2019年高考数学（含解析)之 概率与统计热点问题（解题指导）

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1、概率与统计热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养统计图表 2018，3 数学抽象、数据分析二项分布 2018，20；2017，19 数学运算、数据分析分布列、期望 2017，18；2016，19 数学运算、数据分析正态分布 2017，19 数据分析条件概率 2016，18 数据分析回归分析 2018，18；2016，18 直观想象、数据分析独立性检验 2018，18；2017，18 数据分析审题答题指引1.教材与高考对接统计图表、独立性检验【题根与题源】(必修 3P70 茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26

2、，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并说明理由.【试题评析】统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.【教材拓展】甲、乙两名同学在 7 次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是 85，乙同学成绩的中位数是 83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.【探究提高】(2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为

3、比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位： min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2 ，n（ad bc）2（a b）（c d）（a c）（b d）P(K2

4、k 0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.8282.教你如何审题回归分析问题【例题】 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨) 的折线图.注：年份代码 17 分别对应年份 20082014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据： yi9.32， tiyi40.17， 0.55， 2.646.7 i 1 7 i 1 7 i 1（yi y ）2 7参考公式：相关

5、系数 r ， n i 1（ti t ）（yi y ） n i 1（ti t ）2 n i 1（yi y ）2回归方程 t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：y a b ， .b n i 1（ti t ）（yi y ） n i 1（ti t ）2 a y b t 【审题路线】【自主解答】【探究提高】在两个变量的回归分析中要注意以下两点：(1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.【尝试训练】 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第 x 年与年销售

6、量 y(单位：万件)之间的关系如表：x 1 2 3 4y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合 y 与 x 的关系(不必说明理由)；(3)建立 y 关于 x 的回归方程，预测第 5 年的销售量.参考公式：回归直线 x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .b n i 1（xi x ）（yi y ） n i 1（xi x ）2 a y b x 3.满分答题示范分布列、期望、方差问题【例题】 (12 分)(2017 全国卷) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶

7、2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：) 有关.如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润

8、为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶) 为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【规范解答】4.高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量 X 所有的可能取值，有则得 1 分，无则没有分；随机变量 X 的各个值对应的概率也是每个 1 分，列出其分布列是 1 分，每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此 .得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据 n 的范围求E(Y)，即当 300n500 时，E(Y) 6402n；当 200n300 时，E(Y) 1601.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程

9、和步骤也不得分.得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个概率值的计算要正确，否则不得分.【构建模板】【规范训练】 (2018佛山模拟 )某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中 2道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.23(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？2019 年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍专题

10、 11 概率与统计热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养统计图表 2018，3 数学抽象、数据分析二项分布 2018，20；2017，19 数学运算、数据分析分布列、期望 2017，18；2016，19 数学运算、数据分析正态分布 2017，19 数据分析条件概率 2016，18 数据分析回归分析 2018，18；2016，18 直观想象、数据分析独立性检验 2018，18；2017，18 数据分析审题答题指引1.教材与高考对接统计图表、独立性检验【题根与题源】(必修 3P70 茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，

11、8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并说明理由.【试题评析】统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.【教材拓展】甲、乙两名同学在 7 次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是 85，乙同学成绩的中位数是 83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.解 根据众数及中位数的概念易得 x5，y3，故甲同学成绩的平均数为 85，78 79 80 85 85 9

12、2 967乙同学成绩的平均数为 85，72 81 81 83 91 91 967故甲同学成绩的方差为 (49362549121) 40，17乙同学成绩的方差为 (169161643636121) 40，17 3987故成绩较稳定的是甲.【探究提高】(2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位： min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高

13、？并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2 ，n（ad bc）2（a b）（c d）（a c）（b d）P(K2k 0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解：(1)第一种生产方式时间集中在区间80 ，90，且平均工作时间 184.x 第二种生产方式的时间集中在区间70，80) ，且平均工作时间 274.7.x 1 2

14、，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，x x 第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图数据得到 m80.由此填写列联表如下：超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式 15 5 20第二种生产方式 5 15 20总计 20 20 40(3)根据(2)中的列联表计算.K2 106.635，所以有 99%的把握n（ad bc）2（a b）（c d）（a c）（b d） 40（1515 55）220202020认为两种生产方式的效率有差异.2.教你如何审题回归分析问题【例题】 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨) 的折线图.注：年份代码 17 分别对应

15、年份 20082014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据： yi9.32， tiyi40.17， 0.55， 2.646.7 i 1 7 i 1 7 i 1（yi y ）2 7参考公式：相关系数 r ， n i 1（ti t ）（yi y ） n i 1（ti t ）2 n i 1（yi y ）2回归方程 t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：y a b ， .b n i 1（ti t ）（yi y ） n i 1（ti

16、 t ）2 a y b t 【审题路线】【自主解答】解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得4， (ti )228， 0.55.t 7 i 1 t 7 i 1（yi y ）2(ti )(yi ) tiyi yi40.1749.32 2.89，7 i 1 t y 7 i 1 t 7 i 1r 0.99.2.8922.6460.55因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.(2)由 1.331 及(1) 得 0.10，y 9.327 b 7 i 1（ti t ）（yi y ） 7 i 1（ti t ）2

17、2.8928 1.3310.10340.92.a y b t 所以 y 关于 t 的回归方程为 0.920.10t.y 将 2020 年对应的 t13 代入回归方程得 0.920.10132.22.y 所以预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 2.22 亿吨.【探究提高】在两个变量的回归分析中要注意以下两点：(1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.【尝试训练】 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第 x 年与年销售量 y(单位：万件

18、)之间的关系如表：x 1 2 3 4y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合 y 与 x 的关系(不必说明理由)；(3)建立 y 关于 x 的回归方程，预测第 5 年的销售量.参考公式：回归直线 x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .b n i 1（xi x ）（yi y ） n i 1（xi x ）2 a y b x 解 (1)作出的散点图如图：(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：x y x2 xy1 1 12 1 122 2 28 4 563 3

19、 42 9 1264 4 56 16 224 10 138 30 418可得 ， ，x 52 y 692所以 ，b 418 45269230 4(52)2 735 2.a y b x 692 735 52故回归直线方程为 x2.y 735(3)当 x5 时， 5271.y 735故预测第 5 年的销售量大约为 71 万件.3.满分答题示范分布列、期望、方差问题【例题】 (12 分)(2017 全国卷) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)

20、 有关.如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶) 为多少时，Y 的

21、数学期望达到最大值？【规范解答】4.高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量 X 所有的可能取值，有则得 1 分，无则没有分；随机变量 X 的各个值对应的概率也是每个 1 分，列出其分布列是 1 分，每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此 .得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据 n 的范围求E(Y)，即当 300n500 时，E(Y) 6402n；当 200n300 时，E(Y) 1601.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个

22、概率值的计算要正确，否则不得分.【构建模板】【规范训练】 (2018佛山模拟 )某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中 2道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.23(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解 (1)设甲正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 1，2，3.P(1) ；P( 2) ；15 35P(3) .15应聘者甲

23、正确完成题数 的分布列为E()1 2 3 2.15 35 15 1 2 3P 15 35 15设乙正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，3.P( 0) C ；03(1 23)3 127P( 1)C ；13(23)1 (1 23)2 627P( 2)C ；23(23)2 (1 23) 1227P( 3)C .3(23)3 827应聘者乙正确完成题数 的分布列为 0 1 2 3P 127 627 1227 827E()0 1 2 3 2.127 627 1227 827(或因为 B ，所以 E()3 2)(3，23) 23(2)因为 D()(12) 2 (2 2) 2 (32) 2 ，D( )3 .15 35 15 25 23 13 23所以 D()D().综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.