2019高考数学决胜专卷(含解析)之 等差数列(跟踪知识梳理)
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1、等差数列跟踪知识梳理考纲解读:1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系考点梳理:1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示数学语言表达式:a n1 a nd (nN *,d 为常数),或 ana n1 d (n2,d 为常数)来源:Z.xx.k.Com2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1,公差是
2、 d,则其通项公式为 ana 1(n 1) d通项公式的推广:a na m(nm)d( m,nN *)(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d(其中 nN *,a 1 为首项, d 为公差,a n 为第 n 项)n( a1 an)2 n( n 1)23等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a, A,b 成等差数列,则 A 叫做 a,b 的等差中项,且 A a b2(2)若a n为等差数列,且 mnpq,则 ama na pa q(m,n ,p,q N *)(3)若a n是等差数列,公差为 d,则 ak,a km ,a k2m ,( k,mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数列
3、Sm,S 2mS m,S 3mS 2m,也是等差数列(5)S2n1 (2n 1)a n.(6)若 n 为偶数,则 S 偶 S 奇 ;nd2若 n 为奇数,则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项)4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列a n是等差数列 SnAn 2Bn(A,B 为常数)5等差数列的前 n 项和的 最值 来源:在等差数列 an中,a 10,d0 ,则 Sn 存在最大值;若 a10 ,d0,则 Sn 存在最小值【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式 的推广:a na m(nm) d(n,mN *)(2)若a n为等差数列,且 klmn (
4、k,l,m,nN *),则 aka la ma n.若mn2p (m,n,p N *),则 ama n2a p.(3)若a n是等差数列,公差为 d,则a 2n也是等差数列,公差为 2d.来源:Zxxk.Com(4)若a n, bn是等差数列,则pa nqb n也是等差数列(5)若a n是等差数列,公差为 d, 则 ak,a km ,a k2m ,(k ,mN *)是公差为 md 的等差数列(6)等差数列 an的前 n 项和为 Sn, 则 Sn,S 2nS n,S 3nS 2n 仍成等差数列,其公差为 n2d.核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北荆州一模,5)在等差数列a n中,a 1=
5、1,a2+a6=10,则 a7= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2 (2018 河南濮阳二模,7)已知等差数列a n一共有 9 项, 前 4 项和为 3,最后 3 项和为 4,则中间一项的值为 ( ) A. B. C.1 D. 1720596673 (2018 河南信阳二模,9)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等, 问各得几何?” 其意 思为“ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同, 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲
6、得 钱 ( ) A. B. C. D. 5324354设数列 是等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ( nanS368S85a20)A B C D43674805设 是等差数列 的前 项和, , ,则 ( )nSna12a53a9SA B C D7254 726已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,若 ,则 的取值范围是( nnS3645102a)A B C. D来源:Z+xx+k.Com,2,0,0,7已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 取最大值时,nanS27a68anS的值为( )nA3 B4 C5 D68设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于( nanS423
7、a74S)A B C7 D14741459 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为( )A8 B9 C10 D1110在等差数列 中, , ,则此数列前 30 项和等na123a28930165a于( )A B C D81084079011已知等 差数列 满足 ,则有( )na12310aA B C D10a039a512 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子 善于织
8、布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布 尺,一个月(按 305天计算)总共织布 尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( )390A 尺 B 尺 C 尺 D 尺82916293291213已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 , ,则 中nanS17018S1712,Sa最大的项为( )A B C. D6Sa7a8a9Sa14已知等差数列 的前 项和为 ,且 , ,则使得 取最小nnS154927Sn值时的 为 ( )A B C. D 或1676715已知等差数列 中, , ,记 ,则na37108a14a12nnSa( )13SA78 B152 C 156 D
9、16816若 是等差数列,首项 , , ,则使前 项和na10a21607a20167an成立的最大正整数 是( )0SnA B C D21674340317等差数列 中, 为前项 和,已知 ,且 ,则nanS2016a21620S等于( )1aA B C D 206201543018若数列 是等差数列,则称数列 为“ 等方差数列” ,给出以下判断:2n na常数列是等方差数列;若数列 是等方差数列,则数列 是等差数列;na2n若数列 是等方差数列, 则数列 是等方差数列;a若数列 是等方差数列,则数列 也是等方差数列,其中正确的序号为( )n 2nA. B. C. D.二、填空题19设等差数
10、列 的前 项和为 ,若 , ,则当 取最小值时,nanS1a46anS等于_.n20设 是等差数列,若 ,则 .n45629S21已知数列 为等差数列, 为 的前 项和,若 , ,则anSa215a34的取值范围是 4S22在等差数列 中, ,则该数列的前 14n34568146项和为 23设等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的最大值为 nanS405S4a三、解答题24已知等差数列 的前 项和为 , ,且 , .nn1nbS28b532S(1 )求数列 na, 的通项公式;b(2 )求证: .123n25已知正项数列 的前 项和为 ,且 是 1 与 的等差中项nSnna(1 )求数列
11、的通项公式;na(2 )设 为数列 的前 项和,证明: ( ) nT12n213nT*N26设等差数列 的前 项和为 ,且 .anS565a(1 )求 的通项公式;n(2 )若不等式 对所有的正整数 都成立,求实数 的取值范28714nnSkank围.27已知数列 na为等差数列, ,公差 ,且 .350d215a(1 )求数列 的通项公式以及它的前 n 项和 ;nS(2 )若数列 满足 , 为数列 的前 项和,求 ;nb1nnaTnbnT(3 )在(2 )的条件下,若不等式 nnT)1(8恒成立,求实数 的取值N范围.等差数列跟踪知识梳理考纲解读:1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通
12、项公式与前 n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系考点梳理:1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起,每一 项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母 d 表示数学语言表达式:a n1 a nd (nN *,d 为常数),或 ana n1 d (n2,d 为常数)2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 ana 1(n 1) d通项公式的推广:a na m(nm)d( m,nN
13、 *)(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d(其中 nN *,a 1 为首项, d 为公差,a n 为第 n 项)n( a1 an)2 n( n 1)23等差数列及前 n 项和的性质(1)若 a, A,b 成等差数列,则 A 叫做 a,b 的等差中项,且 A a b2(2)若a n为等差数列,且 mnpq,则 ama na pa q(m,n ,p,q N *)(3)若a n是等差数列,公差为 d,则 ak,a km ,a k2m ,(k ,mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数 列 Sm,S 2mS m,S 3mS 2m,也是等差数列(5)S2n1 (2n 1)a n.(6)
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