2019年高考数学（含解析)之 三角函数与解三角形热点问题（解题指导）

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1、三角函数与解三角形热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养三角函数的图象与性质2018全国，10；2018全国，8；2018全国，6；2017浙江，17；2017山东，16；2017全国，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018浙江，18；2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4； 2017全国，15；2016全国，14逻辑推理、数学运算解三角形2018全国，17；2018全国，6，2017全国，17；2018北京，15；2018天津，15；2016全国，17逻辑推理、数学运算审题答题指引1.教材与高考对接三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修 4P14

2、7 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题)题目 9 已知函数 y(sin x cos x) 22cos 2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目 10 已知函数 f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4 x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合 .0，2【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yA sin(x)k 的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数 f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x

3、 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性. 4，4【探究提高】1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称； (2)活用和、(2x 3)差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x ”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x )B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017山东卷)设函数 f(x)sin sin ，其中 03，已知 f 0.(x 6) (x 2) (6)(1)求 ；(2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ，再将得到的图象向

4、左平移 个单位，得到函数 yg(x) 的图象，求 g(x)在 上的最小值.4 4，342.教你如何审题三角函数、平面向量、解三角形交汇。【例题】 (2019青岛质检) 已知向量 m(2sin x，cos 2xsin 2x)，n( cos x，1)，3其中 0，x R.若函数 f(x)m n 的最小正周期为 .(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC ，sin B sin A，求 的值.3 3 BA BC 【审题路线】【自主解答】【探究提高】 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数

5、进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数 f(x)a b，其中 a(2cos x， sin 2x)，b(cos x，1)，3xR.(1)求函数 yf(x )的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a ，且向量7m(3，sin B) 与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值.3.满分答题示范解三角形【例题】 (12 分)

6、(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求 ABC 的周长.【规范解答】4.高考状元满分心得写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 acsin B 就有分，第(2)问中求出 cos Bcos C12 a23sin Asin Bsin C 就有分.12写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得 sin Cs

7、in B ；第(2)问由余弦定理得12 sin A3sin Ab2c 2bc9.计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如 cos Bcos Csin Bsin C 化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.12【构建模板】【规范训练】 (2018全国卷) 在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45 ，AB2，BD 5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2三角函数与解三角形热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养三角函数的图象与性质2018全国，10；2018全国，8；2018全国，6；2017浙江，17；2017山东

8、，16；2017全国，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018浙江，18；2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4； 2017全国，15；2016全国，14逻辑推理、数学运算解三角形2018全国，17；2018全国，6，2017全国，17；2018北京，15；2018天津，15；2016全国，17逻辑推理、数学运算审题答题指引1.教材与高考对接三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修 4P147 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题)题目 9 已知函数 y(sin x cos x) 22cos 2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目 10 已知

9、函数 f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4 x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合 .0，2【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yA sin(x)k 的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数 f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性. 4，4解 (1)f(x) 的定义域为 x|x k，kZ，2f(x)4tan xcos xcos

10、 (x 3) 34sin x cos (x 3) 34sin x (12cos x 32sin x) 32sin x cos x2 sin2x3 3sin 2x cos 2x32sin .(2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)由 2k2x 2k(k Z)，2 3 2得 kx k( kZ).12 512设 A ，B ，易知 AB . 4，4 x| 12 k x 512 k，k Z) 12，4所以当 x 时，f(x )在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 4，4 12，4 4， 12【探究提高】1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数

11、名称； (2)活用和、(2x 3)差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x ”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x )B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017山东卷)设函数 f(x)sin sin ，其中 03，已知 f 0.(x 6) (x 2) (6)(1)求 ；(2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 yg(x) 的图象，求 g(x)在 上的最小值.4 4，34解 (1)因为 f(x)sin sin ，(x 6) (x 2)所以 f(x) sin x cos xco

12、s x32 12 sin x cos x32 32 3(12sin x 32cos x) sin .3 (x 3)由题设知 f 0，(6)所以 k (kZ)，6 3故 6k2(kZ).又 03，所以 2.(2)由(1)得 f(x) sin ，3 (2x 3)所以 g(x) sin sin .3 (x 4 3) 3 (x 12)因为 x ，所以 x ， 4，34 12 3，23当 x ，即 x 时，g( x)取得最小值 .12 3 4 322.教你如何审题三角函数、平面向量、解三角形交汇。【例题】 (2019青岛质检) 已知向量 m(2sin x，cos 2xsin 2x)，n( cos x，1

13、)，3其中 0，x R.若函数 f(x)m n 的最小正周期为 .(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC ，sin B sin A，求 的值.3 3 BA BC 【审题路线】【自主解答】解 (1)f(x) m n2 sin xcos xcos 2xsin 2 x sin 2xcos 2x2sin .3 3 (2x 6)因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 T .22|又 0，所以 1.(2)由(1)知 f(x)2sin .(2x 6)设ABC 中角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c.因为 f(B)2，所以 2sin 2，(2B 6)即 sin 1，由于 0B，解得 B

14、 .(2B 6) 23因为 BC ，即 a ，又 sin B sin A，3 3 3所以 b a，故 b3.3由正弦定理，有 ，解得 sin A .3sin A 3sin 23 12由于 0A ，解得 A .3 6所以 C ，所以 ca .6 3所以 cacos B cos .BA BC 3 3 23 32【探究提高】 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.

15、这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数 f(x)a b，其中 a(2cos x， sin 2x)，b(cos x，1)，3xR.(1)求函数 yf(x )的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a ，且向量7m(3，sin B) 与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值.解 (1)f(x) 2 cos2x sin 2x1cos 2x sin 2x1 2cos ，3 3 (2x 3)令 2k2x 2k(kZ )，3解得 k xk (kZ)，6 3函数 yf

16、(x) 的单调递减区间为 (kZ ).k 6，k 3(2)f(A)12cos 1，(2A 3)cos 1，又 2A ，(2A 3) 3 3 732A ，即 A .3 3a ，由余弦定理得 a2b 2c 22bc cos A(bc) 23bc7.7向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c ，由得 b3，c2.3.满分答题示范解三角形【例题】 (12 分)(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1

17、，a3，求 ABC 的周长.【规范解答】4.高考状元满分心得写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 acsin B 就有分，第(2)问中求出 cos Bcos C12 a23sin Asin Bsin C 就有分.12写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得 sin Csin B ；第(2)问由余弦定理得12 sin A3sin Ab2c 2bc9.计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如 cos Bcos Csin Bsin

18、C 化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.12【构建模板】【规范训练】 (2018全国卷) 在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45 ，AB2，BD 5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解 (1)在ABD 中，由正弦定理得 ，即 ，所以BDsin A ABsin ADB 5sin 45 2sin ADBsinADB .由题设知，ADB90，所以 cosADB .25 1 225 235(2)由题设及(1)知，cosBDCsin ADB .在BCD 中，由余弦定理得25BC2BD 2DC 22BD DCcosBDC258252 25.所以 BC5.225