得 an1 an.2（n 1）n将 n1 代入得，a 24a 1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得，a 33a 2，所以

11、a312.从而 b11，b 22，b 34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.理由如下：由条件可得 ，即 bn1 2b n，又 b11，所以b n是首项为 1，公比为 2 的等比数an 1n 1 2ann列.(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 ann2 n1 .ann2.教你如何审题等差与等比数列的综合问题【例题】 (2018天津卷)设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn(nN *)；b n是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn(nN *).已知 b11，b 3b 22，b 4a 3a 5，b 5a 42a 6.(1)求 Sn和 Tn；(2)若 Sn(T 1T 2

12、T n)a n4b n，求正整数 n 的值.【审题路线】【自主解答】解 (1)设等比数列b n的公比为 q(q0).由 b11，b 3b 22，可得 q2q20.因为 q0，可得 q2，故 bn2 n1 .所以 Tn 2 n1.1 2n1 2设等差数列a n的公差为 d.由 b4a 3a 5，可得 a13d4.由 b5a 42a 6，可得 3a113d16，从而 a11，d1，故 ann.所以 Sn .n（n 1）2(2)由(1)，有T1T 2T n(2 12 22 n)n n2 n1 n2.2（1 2n）1 2由 Sn(T 1T 2T n)a n4b n可得 2 n1 n2n2 n1 ，n（

13、 n 1）2整理得 n23n40，解得 n1(舍) ，或 n4.所以 n 的值为 4.【探究提高】 1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前 n 项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.2.利用等差(比)数列的通项公式及前 n 项和公式列方程(组)求出等差( 比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前 n 项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.【尝试训练】 (2017全国卷) 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列

14、 bn的前n 项和为 Tn，a 11，b 11，a 2b 22.(1)若 a3b 35，求b n的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解 设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则 an1(n1) d，b nq n1 .由 a2b 22 得 dq3.(1)由 a3b 35 得 2dq 26.联立和解得 (舍去 )，d 3，q 0) d 1，q 2.)因此b n的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11，T 321 得 q2q 200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.3.满分答题示范数列的通项与求和【例题】 (12 分

15、)(2017全国卷)设数列 an满足 a13a 2(2n1)a n2n.(1)求a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 .an2n 1【规范解答】4.高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由 an满足的关系式，通过消项求得 an，验证 n1 时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项利用裂项相消法求得数列的前 n 项和 Sn.得关键分：(1)a n1 满足的关系式，(2)验证 n1，(3) 对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点 2)，(得分点 5)，( 得分点

16、 7).【构建模板】【规范训练】 (2019芜湖调研 )已知数列a n是等比数列，a 24，a 32 是 a2 和 a4 的等差中项.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn2log 2an1，求数列a nbn的前 n 项和 Tn.解 (1)设数列a n的公比为 q，因为 a24，所以 a34q，a 44q 2.因为 a32 是 a2 和 a4 的等差中项，所以 2(a32) a 2a 4.即 2(4q2) 44q 2，化简得 q22q0.因为公比 q0，所以 q2.所以 ana 2qn2 42 n2 2 n(nN *).(2)因为 an2 n，所以 bn2log 2an12n1，所以 anbn(2n1)2 n，则 Tn1232 252 3(2 n3)2 n1 (2n1)2 n，2Tn12 232 352 4(2 n3)2 n(2n1)2 n1 .由得，T n222 222 322 n(2 n1)2 n122 (2n 1)2n1 6(2n3)2 n1 ，4（1 2n 1）1 2所以 Tn6(2n3)2 n1 .所以 Tn(n1)2 n1 2 .n（n 1）2