中考数学培优（含解析）之矩形、菱形、正方形

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1、矩形、菱形、正方形 聚焦考点温习理解一、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1 ）具有平行四边形的一切性质（2 ）矩形的四个角都是直角（3 ）矩形的对角线相等（4 ）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1 ）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2 ）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3 ）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S 矩形 =长宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1 ）具有平行四边形的一切性质（2 ）菱形的四条边相等（3 ）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4 ）菱

2、形是轴对称图形3、菱形的判定（1 ）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2 ）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3 ）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形 =底边长高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1 ）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2 ）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3 ）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4 ）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5 ）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角

3、线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6 ）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1 ）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2 ）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形） ；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 b，S 正方形 = 2ba名师点睛典例分类考向一：特殊四边形的有关计算典例 1：（2018 滨州）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4 ，点 E，F 分别在 BC，CD 上

4、，若 AE 5， EAF45，则 AF 的长为_考向二：特殊四边形有关推理AB CDEF典例 2：（2018 成都，24，4 分） 如图，在菱形 ABCD 中， tanA= 34，M，N 分别在边AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D，当EFAD 时，BNC的值为 .考向三：特殊四边形中的定长对定角模型 典例 3：（2017宜昌）正方形 ABCD的边长为 1，点 O是 BC边上的一个动点（与 ,BC不重合)，以 O为顶点在 所在直线的上方作 90MN.(1)当 M经过点 时，请直接填空： N （可能，不可能）过 D点；（图 1 仅供分析）如

5、图 2,在 上截取 EOA，过 点作 EF垂直于直线 BC,垂足为点 F，册EHCD于 ，求证：四边形 CH为正方形.（2 ）当 OM不过点 时，设 M交边 B于 G,且 1O.在 N上存在点 P,过 点作PK垂直于直线 B,垂足为点 K，使得 4PKBS，连接 ，求四边形 KBG的最大面积.考向四：特殊四边形中的全等与相似模型 典例 4：（2016扬州）已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45角绕点 A旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF设 CE=a，CF=b （1 ）如图 1，当EAF 被对角线 AC 平分时，求 a、b 的值；（2

6、 ）当AEF 是直角三角形时，求 a、b 的值；（3 ）如图 3，探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a、b 满足的关系式，并说明理由考向五：双正方形及演变典例 6：已知正方形 ABCD， P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC （1 ）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；（2 ）若点 P 在线段 AB 上如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说明理由；如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP 平分AEC 时，求 a：b 及AEC 的度数考向六：特殊四边形

7、与函数问题典例 6：（2018 恩施）如图，已知抛物线交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于 C点， A点坐标为 (1,0)， 2OC， 3B，点 D为抛物线的顶点（1 ）求抛物线的解析式；（2 ） P为坐标平面内一点，以 、 C、 、 P为顶点的四边形是平行四边形，求 P点坐标；（3 ）若抛物线上有且仅有三个点 1M、 2、 3使得 1BC、 2M、 3BC的面积均为定值 S，求出定值 及 、 、 这三个点的坐标课时作业能力提升一、单选题1 （ 2017聊城）如图， ABC 中，DE BC，EFAB，要判定四边形 DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（ ）AAB=AC BAD=BD CBEAC

8、 DBE 平分ABC2 （ 2018 宿迁）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，BAD60 ，则OCE 的面积是 ( )A 3 B2 C 32 D4OEDBA3 （2018上海）己知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A A=B B A=C C AC=BD D ABBC4 （ 2017宜宾）如图，在矩形 ABCD 中 BC8 ，CD6，将 ABE 沿 BE 折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上 F 处，则 DE 的长是（ ）A3 B 524 C5 D 16895 （ 201

9、7安徽）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3 ，动点 P 满足 ABCDABS矩 形3，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ）A 29 B 34 C 25 D 416 （ 2018恩施） 如图 3 所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ，则线段 AE 的长度为（ ）A6 B 8 C10 D127 （ 2017贵港）如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 BC 边上的动点（点 M 不与 B，C 重合） ，CN DM

10、，CN 与 AB 交于点 N，连接 OM，ON ，MN下列五个结论：CNBDMC ； CONDOM ； OMNOAD；22NA；若 AB=2，则 SOMN 的最小值是 21，其中正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题8 . (2018湖州)如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O，若tanBAC 13，AC 6，则 BD 的长是_.OABCD9 （ 2018成都）如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图： 分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E.若DE=2，CE=3，则矩形的对

11、角线 AC 的长为 10 (2018攀枝花 )如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD 3，矩形内部有一动点 P 满足 SPAB13S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点的距离之和 PAPB 的最小值是_三、解答题 11 （ 2018荆州）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 MN，将纸片展PCBAD平；再一次折叠，使点 D 落到 MN 上的点 F 处，折痕 AP 交 MN 于 E；延长 PF 交 AB 于 G.求证：（1）AFGAFP；（ 2）APG 为等边三角形. 12 （ 2018扬州）如图，在平行四边形 ABCD 中，DBDA，点 F 是 AB 的中

12、点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E，连接 AE（1 ）求证：四边形 AEBD 是菱形；（2 ）若 DC 10，tanDCB3 ，求菱形 AEBD 的面积13 在 RtABC 纸片中，ACB90，AC ，BC 1 点 D 是边 AB 上一点（点 D 不与3A，B 重合） ，将纸片沿 CD 折叠，得到 A 的对称点 A1，连接 A1B（1 ）如图 1，当点 A1 在 BC 的上方，且满足 A1BBC 时，求 A1B 的长；（2 ）如图 2，当点 D 为 AB 的中点时，试判断四边形 A1BCD 的形状，并说明理由；（3 ）当BDA 130 时，求 BD 的长（直接写出结果）.14

13、（ 2017阜新）在菱形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上一点，点 F，G 在直线 BC 上，且BE EG，AEFBEG （1 ）如图 1，求证：ABEFGE；（2 ）如图 2，当ABC120时，求证：ABBEBF；（3 ）如图 3，当ABC90，点 F 在线段 BC 上时，线段 AB，BE ，BF 的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)15 .（2018 十堰） 已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM，EM（1 ）如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2 ）如图

14、 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上， （1）中结论是否仍然成立？请证明PM1 23 BCDAE F NG FCDBE AAA1DBCAA1DBC你的结论;（3 ）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若AB13，CE5，请画出图形，并直接写出 MF 的长16 （2018江西）在菱形 ABCD 中，ABC60 ，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而化（1）如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是_，CE 与 AD

15、 的位置关系是 _；（2）当点 E 在菱形 ABCD 外部时， （1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理) （2）如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB2 ，BE 2 ，3 19求正边形 ADPE 的面积矩形、菱形、正方形 聚焦考点温习理解一、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1 ）具有平行四边形的一切性质（2 ）矩形的四个角都是直角（3 ）矩形的对角线相等（4 ）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1 ）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2 ）定理

16、1：有三个角是直角的四边形是矩形（3 ）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S 矩形 =长宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1 ）具有平行四边形的一切性质（2 ）菱形的四条边相等（3 ）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4 ）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1 ）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2 ）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3 ）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形 =底边长高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边

17、形叫做正方形。2、正方形的性质（1 ）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2 ）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3 ）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4 ）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5 ）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6 ）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1 ）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2 ）判定一个四边形为正方形的一般顺序

18、如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形） ；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 b，S 正方形 = 2ba名师点睛典例分类考向一：特殊四边形的有关计算典例 1：（2018 滨州）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4 ，点 E，F 分别在 BC，CD 上，若 AE 5， EAF45，则 AF 的长为_AB CDEF【分析】取 AD、BC 中点 M、 N，由 AD4，AB2 ，证得四边形 ABNM 是正方形，连接MN， EH，由 HAE45 ，四边形 ABNM 是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”【解答】解：取 AD、BC 中点 M

19、、N，由 AD4，AB2 ，证得四边形 ABNM 是正方形，连接 MN， EH，由 HAE45 ，四边形 ABNM 是正方形，故有 EHMHBE 由AB 2，AE 5，易知 BE1 ，所以 ENBNBE2 11 ，设 MHx，由 M 是 AD 中点，AMHADF 可知，DF2MH2x，HN 2x，EH MHBEx1，在 RtEHN 中有22ENH，故 2)(1)x（ ，解得 x 3，故 DF 43，故 AF4103ADF故答案:4103考向二：特殊四边形有关推理典例 2：（2018 成都，24，4 分） 如图，在菱形 ABCD 中， tanA= 34，M，N 分别在边AD，BC 上，将四边形

20、AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D，当 EFAD 时，BC的值为 .【分析】延长 NF 与 DC 交与点 H,由折叠性质和已知条件可证 ABCD 是菱形,再导角证得DHF=90,可解 RtDHF 求出 DH=DFsinDFH= 524k.,得 CH=9k 524k=1k.;在 RtCHN中，tanC= tanA= 34，则 cosC= .得 NC= CHcos=7k.,则有 BN=9k7k=2k.,故得AB CDEFMHN27kCNB.【解答】证明:延长 NF 与 DC 交与点 H 由折叠的性质，得E= A，EFN=B，AM=EM，EF=AB.EFAD，MDE=

21、90.在 RtMDE 中，tanE=tanA= 34，设 DM=4k，DE=3k，则 EM=5k.AM=EM=5k ，AD=9k. 四边形 ABCD 是菱形，AB=CD=BC=AD=9k，C= A，ABCD，ADBC.A+ADC=180，A+ B=180.ADF=90，A+FDH=90.DFH+DFN=180，A+B=180，EFN=B ，A= DFH. DFH+FDH=90.DHF=90.EF=9k，DE=3k，DF=6k.在 Rt DHF 中，tan DFH=tanA= 34，则 sinDFH= 54.DH=DFsinDFH= 524k.CH=9k 524k=1k.在 Rt CHN 中，t

22、anC= tanA= 34，则 cosC= 5.NC= CHcos=7k.BN=9k7k=2k. 27kCNB.考向三：特殊四边形中的定长对定角模型 典例 3：（2017宜昌）正方形 ABCD的边长为 1，点 O是 BC边上的一个动点（与 ,BC不重合)，以 O为顶点在 所在直线的上方作 90MN.(1)当 M经过点 时，请直接填空： N （可能，不可能）过 D点；（图 1 仅供分析）如图 2,在 上截取 EOA，过 点作 EF垂直于直线 BC,垂足为点 F，册EHCD于 ，求证：四边形 CH为正方形.（2 ）当 OM不过点 时，设 M交边 B于 G,且 1O.在 N上存在点 P,过 点作PK

23、垂直于直线 B,垂足为点 K，使得 4PKBS，连接 ，求四边形 KBG的最大面积.【分析】以双正方形为背景的定长对定角动态问题，突出数形结合及画图分析能力的考查【解答】解：（1）不可能 AOBEFMON90,90在正方形 ABCD 中，ABB, EF,又 EHBC， 90EFCH,而 90HF,EFCH 为矩形，在OFE 和ABO 中， AOEF, B,OE=AO, OFE ABO, EF=OB,OF=AB,有 OF=OC+CF=AB=BC=BO+OC=EF+OC, CF=EF, 由得 EFCH 为正方形(2)、由POK=OGB, PKO= OBG 可得PKOOBG, 因为 4PKOBGS，

24、所以4)(2OGPSBK,OP=2,则POG 的面积为定值 1，因为 OG=1 为定值，则直角三角形 OBG 内接于 O ，设 OB=a.BG=b,过 B 作 BT 垂直 OG，垂足为 T，则 ab=BTOG,，当 BT为半径是地，ab 最大，即为 21，这时，OBG 最大面积为 4（因为本题中有 2ba，则也可由完全平方公式转化为 a,b 的均值不等式即21)(21,02)(2 bababa 或表示出OBG 的面积的函数关系式为 4)(12 2242 S求出其最大面积为 41） abTOQCKPNDAMGB考向四：特殊四边形中的全等与相似模型 典例 4：（2016扬州）已知正方形 ABCD

25、的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45角绕点 A旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF设 CE=a，CF=b （1 ）如图 1，当EAF 被对角线 AC 平分时，求 a、b 的值；（2 ）当AEF 是直角三角形时，求 a、b 的值；（3 ）如图 3，探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a、b 满足的关系式，并说明理由【分析】本题有角含半角及利用一线三等角相似模型（1）当EAF 被对角线 AC 平分时，易证ACFACE，因此 CF=CE，即 a=b（2 ）分两种情况进行计算，先用勾股定理得出 CF2=8（CE+4） ，再用相似三角形得出 4CF=CE（CE+4

26、 ），两式联立解方程组即可；（3 ）先判断出AFC+CAF=45，再判断出AFC+ AEC=45，从而求出 AEC，而ACF=ACE=135，得到 ACFECA，即可【解答】解：（1） 四边形 ABCD 是正方形，ACF= DCD=90，AC 是正方形 ABCD 的对角线，ACB=ACD=45 ，ACF=ACE ， EAF 被对角线 AC 平分，CAF=CAE，在ACF 和ACE 中，ACFACE ，CE=CE，CE=a，CF=b， a=b，ACFACE， AEF=AFE，EAF=45， AEF=AFE=67.5，CE=CF，ECF=90，AEC=AFC=22.5，CAF= CAE=22.5，

27、 CAE=CEA，CE=AC= 24，即：a=b= 24；（2 ）当AEF 是直角三角形时， 当AEF=90 时， EAF=45， AFE=45，AEF 是等腰直角三角形， )(222CFEFA， )(22BEAD， )(2CE)(BD， 416C，48FAEB+BEF=90， AEB+BAE=90，BEF= BAE， ABEECF，CFEBCEA,，4CF=CE（CE+4） ，联立 ，CE=4，CF=8a=4，b=8，当 AFE=90时，同的方法得，CF=4，CE=8 ， a=8，b=4 （3 ） ab=32，理由：如图，BAG+AGB=90，AFC+ CGF=90，AGB= CGF， BA

28、G=AFC，BAC=45，BAG+ CAF=45， AFC+CAF=45，AFC+AEC=180-（CFE+CEF）-EAF=1809045=45，CAF=AEC， ACF=ACE=135，ACF ECA， ACFE， 322ABCFE， ab=32考向五：双正方形及演变典例 6：已知正方形 ABCD， P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC （1 ）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；（2 ）若点 P 在线段 AB 上如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并

29、说明理由；如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP 平分AEC 时，求 a：b 及AEC 的度数【分析】(1)易证 APECFE，得 EA=EC；（2 ） 由 P 为 AB 的中点，得 PA=PB，又 PB=PE，从面得 PA=PE，导出PAE=45，又DAC=45，则可证ACE 是直角三角形；由 EP 平分 AEC，EPAG，则 AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a ，由 PECF 导比GBCE，即ab2，解得， b2,作 GHAC 于 H，求得bAH)2()(,由PE CF，得PEG=BCG ，故AEC= ACB=45从而得 1:2:a；所以AEC=45【解答】解:（1

30、 ）四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形，AB=BC ，BP=BF ，AP=CF，在APE 和CFE 中， EFPCA，APECFE，EA=EC ；（2 ） P 为 AB 的中点， PA=PB，又 PB=PE，PA=PE，PAE=45，又DAC=45，CAE=90，即 ACE 是直角三角形；EP 平分 AEC，EPAG， AP=PG=a-b ，BG=a-（2a-2b）=2b-a ，PE CF ，GBCE，即 ab2，解得， b2,作 GHAC 于 H，CAB=45 ，AH)()(,GH=GB ，GH AC，GBBC，HCG=BCG，PE CF ，PEG=BCG ，AEC=ACB=45

31、 1:2:ba；AEC=45考向六：特殊四边形与函数问题典例 6：（2018 恩施）如图，已知抛物线交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于 C点， A点坐标为 (1,0)， 2OC， 3B，点 D为抛物线的顶点（1 ）求抛物线的解析式；（2 ） P为坐标平面内一点，以 、 C、 、 P为顶点的四边形是平行四边形，求 P点坐标；（3 ）若抛物线上有且仅有三个点 1M、 2、 3使得 1BC、 2M、 3BC的面积均为定值 S，求出定值 及 、 、 这三个点的坐标【分析】1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；（2 ）分类讨论，以坐标平移规律定出 P 点坐标；（3）对任意的面积 S，抛物线

32、位于直线 BC下方的部分一定存在两个点使得与 B、 C所围成的三角形的面积为 则抛物线位于直线 上方的部分有且仅有一个点使得与 、 所围成的三角形的面积为 平移直线 与抛物线交于一点，联立求点 1M的坐标利用平移规律求另两个点的坐标【解答】解:（1 ） OC2，OB3， C 为(0，2) ，B 为(3 ，0)设抛物线的解析式为 yaxb，将 A(1 ，0) ，B(3 ，0)代入得2093ab解得34b，抛物线的解析式为243yx（2 ） D 为23yx的顶点， D 为(1，8) C 为(0 ，2)， B为(3 ，0) 当四边形 DCBP1 为平行四边形时，BP 1 可由 CD 平移得到，由点

33、C 到点 D 横坐标加 1 个单位，纵坐标加23个单位，P 为24,3； 当四边形 DP2CB 为平行四边形时，CP 2 可由 BD 平移得到，由点 B 到点 D 横坐标减 2 个单位，纵坐标加83个单位，P 为14,3； 当四边形 CP3BD 为平行四边形时，BP 3 可由 DC 平移得到，由点 B 到点 D 横坐标减 1 个单位，纵坐标减2个单位，P 为2,综上所述，当 P 为14,3或,或4,3时，以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形 对任意的面积 S，抛物线位于直线 BC 下方的部分一定存在两个点使得与 B、C 所围成的三角形的面积为 S 抛物线位于直线 BC上方的部分有且仅

34、有一个点使得与 B、C 所围成的三角形的面积为 S 作直线 BC 的平行线 L 使得它与抛物线有且仅一个交点，设 1l：23yxm 24233xxm令， 0解得，m，直线 l1 是由直线 BC向上平移32个单位得到，M 1 为5,2 C 为 0,2，B 为 3,0，M 1 为35,2可得，94BCS则由直线 BC 向下平移 个单位得到直线 2l：132yx，联立得24233xx解得， 1， 2，代入到直线 2l的解析式中得到23,M，321,M综上，94S， 1M35,2，231,2，321,M课时作业能力提升一、单选题1 （ 2017聊城）如图， ABC 中，DE BC，EFAB，要判定四边

35、形 DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（ ）AAB=AC BAD=BD CBEAC DBE 平分ABC【分析】当 BE 平分ABE 时，四边形 DBFE 是菱形，可知先证明四边形 BDEF 是平行四边形，再证明 BD=DE 即可解决问题【解答】解：当 BE 平分ABE 时，四边形 DBFE 是菱形，理由： DEBC，DEB=EBC，EBC=EBD， EBD=DEB，BD=DE ，DEBC，EFAB ，四边形 DBEF 是平行四边形，BD=DE，四边形 DBEF 是菱形其余选项均无法判断四边形 DBEF 是菱形，故答案：D2 （ 2018 宿迁）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交

36、于点 O，点 E 为 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，BAD60 ，则OCE 的面积是 ( )A 3 B2 C 32 D4OEDBA【分析】由菱形的性质及勾股定理可求 CO,从而得 SCOD 32,根据 OE 是中线得 SOCE 21SCOD 3，【答案】解：ABCD 的周长为 16,ABBCCDDA4 ， ，BAD 60,BD4，即BODO2，根据勾股定理得 CO 32，S COD 32， OE 是中线得S OCE 21SCOD 3，故选 A故答案：A3 （2018上海）己知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A A=B B A=C C A

37、C=BD D ABBC【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键 【答案】解：A=B，ADBCA= B=90，故 A 选项正确；A=C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故 B 选项不能判断；对角线相等平行四边形是矩形，故 C 选项能判断，ABBC，B=90，故 D 选项能判断.故答案：B4 （ 2017宜宾）如图，在矩形 ABCD 中 BC8 ，CD6，将 ABE 沿 BE 折叠，使点 A

38、 恰好落在对角线 BD 上 F 处，则 DE 的长是（ ）A3 B 524 C5 D 1689【分析】以翻折变换（折叠问题）为背景考查矩形的性质由 ABCD 为矩形，得到BAD 为直角，且三角形 BEF 与三角形 BAE 全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EFBD，AEEF，ABBF ，利用勾股定理求出 BD 的长，由 BDBF 求出 DF 的长，在 RtEDF 中，设 EFx ，表示出 ED，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出 DE 的长【解答】解：矩形 ABCD，BAD90，由折叠可得BEFBAE，EFBD，AE EF，ABBF，在 RtABD

39、 中，ABCD6，BCAD8，根据勾股定理得：BD 10 ，即 FD106 4 ，设 EFAEx，则有 ED8 x， 22)8(4x，解得：x3（负值舍去） ，则 DE83 5，故答案：C5 （ 2017安徽）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3 ，动点 P 满足 ABCDABS矩 形31，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ）A 29 B 34 C 25 D 41【分析】首先由 ABDPAS矩 形1，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线l 上，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 就是所求的最短距离

40、然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定理求得 BE 的值，即 PA+PB 的最小值【解答】解：设ABC 中 AB 边上的高是 h ABCDPABS矩 形31， 21ABh= 3ABAD，h= 32AD=2， 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 就是所求的最短距离在 RtABE 中， AB=5，AE=2+2=4 ， BE=41522E，即 PA+PB 的最小值为 41故答案：D6 （ 2018恩施） 如图 3 所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC

41、边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ，则线段 AE 的长度为（ ）A6 B 8 C10 D12【分析】考查正方形的性质，利用三角形全等和平行线分线段成比例可求【解答】解：正方形 ABCD，G 为 CD 边中点，AB：DG 2:1，ABCD ，AB：DGAF：FG，FG2 ，AF 4 ，又ADGECG，ADCE，AD ：BE1:2，ADBE，AF ：FE AD：BE ，EF8 ，AE12，故答案：D7 （ 2017贵港）如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 BC 边上的动点（点 M 不与 B，C 重合） ，CN DM，CN

42、与 AB 交于点 N，连接 OM，ON ，MN下列五个结论：CNBDMC ； CONDOM ； OMNOAD；22NA；若 AB=2，则 SOMN 的最小值是 21，其中正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据正方形的性质，依次判定CNBDMC， OCMOBN，CONDOM，OMNOAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论【解答】解：正方形 ABCD 中，CD=BC，BCD=90，BCN+ DCN=90，又 CNDM，CDM+DCN=90， BCN=CDM，又 CBN=DCM=90，CNBDMC（ASA ） ，故 正确；根据CNB DMC，可得 CM=BN，又

43、 OCM=OBN=45，OC=OB， OCMOBN（SAS） ，OM=ON，COM=BON， DOC+COM=COB+BPN，即 DOM=CON，又DO=CO，CONDOM（ SAS） ，故正确；BON+BOM=COM+BOM=90， MON=90，即 MON 是等腰直角三角形，又 AOD是等腰直角三角形，OMN OAD，故正确；AB=BC，CM=BN，BM=AN ，又 RtBMN 中， 22MNB，22MNCA故正确；OCMOBN， 四边形 BMON 的面积= BOC 的面积=1，即四边形 BMON 的面积是定值1， 当MNB 的面积最大时， MNO 的面积最小，设 BN=x=CM，则 BM

44、=2x，MNB 的面积= xx21)2(，当 x=1 时，MNB 的面积有最大值 21，此时 SOMN 的最小值是 1 = ，故正确；综上所述，正确结论的个数是 5 个，故答案：D二、填空题8 . (2018湖州)如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O，若tanBAC 13，AC 6，则 BD 的长是_.OABCD【分析】由菱形性质及解直角三角形可求【答案】解：四边形 ABCD 是菱形，OBOD，OA OC3，ACBD，OB tanBAC OA1，BD2OB2. 故答案：29 （ 2018成都）如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图： 分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和