《21.3.2平均变化率与一元二次方程》教案

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1、第 2 课时 平均变化率与一元二次方程1掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题2会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014辽宁大连)某工厂一种产品 2013 年的产量是 100 万件，计划 2015 年产量达到 121 万件假设 2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率相同(1)求 2013 年到 201

2、5 年这种产品产量的年增长率；(2)2014 年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入 2014年产量的表达式即可解决解：(1)设这种产品产量的年增长率为 x，根据题意列方程得 100(1 x)2121，解得x10.1， x22.1(舍去)答：这种产品产量的年增长率为 10%.(2)100(110%)110(万件)答：2014 年这种产品的产量应达到 110 万件方法总结：增长率问题中可以设基数为 a，平均增长率为 x，增长的次数为 n，则增长后的结果为 a(1 x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为 a(1 x

3、)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是 90 万元，每月另需支付设备维护费 5万元；从今年 1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100 万元，1 至 3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达 364 万元，3 月份后，每月生产收入稳定在 3 月份的水平(1)求使用新设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付 640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设 2月，3 月生产收入的月增长率为 x，根据题意建立等量关系，即 3个

4、月之和为 364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入以后几个月的收入减去一次性支付 640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入每个月的维护费，然后解不等式解：(1)设 2 月，3 月生产收入的月增长率为 x，根据题意有 100100(1 x)100(1 x)2364，即 25x275 x160，解得， x13.2(舍)， x20.2，所以 2 月，3 月生产收入的月增长率为 20%.(2)设 m 个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364100(120%) 2(m3)64090 m5 m，解得， m12.所以，使用

5、新设备 12 个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了 x棵树苗，根据“售价数量单

6、价”就可求解解：60 棵树苗售价为 120 元607200 元8800 元，该校购买树苗超过 60棵设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得 x1200.5( x60)8800，解得x1220， x280.当 x1220 时，1200.5(22060)40100， x1220 不合题意，舍去；当 x280 时，1200.5(8060)110100， x280， x80.答：该校共购买了 80 棵树苗方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的价格对

7、外批发销售由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为 x，列一元二次方程求出 x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 5(1 x)23.2，解得x10.220%， x21.8(舍去)平均每次下调的百分率为 20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.20.9500014400(元)；方案二所需费用为：3.25000200515000(元)，1440015000，小华选择方案一购买更优惠三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.